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第一讲 菱形的性质与判定
课前小练
1.(23-24九年级下·吉林长春·期末)如图,在菱形中,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查菱形性质,平行线性质,角平分线性质等.根据题意可知,继而得到,再利用角平分线性质可得的度数.
【详解】解:∵四边形是菱形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
故选:C.
2.如图,在中,.以点为圆心,长为半径画弧,交于点;分别以点,为圆心,长为半径画弧,两弧相交于点,连接,,.若,则的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质,直角三角形中两个锐角互余,根据作图可得四边形是菱形,进而得出,即可求解.
【详解】解:根据作图可得,
∴四边形是菱形,
∴,,
∵,
∴,
∵中,,
∴.
故选:C.
3.(23-24·广东·二模)如图,四边形为平行四边形,四边形为菱形,与交于点G,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形和菱形的性质,三角形的内角和定理,掌握菱形的对角线平分一组对角是解题的关键.
【详解】解:∵四边形为菱形,
∴,
又∵为平行四边形,
∴,
∴,
故选A.
4.如图,在菱形中,,,则菱形的面积为( )
A. B.1 C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质“所对直角边等于斜边的一半”以及勾股定理等知识,熟练掌握菱形的性质“菱形的四条边都相等,菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角”和勾股定理“在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键.
由菱形的性质得,再由含角的直角三角形的性质得,然后由勾股定理求出的长,即可解决问题.
【详解】如图,交于点,
∵四边形是菱形,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∴菱形的面积为∶.
故选D.
5.(23-24九年级下·北京东城·期末)如图,下列条件之一能使是菱形的为( )
①;②平分;③;④;
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【答案】D
【分析】根据菱形的判定定理判断即可得解.
【详解】解:①,四边形是平行四边形,
∴四边形是矩形;
②平分,四边形是平行四边形,
∴四边形是菱形;
③,四边形是平行四边形,
∴四边形是菱形;
④,四边形是平行四边形,
∴四边形是菱形.
综上所述,由②③④可证得四边形是菱形.
故选:D.
6.如图,的对角线相交于点O,点E为边的中点,连接并延长交边于点F,,.下列结论错误的是( )
A. B.
C.四边形为菱形 D.
【答案】D
【分析】通过判定为等边三角形求得,利用等腰三角形的性质求得,从而判断①;利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③,然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②;根据三角形中线的性质判断④.
【详解】解:点E为边的中点,
,
又,
,
,
为等边三角形,
,,
,
,
即,故选项A正确;
在中,,,
,
在和中,
,
,
四边形为平行四边形,
,
四边形为菱形,故选项C正确;
,
在中,,
,
,故选项B正确;
在中,,
又点E为边的中点,
,故选项D错误,
故选:D.
7.(23-24九年级下·浙江嘉兴·期末)如图,在菱形中,点分别是边的中点,连接.若菱形的面积为16,则的面积为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质,三角形的中位线定理,连接和,可得,,即可得到,,然后利用解题即可.
【详解】连接和,
则,,
又∵点分别是边的中点,
∴,,
∴,
∵点分别是边的中点,
∴,
∴,
故选C.
8.如图,将菱形纸片折叠,使点落在边的点处,折痕为,若,则的度数是 .
【答案】/80度
【分析】此题考查了菱形的性质,折叠的性质,等边对等角和平行线的性质,
首先根据平行的性质得到,由折叠得,然后求出,然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可.
【详解】∵四边形是菱形
∴
由折叠可得,
∴
∴
∵四边形是菱形
∴
∴.
故答案为:.
9.菱形的周长为,一条对角线长为4,则菱形的面积是 .
【答案】4
【分析】本题考查了菱形的面积公式:两条对角线的积的一半,根据菱形的性质可知边长和另一条对角线的长,然后利用菱形的面积计算公式可解.
【详解】作菱形,,则,
一条对角线长为4,
令,则,
由勾股定理得,
,
,
故答案为:4.
10.如图,在菱形中,点E是边上一点,延长至点F,使,连接、.求证:.
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质,三角形全等的判定和性质,根据菱形的性质,证明,得出即可.
【详解】证明:∵四边形是菱形,
∴,,
∴,
在和中,
,
∴,
∴.
