2024 级新生暑期综合素质测试卷（数学）
试卷说明:
1. 试卷分值：100 分；建议时长：90 分钟；
2. 请将答案正确填写到相应的答题区域。
一、单选题（本题共 8小题，共 32分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A= 1，2，3 ， B = 3， 1 ，那么集合 A B =（ ）
A． 3， 1，1，3 B． 3， 1，1，2，3
C． 1，1 D．
【答案】D
【解析】因为集合 A和集合 B 没有公共元素，故 A B = ．
故选：D．
2．下图中可表示函数 y = f (x) 图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据函数的定义，可知一个 x 只能对应一个 y 值，故答案为 B．
故选：B．
3．下列函数中，既是奇函数又在 (0，+ ) 上单调递减的函数是（ ）
A． y =| x | +1 B． y = x3
2
C． y = x2 +1 D． y =
x
【答案】B
【解析】A 选项， f (x) =| x | +1的定义域为 ( ，+ )，
且 f ( x) =| x | +1=| x | +1= f (x)，故 f (x) =| x | +1为偶函数，A 错误；
B 选项，画出 y = x3的图象，满足既是奇函数又在 (0，+ ) 上单调递减，B 正确；
C 选项， g(x) = x2 +1的定义域为 2 2R ，且 g( x) = ( x) +1= x +1= g(x) ，
试卷第 1页，共 10页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
故 g(x) = x2 +1为偶函数，C 错误；
2
D 选项， y = 在 (0，+ ) 上单调递增，D 错误．
x
故选：B．
4．“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当
时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”，
由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件，
故选：B．
5．已知不等式 ax2 + bx + c 0的解集为 x | 2 x 1 ，则不等式 cx2 bx + a 0 的解集为（ ）
1 1
A． ( 1， ) B． ( ，1)
2 2
1
C． ( ，1) D． ( 2，1)
2
【答案】A
【解析】∵关于 x 的不等式 ax2 + bx + c 0的解集为 x | 2 x 1 ，
∴ a 0 ，且 2 和 1 是方程 ax2 + bx + c = 0的两个根，
4a 2b + c = 0
则 ，∴b = a ， c = 2a ，
a + b + c = 0
则关于 x 的不等式 cx2 bx + a 0 ，即 2ax2 ax + a 0，
1
∴ 2x2 + x 1 0，解得 1 x ，
2
1
故不等式的解集为 ( 1， )，
2
故选：A．
6．关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx +m2 m = 0的两实数根 x1 ， x2 ，满足 x1x2 = 2 ，则 (x
2 2
1 + 2)(x2 + 2) 的值是
（ ）
A．8 B．32
C．20 或 68 D．16 或 40
【答案】B
【解析】由题意可知Δ = 4m2 4(m2 m) = 4m 0 ，可得m 0，
由韦达定理可得 x 21x2 =m m = 2，因为m 0，则m = 2，
故原方程为 x2 + 4x + 2 = 0，所以 x1 + x2 = 4 ，
试卷第 2页，共 10页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
故 x21 + x
2
2 = (x1 + x
2
2) 2x1x2 =16 2 2 =12，
因此， (x2 + 2)(x2 21 2 + 2) = (x1x2) + 2(x
2
1 + x
2
2 )+ 4 = 4+ 2 12+ 4 = 32 ．
故选：B．
7．如图，在边长为 2 的正方形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点O ，点 P 是 BD上的一个动点，过点 P
作 // ，分别交正方形的两条边于点 E ， F ，连接OE ，OF ，设 BP = x，△OEF 的面积为 y ，则能
大致反映 y 与 x 之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当点 P 在OB 上时，
∵四边形 ABCD是正方形，边长为 2，
∴ AB = BC = 2 ， AC ⊥ BD， ACB = CAB = 45 ，
∴ AC = 2 2 ， BO = DO = AO =CO = 2 ，
