平行四边形的判定(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形判定的综合应用
1.在下列条件中,能够判定一个四边形是平行四边形的有( )
①一组对边平行,另一组对边相等
②一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线
③一组对边平行,一组对角相等
④一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2,FG⊥l2,下列说法错误的是( )
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B.CE=FG
C.线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离
D.AC=BD
3.如图,E,F分别是 ABCD的边BC,AD上的点,AC,EF相交于点O,下列选项中不能推断四边形AECF是平行四边形的是( )
A.AE=CF B.EO=FO
C.AE∥CF D.AF=EC
知识点2 平行四边形性质与判定的综合应用
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,点D是AC上一点,以AD,BD为邻边作平行四边形ADBE,则对角线DE的最小值是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
5.如图,在四边形ABCD中,AD=12,DO=BO=5,AC=26,点O为AC的中点,则∠DBC= .
6. (2023·淄博博山区三模)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)求证:△ADF≌△CBE;
(2)求证:四边形AECF是平行四边形.
【B层 能力进阶】
7.如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是( )
A.AE=CF B.BE=FD
C.BF=DE D.∠1=∠2
8.如图,在 ABCD中,∠BAD=120°,连接BD,作AE∥BD交CD的延长线于点E,过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F,若CF=2,则AB的长是( )
A.4 B.2 C.2 D.2
9.如图,在Rt△ABC中,AC=5,∠B=30°,点P,Q分别是边AB,AC上的点.BP=2AQ,PD⊥BC于点D.当PQ⊥DQ时,AQ= .
10.如图,在 ABCD中,AF平分∠BAD交BC于点F,CE平分∠BCD交AD于点E.
(1)若AD=12,AB=8,求CF的长;
(2)连接BE和AF相交于点G,DF和CE相交于点H,连接GH,求证:EF和GH互相平分.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、推理能力)我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面的作图,可以得到四边形的“好线”:如图①,在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连接OA,OC.显然,折线AOC能平分四边形ABCD的面积,再过点O作OE∥AC交CD于E,则直线AE即为一条“好线”.
(1)试说明直线AE是“好线”;
(2)如图②,AE为一条“好线”,F为AD边上的一点,请作出经过F点的“好线”,并对画图进行适当说明.平行四边形的判定(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行四边形判定的综合应用
1.在下列条件中,能够判定一个四边形是平行四边形的有(B)
①一组对边平行,另一组对边相等
②一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线
③一组对边平行,一组对角相等
④一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2,FG⊥l2,下列说法错误的是(C)
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B.CE=FG
C.线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离
D.AC=BD
3.如图,E,F分别是 ABCD的边BC,AD上的点,AC,EF相交于点O,下列选项中不能推断四边形AECF是平行四边形的是(A)
A.AE=CF B.EO=FO
C.AE∥CF D.AF=EC
知识点2 平行四边形性质与判定的综合应用
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,点D是AC上一点,以AD,BD为邻边作平行四边形ADBE,则对角线DE的最小值是(B)
A.4 B.6 C.8 D.10
5.如图,在四边形ABCD中,AD=12,DO=BO=5,AC=26,点O为AC的中点,则∠DBC= 90° .
6. (2023·淄博博山区三模)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)求证:△ADF≌△CBE;
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠ADF=∠CBE,
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(SAS);
(2)求证:四边形AECF是平行四边形.
【证明】(2)由(1)知,△ADF≌△CBE,
∴AF=CE,∠AFD=∠CEB,
∴∠AFE=∠FEC,
∴AF∥EC,
∴四边形AECF是平行四边形.
【B层 能力进阶】
7.如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是(A)
A.AE=CF B.BE=FD
C.BF=DE D.∠1=∠2
8.如图,在 ABCD中,∠BAD=120°,连接BD,作AE∥BD交CD的延长线于点E,过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F,若CF=2,则AB的长是(B)
A.4 B.2 C.2 D.2
9.如图,在Rt△ABC中,AC=5,∠B=30°,点P,Q分别是边AB,AC上的点.BP=2AQ,PD⊥BC于点D.当PQ⊥DQ时,AQ= 4 .
10.如图,在 ABCD中,AF平分∠BAD交BC于点F,CE平分∠BCD交AD于点E.
(1)若AD=12,AB=8,求CF的长;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,BC=AD=12,∠BAD=∠BCD,∠ABF=∠CDE,AB=CD,
∴∠DAF=∠AFB,
∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∴∠AFB=∠BAF,∴BF=AB=8,
∴CF=BC-BF=12-8=4;
(2)连接BE和AF相交于点G,DF和CE相交于点H,连接GH,求证:EF和GH互相平分.
【解析】(2)∵∠BAD=∠BCD,AF平分∠BAD,CE平分∠BCD,
∴∠BAF=∠DAF=∠FCE=∠DCE,
∵∠DAF=∠AFB,
∴∠FCE=∠AFB,
∴AF∥CE,
在 ABCD中,AE∥CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AE=CF,
∴DE=BF,
∵AD∥BC,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∴BE∥DF,
∵AF∥CE,
∴四边形EGFH是平行四边形,
∴EF和GH互相平分.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、推理能力)我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面的作图,可以得到四边形的“好线”:如图①,在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连接OA,OC.显然,折线AOC能平分四边形ABCD的面积,再过点O作OE∥AC交CD于E,则直线AE即为一条“好线”.
(1)试说明直线AE是“好线”;
【解析】(1)设OC与AE的交点是F,因为OE∥AC,所以S△AOE=S△COE,所以S△AOF=S△CEF,
又因为折线AOC能平分四边形ABCD的面积,
所以直线AE平分四边形ABCD的面积,即AE是“好线”.
(2)如图②,AE为一条“好线”,F为AD边上的一点,请作出经过F点的“好线”,并对画图进行适当说明.
【解析】(2)如图所示,连接EF,过A作EF的平行线交CD于点G,连接FG,则GF为一条“好线”.
∵AG∥EF,∴S△AGE=S△AFG.
设AE与FG的交点是O.则S△AOF=S△GOE,
又因为AE为一条“好线”,所以GF为一条“好线”.