知识回顾
知识点1:菱形的性质
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质:①菱形具有平行四边形的一切性质;
②菱形的四条边都相等;
③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.
知识点二: 菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外,还有一些特殊性质:
1.菱形的四条边都相等;
2.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形,有两条对称轴(对角线所在的直线),对称轴的交点就是对称中心.
常用结论:
(1)菱形是特殊的平行四边形,是中心对称图形,过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
(2)菱形的面积由两种计算方法:一种是平行四边形的面积公式:底×高;另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和).实际上,任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
(3)菱形可以用来证明线段相等,角相等,直线平行,垂直及有关计算问题.
知识点三:菱形的判定
1.定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点:前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形,后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
典例精练
1.(23-24九年级上·四川成都·期末)如图,在菱形中,,分别以点A,B为圆心,大于的长为半径作弧相交于M,N两点,过M,N两点的直线交边于点E(作图痕迹如图所示),连接,.则的度数为 .
【答案】/80度
【分析】本题考查了作图—垂直平分线,菱形的性质,根据题意得,点E在的垂直平分线上,则,即可得,根据四边形为菱形得,,可得,即可得;掌握作图—垂直平分线,菱形的性质是解题的关键.
【详解】解:根据题意得,点E在的垂直平分线上,
∴,
∴,
∵四边形为菱形,
∴,
,
∴,
∴,
故答案为:.
2.如图,菱形的对角线、相交于点O,过点D作于点H,连接,若,则为( )
A.6 B.8 C.12 D.24
【答案】D
【分析】本题主要考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质,掌握相关性质并灵活应用是解题的关键.
根据菱形的性质可知,由,可得,从而即可求菱形的面积.
【详解】解:∵是菱形,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
故选D
3.(23-24·广东·二模)如图,四边形为平行四边形,四边形为菱形,与交于点G,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形和菱形的性质,三角形的内角和定理,掌握菱形的对角线平分一组对角是解题的关键.
【详解】解:∵四边形为菱形,
∴,
又∵为平行四边形,
∴,
∴,
故选A.
4.如图,菱形的对角线,相交于点O.若,则( )
A. B.3 C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理,先证是等边三角形,根据等边三角形的性质和勾股定理即可求解.
【详解】解:四边形是菱形,
,,,,
∵,
∴是等边三角形,
,
设,则,
根据勾股定理得:,
∴,
。
故选:C
5.(23-24·河北邯郸·三模)如图是由5个边长为1,且一个内角为的小菱形拼成的图形,P是其中4个小菱形的公共顶点.佳佳想到:“一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了图形的剪拼,中心对称的性质,勾股定理的应用,熟练掌握中心对称的性质是解题的关键.根据中心对称的性质即可作出剪痕,由三角形全等的性质即可证得,利用勾股定理即可求得.
【详解】解:如图,连接最左侧菱形的对角线交于点O,作直线,交延长线于点A,交最左侧菱形对边分别于点,交最右侧上方菱形一边于点F,过点作,垂足为G,
菱形是中心对称图形,
经过P、O的直线则把它剪成了面积相等的两部分,
由中心对称图形可知,
,
,
,
,
,
,
∴,
∴,
,
,
,
,
∴,
故选:B.
6.(23-24·河北承德·模拟预测)依据所标识的数据,下列平行四边形一定为菱形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据菱形的判定逐项排查即可解答.
【详解】解:四边形是平行四边形,对角线互相平分,故A不一定是菱形;
四边形是平行四边形,对边相等,故B不一定是菱形;
图C中,根据三角形的内角和定理可得:,邻边相等,四边形是平行四边形,邻边相等的平行四边形的菱形,故C是菱形;
四边形是平行四边形,对边平行,故D不一定是菱形.
故选:C.
7.(23-24九年级下·全国·专题练习)如图,菱形的对角线相交于点,过点作于点,连接,若,,则菱形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形的斜边上的中线性质和菱形的面积公式,熟练掌握以上知识是解题的关键.
由菱形的性质得,根据题意得,再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度,然后由菱形的面积公式求解即可.
【详解】解:∵四边形是菱形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴菱形的面积,
故选:.