∵ // ，
∴ BAC = BEF = 45 ， BFE = BCA = 45 ， AOB = EPB = 90 ，
∴ BEF = BFE，∴ BE = BF ，
∵ BPE = 90 ，
∴ BP = EP = FP = x，
∴OP = 2 x ，
1 1
∴ y = EF OP = 2x ( 2 x) = x
2 + 2x （ 0 ≤ x ≤ 2 ），
2 2
当点 P 在 DO 上时，同理可得 y = x2 + 3 2x 4（ 2 x ≤ 2 2 ），
故选：B．
8．若对任意实数 x 0 ， y 0 ，不等式 x + xy ≤ a(x + y) 恒成立，则实数 a的最小值为（ ）
试卷第 3页，共 10页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
2 1 2 +1
A． B． 2 1 C． 2 +1 D．
2 2
【答案】D
x + xy x + xy
【解析】由题意可得， a≥ 对于任意实数 x 0 ， y 0 恒成立，则只需求 的最大值即可，
x + y x + y
y y
1+ 1+
x + xy x y 1+ t
= ，设 = t （ t 0 ），则 x = ，再设1+ t = m （m 1），则
x + y y x y 1+ t2
1+ 1+
x x
y
1+ m 1 1 1 2 +1
x 1+ t m = ≤ = =
= = =
2 2 m
2 2m + 2 2 2 2 2 2 2 ，当且仅当
y 1+ t 1+ (m 1) m + 2 2 m 2
1+ m m
x
2 y
m = = 2 1时等号成立，
m x
2 +1 2 +1
所以 a≥ ，即实数 a的最小值为 ．
2 2
故选：D．
二、多选题（本题共 4小题，共 16分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 4 分，部分选对的得部分分，有选错
的得 0 分。
9．若 a 0，b 0 ，且 a + b = 4，则下列不等式恒成立的是（ ）
1 1
A． 0 ≤ B． ab 2
ab 4
1 1 1 1
C． + ≥1 D． ≤
a b a2 + b2 8
【答案】C D
a + b 2 2
【解析】 ab ( )2
a + b
≤ ≤ ，当且仅当 a = b = 2时等号成立，
2 2
4 22 4 a + b
2
则 ab ≤ ( ) = 4且 ( )2 ≤ ，
2 2 2
1 1 1 1
则 ≥ ， 2 2ab ≤ 2， a + b ≥8， ≤ ，
ab 4 a2 + b2 8
即 AB 错误，D 正确，
1 1 a + b 4 1
对于 C 选项， + = = ≥ 4 =1，C 选项正确，
a b ab ab 4
故选：CD．
10．对于实数 a ， b ， c ，下列命题正确的是（ ）
A．若 a b ，则 ac bc B．若 a b 0，则 a2 ab b2
a b 1 1
C．若 c a b 0 ，则 D．若 a b ， ，则 a 0 ，b 0
c a c b a b
【答案】B D
【解析】A：当 c = 0时， ac bc不成立，错误；
B：由 a b 0，有 | a | | b | 0，则 a2 ab b2，正确；
试卷第 4页，共 10页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
a b c(a b) a b
C：由 = 0，则 ，错误；
c a c b (c a)(c b) c a c b
1 1
D：若 a b 0或b a 0，有 ，与题设矛盾，故 a 0 ，b 0，正确．
a b
故选：BD．
11．已知函数 y = ax2 +bx 3，则下列结论正确的是（ ）
A．关于 x 的不等式 ax2 +bx 3 0的解集可以是 x | x 3
B．关于 x 的不等式 ax2 + bx 3 0 的解集可以是
C．函数 y = ax2 +bx 3在 (0，+ ) 上可以有两个零点
D．“关于 x 的方程 ax2 + bx 3= 0 有一个正根和一个负根”的充要条件是“ a 0 ”
【答案】B C D
【解析】若不等式 ax2 +bx 3 0的解集是 x | x 3 ，则 a = 0 且3b 3 = 0，得b = 1，
而当 a = 0， b = 1时，不等式 ax2 +bx 3 0，即 x 3 0，得 x 3，与 x 3矛盾，故 A 错误；
取 a = 1，b = 0 ，此时不等式 x2 3 0的解集为 ，故 B 正确；
取 a = 1，b = 4 ，则由 y = x2 + 4x 3= 0，得 x = 1或 3，故 C 正确；
a 0
若关于 x 的方程 ax2 + bx 3= 0 有一个正根和一个负根，则 3 ，得 a 0 ，
0
a
若 a 0，则Δ = b2 +12a 0，故关于 x 的方程 ax2 + bx 3= 0 有两个不等的实根 x1 ， x2 ，
3
且 x1x2 = 0，即关于 x 的方程 ax
