人教版九年级上册数学第二十二章二次函数应用题专题训练（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十二章二次函数应用题专题训练
1．杂技演员抛球表演时，秒后该球离起点的高度为米，已知，其中与成正比，与成正比．当时，，当时，．
(1)求与的函数解析式；并求小球达到最高点时的值；
(2)求经过多少秒球回到起点的高度？
(3)杂技演员在表演空中抛球时，当把球抛出后，演员必须在球距离起点不小于1．8米的上空完成其他表演动作，否则就容易出现失误，求演员完成其他表演动作的时间最多有多少秒？
2．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为．
(1)用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是__________；
(2)若苗圃的面积为，求x的值；
(3)苗圃的面积能否为？若能，请求出x的值；否则请说明理由．
3．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
(3)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
4．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
5．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地社区的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植牛奶草莓、草莓王子两种草莓．经调查发现：牛奶草莓种植成本（元），与其种植面积的函数关系如图所示，其中；草莓王子的种植成本50元．
(1)当_______，；
(2)设2024年牛奶草莓、草莓王子两种草莓总种植成本为元，如何分配两种草莓的种植面积使最小，并求出最小值．
(3)学校计划今后每年在这的土地上，均按（2）中方案种植草莓，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若牛奶草莓种植成本平均每年下降，草莓王子种植成本平均每年下降率为，当为何值时，2026年的总种植成本为35320元？
6．为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示．
(1)当时，求V关于x的函数表达式．
(2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．
7．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/ ） 7 8 9
y（）
(1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围）
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？
8．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元．
(1)______，______；
(2)求销售额W元与x之间的函数关系式，并求第x天时，销售额W最大；
(3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有______天．
9．为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W元．

(1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式；
(2)该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价；
(3)若该农产品的日销量不低于90千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元．
10．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）
(1)求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式：
(2)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
(3)“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元，日销售量比前20天最高日销售量提高了盏，日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了90元，求a的值．【注：销售利润（售价成本价）销售量】
11．九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第（且为整数）天的售价与销售量的相关信息如下表：
时间（天）
售价（元件）
每天销售量（件）
已知该商品的进价为每件元．请根据上面信息解答下面问题：
(1)销售该商品第几天时，当天销售利润为元？
(2)销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
12．每年的12月2日为“全国交通安全日”，考虑将数字“122”作为我国道路交通事故报警电话，不仅群众对此认知度高，而且方便记忆和宣传，遇车减速是行车安全常识，公路上正在行驶的甲车发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数（如图1）和一次函数（如图2）表示．
(1)直接写出s关于t的函数表达式和v关于t的函数表达式．（不要求写出t的取值范围）
(2)当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？
(3)若乙车以的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
13．亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为．
(1)请求出和的值；
(2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标；
(3)若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________．
14．南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年月底至第二年月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为元/千克的某品牌柑橘降价销售天后，第二次降价到元/千克又销售了天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为（天）（为正整数），日销量为，日储存及损耗费为（元），与满足函数关系；与满足函数关系．（注：利润销售毛利润储存及损耗费）
(1)求此品牌柑橘每次降价的百分率；
(2)已知此品牌柑橘进价为元，设销售该柑橘的日利润为（元），求与之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？
(3)在（）的条件下，求这天中有多少天的利润不低于元？