8..如图,已知,以点为圆心,适当长为半径作圆弧,与角的两边分别交于,两点,分别以点,为圆心,大于长为半径作圆弧,两条圆弧交于内一点,作射线.以点为圆心,长为半径作圆弧,恰好经点,与射线交于点,连接,.若,则四边形的面积为 .
【答案】
【分析】连接交于点,由作图易知是等边三角形,平分,先证明四边形是菱形,求出的长度,再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可得结论.
【详解】解:如图,连接交于点.
由作图可知,
是等边三角形,
,
由作图可知平分,
,
,
,
,
,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形,
,,,
,
菱形的面积.
故答案为:.
9.(23-24九年级下·江苏无锡·期中)如图,边长为3的菱形中,,点P是对角线上任意一点(P不与B、D重合),以和为边作平行四边形,则的最小值为 .
【答案】
【分析】设与交于O,根据平行四边形的性质得到,当取最小值时,的值最小,当时,的值最小,根据菱形的性质得到,,根据直角三角形的性质得到,于是得到答案.
【详解】解:设与交于O,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∴当取最小值时,的值最小,
由“点到直线的距离垂线段最短”可知,
当时,的值最小,
∵四边形是菱形,
∴,
∴,
∵,
在中,
∴,
∴的最小值为.
故答案为:.
10.如图,在中,D,E分别是的中点.,延长到点F,使得,连接.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,求菱形的面积.
【答案】(1)见解析;
(2).
【分析】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理,以及菱形的面积的计算等知识点,掌握相关知识是解题的关键.
(1)从所给的条件可知,是中位线,所以且,所以和平行且相等,所以四边形是平行四边形,又因为,所以是菱形;
(2),所以,所以菱形的边长也为4,求出菱形的高面积就可求.
【详解】(1)证明:∵D、E分别是的中点,
∴,且,
又∵,
∴,
∴四边形是平行四边形,
又∵,
∴四边形是菱形.
(2)解:在菱形中,,
∴,
∴是等边三角形.
∴,
过点E作于点G,如图:
∴.
∴,
∴
11.如图,是菱形的对角线,为边上的点,过点作,交于点,交边于点.求证:.
【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的性质.首先判定四边形是平行四边形,得到,然后利用等角对等边得到,从而证得结论.
【详解】证明:四边形是菱形,
∴,,
∵,
∴,
四边形是平行四边形,
,,
,
,
,
.
:C.
12.如图,在菱形中,E、F是对角线AC上的两点,连接、,请你添加一个条件,使.(不再添加辅助线和字母)
(1)你添加的条件是______;
(2)添加条件后,请证明.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是菱形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记菱形的性质是解本题的关键;
(1)根据菱形的性质可得,,再结合全等三角形的判定方法选择添加条件即可;
(2)证明,,再结合添加的条件可得结论.
【详解】(1)解:添加的条件是:,
故答案为:;
(2)∵菱形,
∴,
∴,
在与中,
,
∴.
13.如图,在中,平分,交于点E,平分,交于点F,与交于点P,连接.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,,求菱形的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定,平行四边形的性质,等角对等边,勾股定理等等:
(1)利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得,可证得结论;
(2)利用菱形的性质得到,,再由含30度角的直角三角形的性质得到,则,即可得到,则.
【详解】(1)证明:∵四边形为平行四边形,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
同理可得,
∴,且,
∴四边形为平行四边形;
∵,
∴四边形为菱形;
(2)解:∵四边形为菱形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
14.(23-24九年级下·山东聊城·期末)如图,在平面直角坐标系中,点,点B在y轴上,菱形的顶点.
(1)求直线的解析式;
(2)点P是对角线上的一个动点,当取到最小值时,求点P的坐标;
(3)y轴上是否存在一点Q,使的面积等于菱形的面积,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在,或
【分析】(1)先由菱形的性质得出点C的坐标,再用待定系数法即可求出解析式;
(2)先确定当取到最小值时点P的位置是直线与y轴的交点,即可根据、的解析式,求出点P的坐标,即可解答;
(3)存在,设点Q的坐标为,先求出菱形的面积,根据面积相等,即可求出y,从而求出点Q的坐标.
