多边形的内角和与外角和(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 多边形外角和定理
1.若正多边形的一个外角是45°,则该正多边形的内角和为( )
A.540° B.720°
C.900° D.1 080°
2.(2024·临沂兰山区质检)如图,小刚沿一个五边形广场周围的小路,按逆时针方向跑步,他每跑完一圈,跑步方向改变的角之和是( )
A.540° B.360° C.180° D.108°
3.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的对角线共有( )
A.9条 B.14条 C.20条 D.27条
4.如图,一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形,则原多边形的边数为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
5.如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3∶2,则n= .
6.六边形的内角和比它的外角和多 °.
7.一个多边形的每个内角都相等,并且其中一个内角比它相邻的外角大100°,求这个多边形的边数.
8.(2024·德州期中)一个多边形的内角和是它的外角和的5倍,
(1)求这个多边形的边数.
(2)此时该多边形的对角线共有多少条
【B层 能力进阶】
9.(2024·济宁鱼台县期中)如图,∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的三个外角,边AE,CD的延长线相交于点F,如果∠F=α,那么∠1+∠2+∠3的度数为( )
A.270°-α B.360°-α
C.90°+α D.180°+α
10.如图,一只蚂蚁从点A出发沿直线前进5 m,到达点B后,向左转α角度,再沿直线前进5 m,到达点C后,又向左转α角度……照这样爬下去,第一次回到出发点,这只蚂蚁共爬了50 m,则每次向左转的度数为( )
A.30° B.36° C.40° D.60°
11.(2024·日照东港区期中)如图,七边形ABCDEFG中,EF,BA的延长线相交于点P,若∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEF的外角的度数和为230°,则∠P的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
12.(2023·烟台芝罘区期末)如图,几条线段首尾顺次连接,∠D=28°,则∠A+∠B+∠C+∠E的度数为( )
A.180° B.208° C.178° D.152°
13.如图,A,B,C,D为一个外角为40°的正多边形的顶点.若O为正多边形的中心,则∠OAD= .
14.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC,DF平分∠CDA.
(1)求证:BE∥DF;
(2)若∠ABC=56°,求∠ADF的大小.
【C层 创新挑战(选做)】
15.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处.
【感知】如图①,点A落在四边形BCDE的边BE上,则∠A与∠1之间的数量关系是 ;
【探究】如图②,若点A落在四边形BCDE的内部,则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系 请说明理由.
【拓展】如图③,点A落在四边形BCDE的外部,若∠1=80°,∠2=24°,则∠A的大小为 . 多边形的内角和与外角和(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 多边形外角和定理
1.若正多边形的一个外角是45°,则该正多边形的内角和为(D)
A.540° B.720°
C.900° D.1 080°
2.(2024·临沂兰山区质检)如图,小刚沿一个五边形广场周围的小路,按逆时针方向跑步,他每跑完一圈,跑步方向改变的角之和是(B)
A.540° B.360° C.180° D.108°
3.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的对角线共有(B)
A.9条 B.14条 C.20条 D.27条
4.如图,一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形,则原多边形的边数为(B)
A.8 B.9 C.10 D.11
5.如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3∶2,则n= 5 .
6.六边形的内角和比它的外角和多 360 °.
7.一个多边形的每个内角都相等,并且其中一个内角比它相邻的外角大100°,求这个多边形的边数.
【解析】设每个内角度数为x°,则与它相邻的外角度数为180°-x°,
根据题意可得x-(180-x)=100,
解得x=140.
所以每个外角为40°,
所以这个多边形的边数为360°÷40°=9.
答:这个多边形的边数为9.
8.(2024·德州期中)一个多边形的内角和是它的外角和的5倍,
(1)求这个多边形的边数.
【解析】(1)设多边形的边数为n,
由题意得(n-2)·180=5×360,
解得n=12,
故这个多边形的边数是12;
(2)此时该多边形的对角线共有多少条
【解析】(2)根据题意得:
n(n-3)=×12×(12-3)=54(条).
所以该多边形的对角线共有54条.
【B层 能力进阶】
9.(2024·济宁鱼台县期中)如图,∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的三个外角,边AE,CD的延长线相交于点F,如果∠F=α,那么∠1+∠2+∠3的度数为(D)
A.270°-α B.360°-α
C.90°+α D.180°+α
10.如图,一只蚂蚁从点A出发沿直线前进5 m,到达点B后,向左转α角度,再沿直线前进5 m,到达点C后,又向左转α角度……照这样爬下去,第一次回到出发点,这只蚂蚁共爬了50 m,则每次向左转的度数为(B)
A.30° B.36° C.40° D.60°
11.(2024·日照东港区期中)如图,七边形ABCDEFG中,EF,BA的延长线相交于点P,若∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEF的外角的度数和为230°,则∠P的度数为(C)
A.40° B.45° C.50° D.55°
12.(2023·烟台芝罘区期末)如图,几条线段首尾顺次连接,∠D=28°,则∠A+∠B+∠C+∠E的度数为(B)
A.180° B.208° C.178° D.152°
13.如图,A,B,C,D为一个外角为40°的正多边形的顶点.若O为正多边形的中心,则∠OAD= 30° .
14.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC,DF平分∠CDA.
(1)求证:BE∥DF;
【解析】(1)∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠1=∠2=∠ABC,∠3=∠4=∠ADC,
∴∠1+∠3=(∠ABC+∠ADC)=×180°=90°,
又∠1+∠AEB=90°,
∴∠3=∠AEB,
∴BE∥DF;
(2)若∠ABC=56°,求∠ADF的大小.
【解析】(2)∵∠ABC=56°,
∴∠ADC=360°-∠A-∠C-∠ABC=124°,
∵DF平分∠CDA,
∴∠ADF=∠ADC=62°.
【C层 创新挑战(选做)】
15.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处.
【感知】如图①,点A落在四边形BCDE的边BE上,则∠A与∠1之间的数量关系是 ;
【解析】【感知】∠1=2∠A.
理由如下:由折叠知识可得:∠EA'D=∠A;
∵∠1=∠A+∠EA'D,∴∠1=2∠A.
答案:∠1=2∠A
【探究】如图②,若点A落在四边形BCDE的内部,则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系 请说明理由.
【解析】【探究】2∠A=∠1+∠2.
理由如下:∵∠1+∠A'DA+∠2+∠A'EA=360°,
∠A+∠A'+∠A'DA+∠A'EA=360°,
∴∠A'+∠A=∠1+∠2,
由折叠知识可得:∠A=∠A',
∴2∠A=∠1+∠2.
【拓展】如图③,点A落在四边形BCDE的外部,若∠1=80°,∠2=24°,则∠A的大小为 .
【解析】【拓展】如图,
∵∠1=∠DFA+∠A,∠DFA=∠A'+∠2,
∴∠1=∠A+∠A'+∠2=2∠A+∠2,
∴2∠A=∠1-∠2=56°,
解得∠A=28°.
答案:28°
