三角形的中位线
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形中位线定理
1.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE,若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为(B)
A.50° B.40° C.30° D.20°
2.如图,在△ABC中,AB=CB=6,BD⊥AC于点D,F在BC上且BF=2,连接AF,E为AF的中点,连接DE,则DE的长为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024·聊城期中)如图,△ABC中,AB=10,AC=6,AD平分∠BAC,CD⊥AD,E为BC的中点,则DE的长为(A)
A.2 B.3 C.1.5 D.2.5
4.如图,在平面直角坐标系中,△AOB的边AO,AB的中点C,D的横坐标分别是1,4,则点B的横坐标是 6 .
5.(2023·烟台莱阳市期末)如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点.连接DE,过点B作BF平分∠ABC,交DE于点F.若EF=4,AD=7,则BC的长为 22 .
6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,若DE是△ABC的中位线,延长DE,交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为 4 .
7.(教材再开发·P140 T3拓展)如图,在四边形ABCD中,点G是对角线BD的中点,点E,F分别是BC,AD的中点,AB=DC,∠ABD=100°,∠BDC=40°.则∠EFG的度数是 30° .
知识点2 中点多边形
8.如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长是(D)
A.7 B.9 C.10 D.11
9.(2024·济宁泗水县期中)如图,①是一个三角形,分别连接这个三角形三边中点得到图②,再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③,按这样的方法进行下去,第n个图形中共有4 005个三角形,则n的值是(A)
A.1 002 B.1 001 C.1 000 D.999
【B层 能力进阶】
10.如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为(C)
A. B.2 C. D.3
11.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠DAB=50°,∠CBA=70°,P,M,N分别是AB,AC,BD的中点,若BC=6,则△PMN的周长是 9 .
12. (2023·淄博沂源县二模)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=8,AD=6,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为 5 .
13.(2024·枣庄薛城区期末)如图,在△ABC中,点E,F分别为AC,BC的中点,点D为BC上一点,连接AD交EF于点G,已知AE=EG.
(1)求证:AD平分∠CAB;
【解析】(1)∵点E,F分别为AC,BC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AB,
∴∠EGA=∠DAB,
∵AE=EG,
∴∠CAD=∠EGA,
∴∠CAD=∠BAD,
∴AD平分∠CAB;
(2)已知DG=DF,若∠B=32°,求∠C的度数.
【解析】(2)∵EF∥AB,∠B=32°,
∴∠DFG=32°,
∵DG=DF,
∴∠DGF=32°,∠GDF=180°-32°-32°=116°,
∴∠EGA=∠DGF=32°,
∵AE=EG,
∴∠EAG=∠EGA=32°,
∴∠C=∠GDF-∠EAG=116°-32°=84°.
【C层 创新挑战(选做)】
14. (模型观念、推理能力)如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在边AB上,EF∥BC.
(1)求证:四边形BDEF是平行四边形;
【解析】(1)延长CE交AB于点G,
∵AE⊥CE,∴∠AEG=∠AEC=90°,
∵AE平分∠BAC,∴∠GAE=∠CAE.
在△AEG和△AEC中,
∴△AGE≌△ACE.∴GE=EC.
∵BD=CD,∴DE为△CGB的中位线,
∴DE∥AB.
∵EF∥BC,∴四边形BDEF是平行四边形.
(2)线段BF,AB,AC的数量之间具有怎样的关系 证明你所得到的结论.
【解析】(2)BF=(AB-AC).
理由如下:
∵四边形BDEF是平行四边形,∴BF=DE.
∵D,E分别是BC,GC的中点,∴BF=DE=
BG.∵△AGE≌△ACE,∴AG=AC,
∴BF=(AB-AG)=(AB-AC). 三角形的中位线
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形中位线定理
1.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE,若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
2.如图,在△ABC中,AB=CB=6,BD⊥AC于点D,F在BC上且BF=2,连接AF,E为AF的中点,连接DE,则DE的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024·聊城期中)如图,△ABC中,AB=10,AC=6,AD平分∠BAC,CD⊥AD,E为BC的中点,则DE的长为( )
A.2 B.3 C.1.5 D.2.5
4.如图,在平面直角坐标系中,△AOB的边AO,AB的中点C,D的横坐标分别是1,4,则点B的横坐标是 .
5.(2023·烟台莱阳市期末)如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点.连接DE,过点B作BF平分∠ABC,交DE于点F.若EF=4,AD=7,则BC的长为 .
6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,若DE是△ABC的中位线,延长DE,交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为 .
7.(教材再开发·P140 T3拓展)如图,在四边形ABCD中,点G是对角线BD的中点,点E,F分别是BC,AD的中点,AB=DC,∠ABD=100°,∠BDC=40°.则∠EFG的度数是 .
知识点2 中点多边形
8.如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长是( )
A.7 B.9 C.10 D.11
9.(2024·济宁泗水县期中)如图,①是一个三角形,分别连接这个三角形三边中点得到图②,再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③,按这样的方法进行下去,第n个图形中共有4 005个三角形,则n的值是( )
A.1 002 B.1 001 C.1 000 D.999
【B层 能力进阶】
10.如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为( )
A. B.2 C. D.3
11.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠DAB=50°,∠CBA=70°,P,M,N分别是AB,AC,BD的中点,若BC=6,则△PMN的周长是 .
12. (2023·淄博沂源县二模)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=8,AD=6,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为 .
13.(2024·枣庄薛城区期末)如图,在△ABC中,点E,F分别为AC,BC的中点,点D为BC上一点,连接AD交EF于点G,已知AE=EG.
(1)求证:AD平分∠CAB;
(2)已知DG=DF,若∠B=32°,求∠C的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
14. (模型观念、推理能力)如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在边AB上,EF∥BC.
(1)求证:四边形BDEF是平行四边形;
(2)线段BF,AB,AC的数量之间具有怎样的关系 证明你所得到的结论.