【详解】(1)解:∵,∴,
∵四边形是菱形,
∴,
∴,
设的解析式为,
则,解得:,
∴;
(2)连接,交于点P,连接,交于点N,
∵四边形是菱形,
∴,
∴ ,
由三角形三边关系可知:,
∴当A、P、D三点共线时,最小,
设的解析式为,
将、代入,得:,
解得:,
∴,
联立,
解得,
∴P点坐标为;
(3)∵,,
∴,
如图,设交y轴于点E,则,设,
则
,
∴,
∴或,
∴Q点的坐标为或.
同步练习
1.如图,剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合部分构成一个四边形,则下列结论中不一定成立的是( )
A., B.
C., D.
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的判定与性质.注意:“邻边相等的平行四边形是菱形”,而非“邻边相等的四边形是菱形”.首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条纸条宽度相同;再由平行四边形的等积转换可得邻边相等,则四边形为菱形.所以根据菱形的性质进行判断.
【详解】解四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形,
∴,,
四边形是平行四边形(对边相互平行的四边形是平行四边形);
过点分别作,边上的高为,.则
(两纸条相同,纸条宽度相同);
平行四边形中,,即,
,即.故B正确;
平行四边形为菱形(邻边相等的平行四边形是菱形).
,(菱形的对角相等),故A正确;
,(平行四边形的对边相等),故C正确;
如果四边形是矩形时,该等式成立.故D不一定正确.
故选:D.
2.如图,在菱形中,作垂直平分,垂足为,交于点,连接,若,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质和线段的垂直平分线的性质,根据菱形的性质求出;再根据垂直平分线的性质得出,利用三角形内角和定理可以求得,从而得到的度数,即可求解.
【详解】解:如图,连接,
,
∵四边形是菱形,
,
,
垂直平分垂直平分,
,
,
,
,即,
,
,则,
,
故选:D.
3(23-24九年级下·福建厦门·阶段练习)如图,E,F是平行四边形ABCD对角线BD上两点,且BE=DF,若∠BAF=90°,AB=4,AF=AE=3,则AC的长为( )
A.2.4 B.3.6 C.4.8 D.6
【答案】C
【分析】由勾股定理求出BF=5,证出四边形AECF是菱形,得AC⊥EF,由勾股定理的OA2=AB2﹣OB2=AE2﹣OE2,解得OF=1.8,则OA=2.4,得AC=2OA=4.8.
【详解】解:∵∠BAF=90°,AB=4,AF=3,
∴BF5,
∵E,F是平行四边形ABCD对角线BD上两点,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,
∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵OA=OC,AE=AF,
∴四边形AECF是菱形,
∴AC⊥EF,
∴,
∴ ,
解得:OF=1.8,
∴ ,
∴AC=2OA=4.8.
故选:C.
4.已知:在四边形中,,如图,求证,四边形是菱形.
证明:,,
四边形是平行四边形,
又…………,
四边形是菱形
在以上证明过程中,“…………”可以表示的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据菱形的定义判定即可,“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”, 熟练掌握菱形的定义是解题的关键.
【详解】根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”,可得“…………”可以表示的是.
故选C.
5(23-24·广西·三模)如图,菱形中,交于,于,连接,若,则的度数为 °.
【答案】35
【分析】本题考查了菱形的性质,直角三角形的性质,等腰三角形的性质,掌握菱形的性质是解题的关键.由菱形的性质可得,由直角三角形的性质可求解.
【详解】解:∵四边形是菱形,,,
∴,
∴,,
∵,
∴,,
∴,
∴,
故答案为:25.
6.(23-24九年级下·吉林长春·阶段练习)如图,在四边形中,,,对角线,交于点,且平分,过点作交的延长线于点.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)连结,交于点,若,则______度.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质,菱形的判定与性质,熟记平行四边形与菱形的判定方法是解本题的关键;
(1)由角平分线的性质可得,由平行线的性质可得,即可得到,进而得到,然后证得,根据平行四边形判定得到四边形是平行四边形,再由,即可证得平行四边形是菱形;
(2)证明,证明,结合,可得,证明,从而可得答案.