15．为加强科技创新，某公司研发并推出一种新型高科技产品，该产品上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，图12所示的二次函数图象(部分)刻画了该产品累积利润（万元）与上市时间：个月之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）．
(1)求累积利润（万元）与之间的函数关系式；
(2)该产品上市后第几个月公司累积利润可达到800万元
(3)该产品上市后第8个月公司所获利润是多少万元
16．某科技公司在国家专项资金的支持下，成功研发出一种电子产品．第1年该产品正式投产后，生产成本为6元/件，第1年获得100万元的利润，据统计，此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如表关系：
售价（元/件） … 15 17 18 20 …
年销售量（万件） … 11 9 8 6 …
(1)求该产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式．
(2)该产品第1年的售价是多少？
(3)第2年，该公司投入20万元（20万元计入第2年的成本）对该产品进行升级研发，使产品的生产成本降为5元/件，为保持市场的占有率，公司规定第2年的产品售价不高于第1年的售价，另外受产能限制，该产品的年产量不能超过12万件，求该公司第2年的利润W（万元）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式，并求至少为多少万元．
17．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为元（为正整数），每月的销售量为件．
(1)①当售价上涨时，与的函数关系为______，自变量的取值范围是______；
②当售价下降时，与的函数关系为______，自变量的取值范围是______；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每月可获得利润最大？最大月利润是多少元？
18．某广告公司设计一幅周长为米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米元．设矩形一边长为，面积为平方米．
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)设计费能达到元吗？如果能请求出此时的边长，如果不能请说明理由；
(3)当是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
19．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克） 50 60 70
销售量y（千克） 100 80 60
(1)求与之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式；
(3)售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
20．某工厂生产某种玩具的成本价为元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式同时销售该玩具．电商销售：售价为元件；门店销售：第一天售价为元件，此后售价每天比前一天每件降低元，该方式每天还需支付租金、人工等固定费用元．已知两种销售方式第天的销售数量（件）均满足．
(1)直接写出门店销售方式每天的售价（元/件）与的函数关系式；
(2)该玩具销售过程中，在第几天获得的利润总和（元）最大？利润总和最大是多少？
(3)该玩具销售过程中，哪些天门店销售的利润不低于电商销售的利润？
21．某企业投入万元（只计入第一年成本）生产某种电子产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品每年的销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式，第一年除万元外其他成本为元件．
(1)求该产品第一年的利润（万元）与售价之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降元件．
求该产品第一年的售价；
若第二年售价不高于第一年，销售量不超过万件，则第二年利润最少是多少万元？
22．近年来，国潮联名款产品层出不穷，大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”，“故宫” 这样的传统中国元素，唤起年轻一代消费群体的记忆，与这些年轻消费者进行着价值沟通，逐渐构成“国潮力量”．某外贸公司经市场调研，整理出某爆款联名卫衣的售价每增加x元，日销售量的变化情况如下表：
售价(元/件) 日销售量(件)
已知该款卫衣的成本价为80元/件，设销售该卫衣的日销售利润为w元．
(1)求w（元）与x（元）之间的函数关系式；
(2)在销售过程中，该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗，为什么？
(3)求该卫衣售价增加多少元时，日销售利润最大，最大日利润是多少？
23．如图1，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线的绳子．
(1)求绳子最低点离地面的距离；
(2)因实际需要，在离为3米的位置处用一根立柱撑起绳子（如图2），使左边抛物线的最低点距为1米，离地面1.8米，求的长；
(3)假如抛物线、的形状相同，那么的最低点距离立柱的水平距离是多少米？
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参考答案：
1．(1)，时小球达到最高点
(2)经过2秒球回到起点的高度
(3)完成其他表演动作的时间最多有1.6秒
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，正确求出函数解析式是解此题的关键．
（1）根据题意设，然后利用待定系数法求出函数解析式，再根据函数的性质求出最值即可；
（2）令，求解即可得解；
（3）令，求解即可得解．
【详解】（1）解：根据题意设，
把，；，代入解析式得：
解得：
与的函数解析式为；
，
，
当时，有最大值5，即时小球达到最高点；
（2）解：令，
解得，．
因为是回到起点的高度，所以，
答：经过2秒球回到起点的高度；
（3）解：令，
解得，，
（秒），
完成其他表演动作的时间最多有1.6秒．
2．(1)
(2)8
(3)苗圃的面积不能为，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，列代数式．解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
（1）木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米，即得长；
（2）根据题意得：，即可解得的值；
（3）设矩形的面积为，，由二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：∵木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米，
∴长为：（米）．
故答案为：．
（2）根据题意得：，
解得：，，
∵当时，，
当时，，
∴不符合题意，舍去，
∴的值为8．
（3）设矩形的面积为，
则，
∵，