2 + bx 3= 0 有一个正根和一个负根．
a
因此“关于 x 的方程 ax2 + bx 3= 0 有一个正根和一个负根”的充要条件是“ a 0 ”，故 D 正确．
故选：BCD．
12．已知二次函数 y = x2 +mx+m （m 为常数），当 2 ≤ x ≤ 4时， y 的最大值是 15，则m 的值是（ ）
31
A． 19 B． C．6 D． 10
5
【答案】A C
2 m【解析】二次函数 y = x +mx+m 图象的对称轴为直线 x = ．
2
m
①当 ≤ 2时，即当m ≤ 4 时，当 2 ≤ x ≤ 4时， y 随着 x 的增大而减小，
2
所以当 x = 2 时， y 取得最大值，即 ymax = 4 2m +m = m 4 =15 ，解得m = 19，合乎题意；
m m
②当 2 4时，即当 4 m 8时，当 x = 时， y 取得最大值，
2 2
m2
即 y = +m =15，即m2max + 4m 60 = 0，解得m = 6或m = 10（舍）；
4
m
③当 ≥ 4 时，即当m ≥ 8时，当 2 ≤ x ≤ 4时， y 随着 x 的增大而增大，
2
试卷第 5页，共 10页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
31
所以当 x = 4 时， y 取得最大值，即 ymax = 16 + 4m +m = 5m 16 =15，解得m = （舍）．
5
综上所述，m = 19或 6．
故选：AC．
三、填空题（本题共 4小题，共 16分）
| a | b
13．用列举法表示集合 x | x = + ，ab 0 为________．
a | b |
【答案】 2，0，2
【解析】分以下几种情况讨论：
| a | b
①当 a 0 ， b 0时， x = + = 1 1= 2；
a | b |
| a | b
②当 a 0 ，b 0 时， x = + = 1+1= 0；
a | b |
| a | b
③当 a 0， b 0时， x = + =1 1= 0；
a | b |
| a | b
④当 a 0，b 0 时， x = + =1+1= 2 ．
a | b |
| a | b
综上所述， x | x = + ，ab 0 = 2，0，2 ．
a | b |
故答案为： 2，0，2 ．
14．分解因式 x3 + 4x2 + 5x + 2 = ________．
【答案】 (x+1)2(x+ 2)
【解析】 x3 + 4x2 +5x + 2
= x3 + 4x2 + 4x + x + 2
= x(x2 + 4x + 4)+ x + 2
= x(x + 2)2 + x + 2
= (x + 2)(x2 + 2x +1)
= (x +1)2(x + 2)．
故答案为： (x+1)2(x+ 2)．
ax +1
15．若函数 y = 的定义域为R ，则实数 a 的取值范围是________．
ax2 4ax + 2
1
【答案】[0， )
2
ax +1
【解析】 y = 的定义域为R ，是使 ax2 4ax + 2 0在R 上恒成立．
ax2 4ax + 2
试卷第 6页，共 10页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
若 a 0时，要使 ax2 4ax + 2 0恒成立，则有 a 0 且Δ 0，
1
即Δ = ( 4a)2 4 2a 0，解得 0 a ；
2
若 a = 0时， ax2 4ax + 2 0可化为 2 0 ，恒成立，所以 a = 0 满足题意，
1
所以0 ≤a ．
2
1
故答案为：[0， )．
2
16．设函数 f (x) = 4ax2 +bx 6a +1，当 x [ 4，4] 时，恒有 f (x)≥0成立，则10 + 的最小值为________．
1
【答案】
3
【解析】由题意得 f (x) = (4x2 6)a +bx +1，
4x2 6 x 1
令 = ，解得 x = 3或 x = ，
10 1 2
1
当 x = 3时， f (3) = 30a + 3b +1≥0，即10a + b≥ ，
3
1 1 1
当 x = 时， f ( ) = 5a b +1≥ 0，则10a + b ≤ 2 ，
2 2 2
b 1 1 12 1
验证： x = 3时， = 3，10a + b = ，即 a = ，b = 时，10a + b 取到最小值 ，
8a 3 42 21 3
1
故答案为： ．
3
四、解答题（本题共 3小题，共 36分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7
17．（12 分）集合 A= x | a 1≤ x≤3a 7 ， B = x | 1 ．
x + 2
（1）若 a = 4，求 ( A) BR ；
（2）若 A B = A，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1） x | 2 x 3 ；（2） ( ，4)