【详解】(1)证明:,
,
为的平分线,
,
,
,
,
,
,
四边形是平行四边形,
,
平行四边形是菱形;
(2),
,
平行四边形是菱形,
,
,
平行四边形是菱形,
,
,
,
,
,.
7.如图,在菱形中,P为对角线上一点,点E在边上,连接,,,且.求证:.
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,
利用菱形的性质可得,,再证明,问题随之得证.
【详解】证明:∵四边形是菱形,
∴,,
在和中,
,,,
∴,
∴,
∵,
∴.
8.如图1,两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上,,将沿直线平移,并连结,.
(1)【基础巩固】
求证:在沿直线平移过程中,四边形是平行四边形;
(2)【操作思考】
如图2,已知,,当沿平移到某一个位置时,四边形为菱形,求此时的长;
(3)【拓展探究】
如图3,连结,若四边形为菱形,且,求的度数.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题;
(2)设,根据勾股定理,建立方程求解即可;
(3)延长交于点,证明,得,所以是等腰直角三角形,然后根据菱形的性质即可解决问题.
【详解】(1)证明:,
,,
,
四边形是平行四边形;
(2)解:,,,
,
如图2,连接交于点,
四边形是菱形,
,,,
,
,
,
设,
,
,
,
,
,
整理得,
解得:或(舍去),
.
当时,四边形能成为菱形;
(3)解:如图3,连结,延长交于点,
四边形为菱形,
,,
,
,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
四边形为菱形,
,
.
9.如图,在四边形中,,,对角线,交于点,平分,过点作交的延长线于点,连接.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,,求的长;
(3)在(2)的条件下,已知点M是线段上一点,且,则的长为_______.
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)或
【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,勾股定理;
(1)先判断出,进而判断出,得出,即可得出结论;
(2)先判断出,再求出,利用勾股定理求出,即可得出结论;
(3)先根据勾股定理求出,再结合图形即可求出.
【详解】(1)证明:∵,
,
为的平分线,
,
,
,
∵,
四边形是平行四边形,
,
平行四边形是菱形;
(2)解:四边形是菱形,
,,
,
,
,
,
在中,,,
,
;
(3)解:如图,
在(2)的条件下,,
∵,
∴,
∴或
故答案为:或.
10.(23-24九年级下·河南驻马店·期末)在平面直角坐标系中,菱形的位置如图所示,点A的坐标为,点B的坐标为,点D在y轴上,.
(1)求点C和点D的坐标.
(2)点P是对角线上一个动点,当最短时,求点P的坐标.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)先求出,由四边形是菱形,则,,在中,,求出,即可得到点C和点D的坐标.
(2)点B,D关于直线对称.设交于,连接,则,,即.则当点P和点重合时,的值最小.在中,,则,则,求出,即可得到点P的坐标.
【详解】(1)解:点A的坐标为,点B的坐标为,
.,
四边形是菱形,
,,
在中,,
则,
∴,
∴,
∴,
,.
(2)四边形是菱形,
,D关于直线对称.
设交于,连接,则,
,即.
当点P和点重合时,的值最小.
在中,
,
∴,
则,即,
,
.
针对练习
1.(23-24九年级下·浙江嘉兴·期末)如图,在菱形中,点分别是边的中点,连接.若菱形的面积为16,则的面积为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质,三角形的中位线定理,连接和,可得,,即可得到,,然后利用解题即可.
【详解】连接和,
则,,
又∵点分别是边的中点,
∴,,
∴,
∵点分别是边的中点,
∴,
∴,
故选C.
2.如图,在菱形中,点,分别是,的中点.若,则菱形的周长是( )
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】D
【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质,熟练掌握相关知识点是解题的关键.利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可.
【详解】解:∵E、F分别是的中点,
∴是的中位线,
∴,
∴菱形的周长为:,
故选:D.
3.如图,菱形的对角线于点,则的长是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题主要考查菱形的性质,勾股定理的运用,掌握菱形的性质,勾股定理的运算是解题的关键.
根据菱形的性质得出的长,在中求出,利用菱形面积等于对角线乘积的一半,也等于,可得出的长度.
【详解】解:∵四边形是菱形,
∴,,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
故选A
4.在菱形中,对角线相交于O,若,,那么 .