∴时，的值最大，最大值为108，
∴苗圃的面积不能为．
3．(1)
(2)每件商品的销售价应定为30元
(3)售价定38元/件时，每天最大利润为768元
【分析】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法即可求解；
（2）根据等量关系得，解方程即可求解；
（3）根据题意得，进而可得抛物线的对称轴为，且开口向下，则当时，y随x的增大而增大，当时，w有最大值，代入函数即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：，
整理，得：，
解得：或（舍去），
答：每件商品的销售价应定为30元；
（3）解：∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为，且开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴售价定38元/件时，每天最大利润为768元．
4．(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件
(2)（）
(3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，
根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；
根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；
结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．
根据题意得．
解得．
则每件B类特产的售价（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）由题意得
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴．
答：（）．
（3）
．
∴当时，w有最大值1840．
答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
5．(1)400
(2)当牛奶草莓种植，草莓王子种植时，最小，最小值为52000元
(3)
【分析】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，读懂题意，正确列出函数解析式和方程是解题的关键．
（1）求出当时，设牛奶草莓种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，当时，，求出当时的x的值即可；
（2）当时，，由二次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，当时，由一次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，比较后即可得到方案；
（3）根据2026年的总种植成本为元列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，设牛奶草莓种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，把点代入得，
，
解得，
∴当时，，
当时，，
∴当时，，解得，
即当时，元/；
故答案为：；
（2）解：当时，，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，有最小值，最小值为，
当时，，
∵，
∴随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为，
综上可知，当牛奶草莓的种植面积为，草莓王子的种植面积为时，W最小；
（3）由题意可得，
解得（不合题意，舍去），
∴当时，2026年的总种植成本为元．
6．(1)
(2)时，P的最大值为4418
【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用以及函数最值求法，得出关于的函数关系式是解题关键．
（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式进而得出答案；
（2）根据计算公式为：车流量车流速度车流密度可得，再利用配方法求出最值即可．
【详解】（1）解：当时，．
当时，设，
由图象可知，，
解得：，
当时，；
（2）根据题意，得．
答：当车流密度为94辆千米时，车流量最大，为4418辆时．
7．(1)
(2)当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元
(3)
【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果；
（2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元；
（3）令，则，可求或，由，可得，由，可得．
【详解】（1）解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，
将，，代入得，，
解得，，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）解：依题意得，，
∵，，
∴当时，日获利w最大，最大利润为元；
（3）解：令，则，
解得，或，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
8．(1)；60
(2)；第30天时，销售额W最大
(3)7
【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）用待定系数法可得，的值；
（2）由销售额，分两种情况可得函数关系式，再分别 根据函数值比较即可得答案；
（3）分两种情况，结合（2）可列出方程解得答案．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
故答案为：，60；
（2）解：由（1）可得，
当时，；
当时，；
；
当，，
∵，
∴当时，W有最大值，最大值为800；
当时，，
∵，
∴W随x增大而增大，
∴时，W有最大值，最大值为，
∵，
∴第30天时，销售额W最大．
（3）解：在中，令得：，
整理得，
方程无实数解；
由得，
整数，
可取24，25，26，27，28，29，30，
销售额超过1000元的共有7天．
9．(1)，
(2)该食品的售价为30元/千克
(3)售价为35元时，每天获取的利润最大，最大利润为1350元
【分析】本题考查一次函数、二次函数、一元二次方程的实际应用：
（1）利用待定系数法求y与x的函数关系式，根据求W与x之间的函数解析式；
（2）每天利润为元，代入W与x之间的函数解析式，解一元二次方程即可；
（3）先求出售价的取值范围，将W与x之间的函数解析式变形为顶点式，根据函数的增减性求最值即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：，
把，代入得，
解得，
y与x的函数关系式为：；
即；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得，，
，
，
答：该农产品的售价为30元/千克；
（3）解：，
解得，
，
，
，
开口向下，
对称轴为，
在时，W随x的增大而增大，
时，（元），
答：售价为35元时，每天获利最大为1350元．