【解析】（1）若 a = 4，则 A= x | 3≤ x≤5 ，
7
由 1，得0 x + 2 7 ，得 2 x 5 ，则B = x | 2 x 5 ，
x + 2
所以 ( A) B = x | x 3或x 5 x | 2 x 5 = x | 2 x 3R ．
（2）因为 A B = A，所以 A B，
当 A = 时， a 1 3a 7 ，得 a 3，此时满足 A B；
a ≥ 3
当 A 时， a 1 2 ，解得3≤ a 4，
3a 7 5
试卷第 7页，共 10页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
综上所述： a 的取值范围为 ( ，4) ．
18．（12 分）某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益．通过市场分析，每
月需投入固定成本 5000 元，每月生产 x 台该设备另需投入成本C(x) 元，且
10x2 + 400x，0 x ≤ 30
C(x) = 10000 ，若每台设备售价 1000 元，且当月生产的视频设备该月内能全部售
1004x + 9000，x 30
x
完．
（1）求厂商由该设备所获的月利润 L(x)关于月产量 x 台的函数关系式；（利润=销售额 成本）
（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润．
10x2 + 600x 5000，0 x ≤30
【答案】（1） L(x) = 10000 ；
4000 (4x + )，x 30
x
（2）当 x = 30时，获得的月利润最大，且最大月利润为 4000 元
【解析】（1）当 0 x 2 2≤ 30时， L(x) =1000x 10x 400x 5000 = 10x + 600x 5000；
10000 10000
当 x 30时， L(x) =1000x 1004x + 9000 5000 = 4000 (4x + )．
x x
10x2 + 600x 5000，0 x ≤30
∴ L(x) = 10000 ；
4000 (4x + )，x 30
x
（2）当0 x ≤ 30时， L(x) = 10(x 30)2 + 4000，
∴当 x = 30时， L(x)max = L(30) = 4000 ．
10000 10000
当 x 30时， L(x) = 4000 (4x + ) ≤ 4000 2 4x = 3600 ，
x x
10000
当且仅当 4x = ，即 x = 50时等号成立，故 L(x)max = L(50) = 3600 4000．
x
∴当 x = 30时，获得的月利润最大，且最大月利润为 4000 元．
19．（12 分）已知函数 f (x) = x2 + (a 1)2 ， g(x) =| x + a 1| ， h(x) =| x 1| + | x 4 |．
（1）若 F(x) = f (x) + g(x)为偶函数，求实数 a 的值；
（2）对任意的 x1 R ，都存在 x2 R ，使得 h(x2 ) ≤ f (x1) g(x1) ，求实数 a 的取值范围．
1 14 3+ 14
【答案】（1） a = 1；（2） a ( ， ] [ ，+ )
2 2
【解析】（1）因为 F(x) = f (x) + g(x)为偶函数，
所以 F( x) = F(x) ，即 f ( x) + g( x) = f (x) + g(x) ，
因为 f (x) = x2 + (a 1)2 ，所以 f ( x) = ( x)2 + (a 1)2 = x2 + (a 1)2 = f (x)，
所以 g( x) = g(x) ，
因为 g(x) =| x + a 1| ，所以 | x + a 1|=| x + a 1|，解得 x + a 1= (x + a 1)，
当 x + a 1= x + a 1时，得 x = 0 ，由于 x 不恒为 0 ，故不满足题意；
当 x + a 1= (x + a 1)时，得 a = 1；
经检验，当 a = 1时， g(x) =| x + a 1|=| x |，
试卷第 8页，共 10页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
所以 F(x) = f (x)+ g(x) = x2 + (a 1)2+ | x |，易知 F(x)的定义域为R ，关于原点对称，
又易得 F( x) = F(x) ，所以 F(x)为偶函数，
综上： a = 1．
（2）因为对任意的 x1 R ，都存在 x2 R ，使得 h(x2 ) ≤ f (x1) g(x1) ，
所以 h(x)min ≤ [ f (x) g(x)]min ，
因为 h(x) =| x 1| + | x 4 |≥| x 1 x + 4 |= 3，所以 h(x)min = 3，则[ f (x) g(x)]min ≥ 3 ，