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质,勾股定理,其中菱形的性质是关键.根据题意画出图形,由菱形的性质,得,由勾股定理求得即可.
【详解】解:如图,在菱形中,,,
由鑀得,
则;
故答案为:.
5.在中,、是对角线,补充一个条件使得四边形为菱形,这个条件可以是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的判定.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断.
【详解】解:添加一个条件为,理由如下:
四边形是平行四边形,,
平行四边形是菱形.
故选:B.
6.(17-18九年级下·全国·单元测试)如图,中,,,要判定四边形是菱形,还需要添加的条件是( )
A. B. C. D.平分
【答案】D
【分析】当平分时,四边形是菱形,可知先证明四边形是平行四边形,再证明BD=DE即可解决问题.
【详解】解:当平分时,四边形是菱形,
理由:∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴四边形是菱形.
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形.
故选:D.
【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
7.(23-24九年级上·山东青岛·期末)如图所示,第一个菱形的边长为2,,且点D落在y轴上,延长交x轴于A,以为边作第二个菱形;延长交x轴于点,以为边作第三个菱形…,按这样的规律进行下去,若点D、C、、…都在一条直线上.
【探究】
(1)______;
(2)____________;
(3)则第个菱形的面积为______.
【答案】(1)
(2),
(3)
【分析】(1)由第一个菱形的边长为2,,得出为含30度直角三角形,由此得出,即可得到答案;
(2)同理(1)可得,,由此发现规律:即可解题;
(3)根据(2)的规律求出第个菱形的边的高即可求解.
【详解】(1)解: ,
,
菱形的边长为2,
∴,,
∴,,
∴
同理可得
∴
故答案为
(2)由(1)可知
,即:
由此规律可知:,
∴
故答案为:,.
(3)由(2)可知,第个菱形的菱长为,
的高,
第个菱形的面积为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查菱形的性质,含度直角三角形性质、勾股定理,图形的规律,解本题的关键是求出前几个菱形的边长,找出规律.
8.(23-24九年级下·湖北恩施·期末)如图,在的正方形网格中,每一个小正方形的边长为,其顶点我们称为格点,,为格点三角形.
(1)请你仅用无刻度的直尺,在这个的正方形网格中,画出个以为边的不是正方形的菱形,并简单说明理由;
(2)求的大小.
【答案】(1)图见解析,理由见解析
(2)
【分析】(1)根据勾股定理可知,再根据菱形的判定即可解答;
(2)根据菱形的性质可知,在根据全等三角形的性质可知是等腰直角三角形,最后利用等腰直角三角形的性质即可解答.
【详解】(1)解:∵,,
∴,
∴四边形是菱形,
∴菱形即为所求;
(2)解:∵,,
∴,
∴四边形是菱形,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴.
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
9..如图1,,平分,且交于点,平分,且交于点,连接
(1)求证:四边形是菱形;
(2)如图2,若交于点,且,,求菱形的边长.
【答案】(1)见解析(2)5
【分析】本题考查了菱形的判定与性质,勾股定理,直角三角形斜边上中线的性质,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
(1)由平行线的性质及角平分线的定义证出,得出四边形是平行四边形,根据菱形的判定定理可得出结论;
(2)由直角三角形的性质,由勾股定理可得出答案.
【详解】(1)证明:平分,
,
又,
,
,
同理,平分,
,
又,
,
,
,,
,
,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形;
(2)解:菱形中,,,,
,,,
.
10.如图,在中,,,.点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动,同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒.过点D作于点F,连接.
(1)的长是_______,的长是_______.
(2)在D、E的运动过程中,线段与的关系是否发生变化?若不变化,那么线段与是何关系,并给予证明.若变化,请说明理由.
(3)四边形能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
(4)当t为何值,的面积是?
【答案】(1)10,5
(2)不变化,与平行且相等;
(3)能,当秒时,四边形为菱形;
(4)当秒时,的面积是.
【分析】(1)根据直角三角形的性质可得,再由勾股定理,即可求解;
(2)根据直角三角形的性质可得,再证明四边形为平行四边形,即可求解;
(3)根据菱形的判定可得当时,平行四边形为菱形,得到关于t的方程,即可求解;
(4)由,,求得,,利用三角形面积公式列式计算即可求解.