10．(1)
(2)第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元
(3)5
【分析】本题考查了一次函数、二次函数的应用及一元二次方程的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，根据数量关系列出函数解析式是关键．
（1）设日销售量（盒与时间（天之间的函数关系式为，把，代入求出即可；
（2）设日销售利润为元，根据销售利润售价成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）根据题意得：当天售价为元，销售量为，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为，
把，代入得：，
解得：，
即日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为；
（2）解：设日销售利润为元，
；
，，且为整数，
当时，取得最大值，最大值是450；
在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
（3）解：当天售价为元，销售量为盏，
根据题意得：，
即，
解得：或（舍去），
a的值为5．
11．(1)销售该商品第天或第天时，当天销售利润为元
(2)销售该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元
【分析】（）分和两种情况列出方程解答即可求解；
（）分和两种情况列出与之间的函数关系式，再根据函数的性质解答即可求解；
本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，二次函数和一次函数的应用，根据题意，正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
整理得，，
解得，（不合，舍去），
∴；
当时，，
解得；
答：销售该商品第天或第天时，当天销售利润为元；
（2）解：当时，
，
∵，，
∴当时，当天销售利润最大，元；
当时，，
∵，，
∴当时，当天销售利润最大，；
∵，
∴销售该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．
12．(1)，；
(2)它行驶的路程是；
(3)4秒时，两车相距最近，最近距离是．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图象，求出表达式是解题的基本前提．
（1）根据图象，利用待定系数法分别求出一次函数和二次函数解析式即可；
（2）把代入一次函数解析式求出t，再把t的值代入二次函数解析式求出s即可；
（3）分析得出当时，两车之间距离最小，代入计算即可．
【详解】（1）由图可知，二次函数的图象经过原点．
设二次函数的表达式为，一次函数的表达式为．
二次函数经过点，
解得
二次函数表达式为，
一次函数经过点，
解得
一次函数的表达式为．
（2），
∴当时，，解得．
，
∴当时，，
∴当甲车减速至时，它行驶的路程是．
（3）当时，甲车的速度为，
当时，两车之间的距离逐渐变小；
当时，两车之间的距离逐渐变大，
∴当时，两车之间的距离最小．
将代入，得；
将代入，得，
此时两车之间的距离为．
答：4秒时，两车相距最近，最近距离是．
13．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数对称轴的计算，二元一次方程组的计算，不同自变量的取值函数最值的计算方法时解题的关键．
（1）根据二次函数对称轴，顶点坐标即可求解；
（2）联立方程解二元一次方程组即可求解；
（3）根据二次函数图象的对称轴，分类讨论，当时，取到最大值；当时，取到最大值；由此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的对称轴为，
∵小球达到的最高的的坐标为，
∴，
∴二次函数解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：根据题意联立方程组得，
，
解得，（不符合题意，舍去）或，
∴；
（3）解：已知二次函数的顶点坐标为，
∴当时，随的增大而增大；
∵时的最大值为，
∴当时取到最大值，且，即，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去）；
∴；
当时，随的增大而减小，
∴当时取得最大值，且，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），，
∴；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
14．(1)；
(2)当时，即第天利润最大，最大利润为元；
(3)天．
【分析】（）依据题意，设每次降价的百分率为，从而可得，解方程即可判断得解；
（）依据题意，第一次降价后的价格为元，从而可得当时，，当时，，进而分类讨论分析即可得解；
（）依据题意，由当时当时两种情形分别进行计算分析进而可以判断得解．
【详解】（1）解：设由题意，设每次降价的百分率为，据题意可得
∴，（不符合题意，舍去）；
答：此品牌柑橘每次降价的百分率为；
（2）由题意，第一次降价后的价格为元，
当时，
当时，
当时，，
∵，随的增大而减小，
∴当时，（元），
当时，，
∵，
∴当时，最大值为（元）
综上可知：，
∴当时，即第天利润最大，最大利润为元；
（3）由题意，当时，，
∴解得：，
∴，
又为正整数，
∴，故此时为天利润不低于元，
当时，，
∴解得：，
∴当时，有，此时，
故此时有天利润不低于元．
又（天），
综上可知，共有天利润不低于元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题的关键．
15．(1)
(2)第8个月
(3)275万元
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．
（1）设累积利润（万元）与之间的函数关系式为，再将对应的点代入即可解答；
（2）把代入即可解答；
（3）将代入函数，再用到八月份为止所获总利润减去到7月为止所获总利润，即可解答．
【详解】（1）解：设累积利润（万元）与之间的函数关系式为，
∵图像过，
.
∵图像过，两点，
∴，
解得
∴累积利润（万元）与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，（舍去）.
答：该产品上市后第8个月公司累积利润可达到800万元；
（3）解：当时，
（万元），
（万元）.
答：该产品上市后第8个月公司所获利润是275万元.．
16．(1)
(2)该产品第1年的售价是16元/件
(3)第2年的利润W（万元）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式为，至少为88万元
【分析】此题考查了一次函数和二次函数的实际应用，读懂题意，提取有用数据，求出函数解析式是解题的关键．
（1）由表格可猜想，该产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）是一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再用剩余的两组数值进行验证即可；