令G(x) = f (x) g(x)，则G(x) = x2 + (a 1)2 | x + a 1|，G(x)min ≥ 3，
当 x a +1时，G(x) = x2 + (a 1)2≥ (x+ a 1) = x2 x+ a2 3a + 2 ，
1
则G(x)开口向上，对称轴为 x = ，
2
1 1
当 a +1≥ ，即 a ≤ 时，G(x)在[ a +1，+ ) 上单调递增，
2 2
则G(x)min =G( a +1) = 2a
2 4a + 2；
1 1 1 1
当 a +1 ，即 a 时，G(x)在[ a +1， ) 上单调递减，在 ( ，+ )上单调递增，
2 2 2 2
1 7
则G(x)
2
min =G( ) = a 3a + ；
2 4
当 x a +1时，G(x) = x2 + (a 1)2 + (x + a 1) = x2 + x + a2 a，
1
则G(x)开口向上，对称轴为 x = ，
2
1 3
当 a +1≤ ，即 a ≥ 时，G(x)在 ( ， a +1)上单调递减，
2 2
则G(x)min =G( a +1) = 2a
2 4a + 2；
1 3 1 1
当 a +1 ，即 a 时，G(x)在 ( ， ) 上单调递减，在 ( ， a +1) 上单调递增，
2 2 2 2
1 1
则G(x)min =G( ) = a
2 a ；
2 4
1 1 1
综上：当 a ≤ 时，G(x)在 ( ， ) 上单调递减，在 ( ， a +1) 上单调递增，在[ a +1，+ ) 上单调递
2 2 2
1 2 1
增，故G(x)min =G( ) = a a ；
2 4
3 1 1
当 a ≥ 时，G(x)在 ( ， a +1)上单调递减，在[ a +1， ) 上单调递减，在 ( ，+ )上单调递增，故
2 2 2
1 7
G(x)min =G( ) = a
2 3a + ；
2 4
试卷第 9页，共 10页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
1 3 1 1 1
当 a 时，G(x)在 ( ， ) 上单调递减，在 ( ， a +1) 上单调递增，在[ a +1， ) 上单调递减，
2 2 2 2 2
1
在 ( ，+ )上单调递增，
2
1 1 1 7
因为G( ) G( ) = a
2 a (a2 3a + ) = 2a 2，
2 2 4 4
1 2 1 2 7 2 1
所以当 a ≤1时， a a ≤ a 3a + ，则G(x)min = a a ，
2 4 4 4
3
a2
1
a a2
7 7
当1 a 时， 3a + ，则G(x)
2
min = a 3a + ，
2 4 4 4
2 1 2 7
综上：当 a ≤1时，G(x)min = a a ；当 a 1时，G(x)min = a 3a + ，
4 4
2 1 1 14 1+ 14 1 14
所以当 a ≤1时，有 a a ≥ 3 ，解得 a ≤ 或 a≥ ，故 a ≤ ；
4 2 2 2
2 7 3 14 3+ 14 3+ 14
当 a 1时，有 a 3a + ≥ 3，解得 a ≤ 或 a ≥ ，故 a ≥ ；
4 2 2 2
1 14 3+ 14 1 14 3+ 14
所以 a ≤ 或 a ≥ ，即 a ( ， ] [ ，+ ) ．
2 2 2 2
试卷第 10页，共 10页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}2024 级新生暑期综合素质测试卷（数学）
试卷说明:
1. 试卷分值：100 分；建议时长：90 分钟；
2. 请将答案正确填写到相应的答题区域。
一、单选题（本题共 8小题，共 32分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A = 1，2，3 ， B = 3， 1 ，那么集合 A B =（ ）
A． 3， 1，1，3 B． 3， 1，1，2，3 C． 1，1 D．
2．下图中可表示函数 y = f (x) 图象的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是奇函数又在 (0，+ ) 上单调递减的函数是（ ）
2
A． y =| x | +1 B． y = x3 C． y = x2 +1 D． y =
x
4．“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时
战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知不等式 ax2 + bx + c 0 的解集为 x | 2 x 1 ，则不等式 cx2 bx + a 0 的解集为（ ）
1 1 1
A． ( 1， ) B． ( ，1) C． ( ，1) D． ( 2，1)
2 2 2
6．关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx +m2 m = 0的两实数根 x1 ，x2 ，满足 x1x2 = 2 ，则 (x