【详解】(1)解:∵,,,
∴,
由勾股定理得:;
解得,,
故答案为:10,;
(2)解:与平行且相等.
证明:由题意得:,
在中,,
∴.
又∵,
∴,
∵,
∴,
∴四边形为平行四边形,
∴与平行且相等;
(3)解:四边形能够成为菱形.理由如下:
由(2)知:四边形为平行四边形,
∵,
∴.
当时,平行四边形为菱形,
即,
解得:.
即当秒时,四边形为菱形;
(4)解:∵,,
∴,,
由题意得,即,
解得(舍去负值),
∴当秒时,的面积是.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质,菱形的判定,平行四边形的判定和性质,勾股定理,熟练掌握直角三角形的性质,菱形的判定,平行四边形的判定和性质是解题的关键.
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第一讲 菱形的性质与判定
课前小练
1.(23-24九年级下·吉林长春·期末)如图,在菱形中,,则等于( )
A. B. C. D.
2.如图,在中,.以点为圆心,长为半径画弧,交于点;分别以点,为圆心,长为半径画弧,两弧相交于点,连接,,.若,则的大小为( )
A. B. C. D.
3.(23-24·广东·二模)如图,四边形为平行四边形,四边形为菱形,与交于点G,,,则( )
A. B. C. D.
4.如图,在菱形中,,,则菱形的面积为( )
A. B.1 C. D.
5.(23-24九年级下·北京东城·期末)如图,下列条件之一能使是菱形的为( )
①;②平分;③;④;
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
6.如图,的对角线相交于点O,点E为边的中点,连接并延长交边于点F,,.下列结论错误的是( )
A. B.
C.四边形为菱形 D.
7.(23-24九年级下·浙江嘉兴·期末)如图,在菱形中,点分别是边的中点,连接.若菱形的面积为16,则的面积为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
8.如图,将菱形纸片折叠,使点落在边的点处,折痕为,若,则的度数是 .
9.菱形的周长为,一条对角线长为4,则菱形的面积是 .
10.如图,在菱形中,点E是边上一点,延长至点F,使,连接、.求证:.
知识回顾
知识点1:菱形的性质
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质:①菱形具有平行四边形的一切性质;
②菱形的四条边都相等;
③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.
知识点二: 菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外,还有一些特殊性质:
1.菱形的四条边都相等;
2.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形,有两条对称轴(对角线所在的直线),对称轴的交点就是对称中心.
常用结论:
(1)菱形是特殊的平行四边形,是中心对称图形,过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
(2)菱形的面积由两种计算方法:一种是平行四边形的面积公式:底×高;另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和).实际上,任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
(3)菱形可以用来证明线段相等,角相等,直线平行,垂直及有关计算问题.
知识点三:菱形的判定
1.定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点:前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形,后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
典例精练
1.(23-24九年级上·四川成都·期末)如图,在菱形中,,分别以点A,B为圆心,大于的长为半径作弧相交于M,N两点,过M,N两点的直线交边于点E(作图痕迹如图所示),连接,.则的度数为 .
2.如图,菱形的对角线、相交于点O,过点D作于点H,连接,若,则为( )
A.6 B.8 C.12 D.24
3.(23-24·广东·二模)如图,四边形为平行四边形,四边形为菱形,与交于点G,,,则( )
A. B. C. D.
4.如图,菱形的对角线,相交于点O.若,则( )
A. B.3 C. D.
5.(23-24·河北邯郸·三模)如图是由5个边长为1,且一个内角为的小菱形拼成的图形,P是其中4个小菱形的公共顶点.佳佳想到:“一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是( )
B. C. D.
6.(23-24·河北承德·模拟预测)依据所标识的数据,下列平行四边形一定为菱形的是( )
A. B. C. D.
7.(23-24九年级下·全国·专题练习)如图,菱形的对角线相交于点,过点作于点,连接,若,,则菱形的面积为( )
A. B. C. D.
8..如图,已知,以点为圆心,适当长为半径作圆弧,与角的两边分别交于,两点,分别以点,为圆心,大于长为半径作圆弧,两条圆弧交于内一点,作射线.以点为圆心,长为半径作圆弧,恰好经点,与射线交于点,连接,.若,则四边形的面积为 .
