平行四边形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是(B)
A.OC=5 B.OC=3 C.CD=3 D.CD=9
2.(2023·泰安东平县一模)如图,将 DEBF的对角线EF向两端延长,分别至点A和点C,且使AE=CF,连接AB,BC,AD,CD.求证:四边形ABCD为平行四边形.以下是证明过程,其顺序已被打乱.①∴四边形ABCD为平行四边形;②∵四边形DEBF为平行四边形,∴OD=OB,OE=OF;③连接BD,交AC于点O;④又∵AE=CF,∴AE+OE=CF+OF,即OA=OC.正确的证明步骤是(C)
A.①②③④ B.③④②①
C.③②④① D.④③②①
3.如图中每个四边形上所做的标记中,线段上的划记数量相同的表示线段相等,角的标记弧线数量相同的表示角相等,则下列一定为平行四边形的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
已知:如图1,△ABC及AC边的中点O.
求作:平行四边形ABCD.
小敏的作法如图2:
①连接BO并延长,在延长线上截取OD=BO;
②连接DA,DC.四边形ABCD就是所求作的平行四边形.
老师说:“小敏的作法正确.”
请回答:小敏的作法正确的理由是 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
5.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在下列条件中,①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC,OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD=∠BCD,能够判定四边形ABCD是平行四边形有 ①②④⑤ (填序号).
6.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,OA=OC,∠BAC=∠DCA,求证:四边形ABCD是平行四边形.
【证明】在△AOB与△COD中,
∴△AOB≌△COD(ASA),∴OB=OD,
又∵OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【B层 能力进阶】
7.如图,平面直角坐标系xOy中,点A(2,3),B(3,0),C(m,n)其中m>0,若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则点C的坐标为 (5,3)或(1,-3) .
8.如图,在正六边形ABCDEF中,M,N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是 ①②④ (填上所有符合要求的条件的序号).
9.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,AO=CO.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
【解析】(1)∵AB∥CD,∴∠DCO=∠BAO,
在△DCO和△BAO中,
∴△DCO ≌△BAO(ASA),∴DO=BO,
∵AO=CO,∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AC⊥BD,AB=10,求BC的长.
【解析】(2)∵由勾股定理得BC2=CO2+OB2,
AB2=AO2+OB2,AO=CO,
∴AB2=BC2,∴AB=BC,
∵AB=10,∴BC=AB=10.
10.(2024·聊城高唐县期末)如图,在 ABCD中,点O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形,现总结出甲、乙两种方案如下:
甲方案 乙方案
分别取AO,CO的中点E,F 作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F
请回答下列问题:
(1)以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是 ,选择其中一种并证明;若不能,请说明理由;
【解析】(1)(任选一方案即可)甲方案,证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF,
∵O是对角线AC的中点,∴AO=CO,
∵E,F分别是AO,CO的中点,
∴AE=AO,CF=CO,∴AE=CF,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴BE=DF,∠AEB=∠CFD,
∵∠BEF=180°-∠AEB,∠DFE=180°-∠CFD,
∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
乙方案,证明:∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,∴BE∥DF,∠AEB=∠CFD=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF,∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)若EF=2AE,S△AED=6,求 ABCD的面积.
【解析】(2)由(1)得△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,
∴AO-AE=CO-CF,
∴OE=OF,
∴EF=2OE,
∵EF=2AE,
∴2OE=2AE,
∴OE=AE=CF=OF,
∴S△ABC=S△ADC=4S△AED=4×6=24,
∴S ABCD=2×24=48,
∴ ABCD的面积是48.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(几何直观、推理能力)在直角坐标系中,已知点A(3,0),点B(3,2),点C与点A关于y轴对称,点D与点B关于原点O对称,依次连接AB,BC,CD,DA.
(1)请画出示意图,并写出点C与点D的坐标;
【解析】 (1)如图所示,
∵点A(3,0),点C与点A关于y轴对称,
∴C(-3,0).
∵点B(3,2),点D与点B关于原点O对称,
∴D(-3,-2).
(2)四边形ABCD是否为平行四边形 请说明理由;
【解析】(2)是平行四边形.
理由:连接BD,∵点C与点A关于y轴对称,
∴OA=OC.
∵点D与点B关于原点O对称,∴OB=OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(3)在x轴上是否存在一点P,使得△BDP的面积等于四边形ABCD的一半 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(3)存在,点P的坐标为(3,0)或(-3,0).平行四边形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是( )
A.OC=5 B.OC=3 C.CD=3 D.CD=9
2.(2023·泰安东平县一模)如图,将 DEBF的对角线EF向两端延长,分别至点A和点C,且使AE=CF,连接AB,BC,AD,CD.求证:四边形ABCD为平行四边形.以下是证明过程,其顺序已被打乱.①∴四边形ABCD为平行四边形;②∵四边形DEBF为平行四边形,∴OD=OB,OE=OF;③连接BD,交AC于点O;④又∵AE=CF,∴AE+OE=CF+OF,即OA=OC.正确的证明步骤是( )
A.①②③④ B.③④②①
C.③②④① D.④③②①
3.如图中每个四边形上所做的标记中,线段上的划记数量相同的表示线段相等,角的标记弧线数量相同的表示角相等,则下列一定为平行四边形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
已知:如图1,△ABC及AC边的中点O.
求作:平行四边形ABCD.
小敏的作法如图2:
①连接BO并延长,在延长线上截取OD=BO;
②连接DA,DC.四边形ABCD就是所求作的平行四边形.
老师说:“小敏的作法正确.”
请回答:小敏的作法正确的理由是 .
5.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在下列条件中,①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC,OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD=∠BCD,能够判定四边形ABCD是平行四边形有 (填序号).
6.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,OA=OC,∠BAC=∠DCA,求证:四边形ABCD是平行四边形.
【B层 能力进阶】
7.如图,平面直角坐标系xOy中,点A(2,3),B(3,0),C(m,n)其中m>0,若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则点C的坐标为 .
8.如图,在正六边形ABCDEF中,M,N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是 (填上所有符合要求的条件的序号).
9.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,AO=CO.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AC⊥BD,AB=10,求BC的长.
10.(2024·聊城高唐县期末)如图,在 ABCD中,点O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形,现总结出甲、乙两种方案如下:
甲方案 乙方案
分别取AO,CO的中点E,F 作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F
请回答下列问题:
(1)以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是 ,选择其中一种并证明;若不能,请说明理由;
(2)若EF=2AE,S△AED=6,求 ABCD的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(几何直观、推理能力)在直角坐标系中,已知点A(3,0),点B(3,2),点C与点A关于y轴对称,点D与点B关于原点O对称,依次连接AB,BC,CD,DA.
(1)请画出示意图,并写出点C与点D的坐标;
(2)四边形ABCD是否为平行四边形 请说明理由;
(3)在x轴上是否存在一点P,使得△BDP的面积等于四边形ABCD的一半 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