2
1 + 2)(x
2
2 + 2) 的值是（ ）
A．8 B．32 C．20 或 68 D．16 或 40
7．如图，在边长为 2 的正方形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点O，点 P 是 BD上的一个动点，过点 P 作
// ，分别交正方形的两条边于点 E ， F ，连接OE ，OF ，设BP = x，△OEF 的面积为 y ，则能大
致反映 y 与 x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B． C． D．
试卷第 1页，共 3页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
8．若对任意实数 x 0， y 0 ，不等式 x + xy ≤ a(x + y) 恒成立，则实数 a的最小值为（ ）
2 1 2 +1
A． B． 2 1 C． 2 +1 D．
2 2
二、多选题（本题共 4小题，共 16分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 4 分，部分选对的得部分分，有选错的
得 0 分。
9．若 a 0，b 0，且 a + b = 4，则下列不等式恒成立的是（ ）
1 1 1 1 1 1
A． 0 ≤ B． ab 2 C． + ≥1 D． ≤
ab 4 a b a2 + b2 8
10．对于实数 a， b ， c ，下列命题正确的是（ ）
A．若 a b，则 ac bc B．若 a b 0，则 a2 ab b2
a b 1 1
C．若 c a b 0，则 D．若 a b， ，则 a 0，b 0
c a c b a b
11．已知函数 y = ax2 + bx 3，则下列结论正确的是（ ）
A．关于 x的不等式 ax2 + bx 3 0的解集可以是 x | x 3
B．关于 x的不等式 ax2 + bx 3 0 的解集可以是
C．函数 y = ax2 + bx 3在 (0，+ ) 上可以有两个零点
D．“关于 x的方程 ax2 + bx 3 = 0 有一个正根和一个负根”的充要条件是“ a 0”
12．已知二次函数 y = x2 + mx + m （m 为常数），当 2≤ x≤4时， y 的最大值是 15，则m 的值是（ ）
31
A． 19 B． C．6 D． 10
5
三、填空题（本题共 4小题，共 16分）
| a | b
13．用列举法表示集合 x | x = + ，ab 0 为________．
a | b |
14．分解因式 x3 + 4x2 + 5x + 2 = ________．
ax +1
15．若函数 y = 的定义域为R ，则实数 a的取值范围是________．
ax2 4ax + 2
16．设函数 f (x) = 4ax2 + bx 6a +1，当 x [ 4，4] 时，恒有 f (x)≥ 0成立，则10a +b的最小值为________．
四、解答题（本题共 3小题，共 36分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7
17．（12 分）集合 A = x | a 1≤ x ≤ 3a 7 ， B = x | 1 ．
x + 2
（1）若 a = 4，求 ( A) BR ；
（2）若 A B = A，求实数 a的取值范围．
试卷第 2页，共 3页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
18．（12 分）某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益．通过市场分析，每
月需投入固定成本 5000 元，每月生产 x 台该设备另需投入成本C(x)元，且
10x2 + 400x，0 x ≤30
C(x) = 10000 ，若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完．
1004x + 9000，x 30
x
（1）求厂商由该设备所获的月利润 L(x) 关于月产量 x台的函数关系式；（利润=销售额 成本）
（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润．
19．（12 分）已知函数 f (x) = x2 + (a 1)2 ， g(x) =| x + a 1| ， h(x) =| x 1| + | x 4 |．
（1）若 F(x) = f (x) + g(x)为偶函数，求实数 a的值；
（2）对任意的 x a1 R ，都存在 x2 R ，使得 h(x2 ) ≤ f (x1) g(x1)，求实数 的取值范围．
试卷第 3页，共 3页
{#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}