（2）根据生产成本为6元/件，第1年获得100万元的利润，结合（1）中求出的函数关系式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据题意求出x的取值范围，再根据题意列出关于x的二次函数，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：由表格可猜想，该产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）是一次函数关系，
设，把代入中得：
，
解得：，
∴；
当时，，
当时，，
∴该产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式为．
（2）由题意得：，
解得：，
答：该产品第1年的售价是16元/件；
（3）由题意得：，且，
∴，
∵，抛物线开口方向向下，对称轴为：直线，
∴时，，
答：第2年的利润W（万元）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式为，至少为88万元．
17．(1)①；；②；
(2)当售价为元时，利润最大利润为元
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用．
（1）根据题意分别列出当售价上涨和售价下降时的一次函数解析式，再根据实际问题含义写出自变量的取值范围；
（2）根据利润=（售价-进价）销量分类讨论列出二次函数关系式，求顶点坐标即为本题答案．
【详解】（1）解：∵进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，
又∵售价每上涨1元，则每月少卖10件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件，
∴上涨了元，少卖出了件，
∴，
整理得：，
∵每件售价不能高于65元，x为正整数，
∴；
∵如果售价每下降1元，则每月多卖12件，
∴下降了元，多卖出了件，
∴，
整理得：，
∵每件售价不低于48元，x为正整数，
∴，
故答案为：；；；．
（2）解：∵由（1）得和，
∴对价格上涨和下降分情况讨论利润问题：
设：利润为，
①当价格上涨时，售价为x，此时销量为，
∴，
整理得：，
∵且为正整数，，开口向下利润有最大值，
∴售价元时利润最大，最大利润为：元，
②当价格下降时，售价为x，此时销量为，
∴，
整理得：，
∵且为正整数，，开口向下利润有最大值，
∴对称轴，当元时，利润最大为：元，
∵，
∴综上所述：当售价为55元时，利润最大，最大利润为2250元．
18．(1)
(2)能，或米
(3)当米时，设计费最多，最多是元
【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用、解一元二次方程、求二次函数最值，解题关键是理解题意．
（1）根据题意可得矩形另一边长为米，则可由矩形面积公式求得与之间的函数关系式及的取值范围；
（2）先算出设计费为元时矩形面积，再将矩形面积代入得到一元二次方程后求解即可；
（3）利用配方法求得最大值后即可求得设计费的最大值．
【详解】（1）解：矩形的一边为米，周长为米，
另一边长为米，
，其中，
即．
（2）解：能，
当设计费为元时，面积为（平方米），
即：，
解得：或，
设计费能达到元，
此时的边长为或米．
（3）解：，
当时，，
当米时，矩形的最大面积为平方米，
此时设计费最多，最多是元．
19．(1)
(2)W与x之间的函数解析式为；
(3)售价为70元时，利润最大为1800元．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式；
（3）将（2）得到的解析式配方成顶点式即可得最值情况．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为，
将代入得：
解得：，
；
（2）解：
；
W与x之间的函数解析式为；
（3）解：，
∵，，
∴当时，W取得最大值为1800，
售价为70元时，总利润最大为1800元．
20．(1)；
(2)第天或第天获得的利润总和最大，最大为元；
(3)第天门店销售的利润不低于电商销售的利润
【分析】（）根据题意即可求解；
（）根据题意，求出与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求解；
（）根据题意，列出不等式，结合函数图象解不等式即可求解；
本题考查了二次函数的应用，根据题意，正确得到二次函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：由题意可得，
，
，
，
∵，二次函数的对称轴为直线，
又∵为整数，
∴当或时，取得最大值，
元，
答：第天或第天获得的利润总和最大，最大为元；
（3）解：由题意可得，，
整理得，，
解得，
∴第天门店销售的利润不低于电商销售的利润．
21．(1)；
(2)元件；万元．
【分析】（）根据总利润每件利润销售量投资成本，列出式子即可求解；
（）构建方程即可求出该产品第一年的售价；根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即；
（2）解：∵该产品第一年利润为万元，
∴，
解得，
答：该产品第一年的售价是元件；
∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过万件，
∴，
解得，
设第二年利润是万元，
则，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
又∵，
∴时，有最小值，最小值为(万元)，
答：第二年的利润至少为万元．
22．(1)
(2)能，理由见解析
(3)售价增加30元时，日销售利润最大，最大日利润为98000元
【分析】本题考查了二次函数的实际应用中的利润最大问题，熟练将生活问题转化为二次函数问题解决是解题的关键．
（1）根据利润售价日销售量计算即可；
（2）当时，求销售利润的值，比较即可；
（3）把问题转化为二次函数的最值问题处理即可．
【详解】（1）解：由题意得
；
（2）解：∵当时，
，
∴该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元；
（3）解：∵，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，w取得最大值为98000，
∴该卫衣售价增加30元时，日销售利润最大，最大日利润为98000元．
23．(1)绳子最低点离地面的距离为米；
(2)的长度为：2.1米；
(3)那么的最低点距离立柱的水平距离是米．
【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识，正确表示出函数解析式是解题关键．
（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
（2）利用顶点式求出抛物线的解析式，进而得出时，的值，进而得出的长；
（3）根据题意得出抛物线的解析式，进而得出答案．
【详解】（1）解：，
抛物线顶点为最低点，
，
绳子最低点离地面的距离为米；
（2）解：由（1）可知，对称轴为，则米，
令得，
，，
由题意可得：抛物线的顶点坐标为：，
设的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
抛物线为：，
当时，，
的长度为：2.1米；
（3）解：由题意设的解析式为：，
由（2）得点，，
，
解得，
抛物线的顶点坐标为：，
那么的最低点距离立柱的水平距离是米．