9.(23-24九年级下·江苏无锡·期中)如图,边长为3的菱形中,,点P是对角线上任意一点(P不与B、D重合),以和为边作平行四边形,则的最小值为 .
10.如图,在中,D,E分别是的中点.,延长到点F,使得,连接.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,求菱形的面积.
11.如图,是菱形的对角线,为边上的点,过点作,交于点,交边于点.求证:.
12.如图,在菱形中,E、F是对角线AC上的两点,连接、,请你添加一个条件,使.(不再添加辅助线和字母)
(1)你添加的条件是______;
(2)添加条件后,请证明.
13.如图,在中,平分,交于点E,平分,交于点F,与交于点P,连接.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,,求菱形的面积.
14.(23-24九年级下·山东聊城·期末)如图,在平面直角坐标系中,点,点B在y轴上,菱形的顶点.
(1)求直线的解析式;
(2)点P是对角线上的一个动点,当取到最小值时,求点P的坐标;
(3)y轴上是否存在一点Q,使的面积等于菱形的面积,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
同步练习
1.如图,剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合部分构成一个四边形,则下列结论中不一定成立的是( )
A., B.
C., D.
2.如图,在菱形中,作垂直平分,垂足为,交于点,连接,若,则等于( )
A. B. C. D.
3(23-24九年级下·福建厦门·阶段练习)如图,E,F是平行四边形ABCD对角线BD上两点,且BE=DF,若∠BAF=90°,AB=4,AF=AE=3,则AC的长为( )
A.2.4 B.3.6 C.4.8 D.6
4.已知:在四边形中,,如图,求证,四边形是菱形.
证明:,,
四边形是平行四边形,
又…………,
四边形是菱形
在以上证明过程中,“…………”可以表示的是( )
A. B.
C. D.
5(23-24·广西·三模)如图,菱形中,交于,于,连接,若,则的度数为 °.
6.(23-24九年级下·吉林长春·阶段练习)如图,在四边形中,,,对角线,交于点,且平分,过点作交的延长线于点.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)连结,交于点,若,则______度.
]
7.如图,在菱形中,P为对角线上一点,点E在边上,连接,,,且.求证:.
8.如图1,两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上,,将沿直线平移,并连结,.
(1)【基础巩固】
求证:在沿直线平移过程中,四边形是平行四边形;
(2)【操作思考】
如图2,已知,,当沿平移到某一个位置时,四边形为菱形,求此时的长;
(3)【拓展探究】
如图3,连结,若四边形为菱形,且,求的度数.
9.如图,在四边形中,,,对角线,交于点,平分,过点作交的延长线于点,连接.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,,求的长;
(3)在(2)的条件下,已知点M是线段上一点,且,则的长为_______.
10.(23-24九年级下·河南驻马店·期末)在平面直角坐标系中,菱形的位置如图所示,点A的坐标为,点B的坐标为,点D在y轴上,.
(1)求点C和点D的坐标.
(2)点P是对角线上一个动点,当最短时,求点P的坐标.
针对练习
1.(23-24九年级下·浙江嘉兴·期末)如图,在菱形中,点分别是边的中点,连接.若菱形的面积为16,则的面积为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
2.如图,在菱形中,点,分别是,的中点.若,则菱形的周长是( )
A.12 B.16 C.20 D.24
3.如图,菱形的对角线于点,则的长是( )
A. B. C. D.
4.在菱形中,对角线相交于O,若,,那么 .
5.在中,、是对角线,补充一个条件使得四边形为菱形,这个条件可以是( )
A. B. C. D.
6.(17-18九年级下·全国·单元测试)如图,中,,,要判定四边形是菱形,还需要添加的条件是( )
A. B. C. D.平分
7.(23-24九年级上·山东青岛·期末)如图所示,第一个菱形的边长为2,,且点D落在y轴上,延长交x轴于A,以为边作第二个菱形;延长交x轴于点,以为边作第三个菱形…,按这样的规律进行下去,若点D、C、、…都在一条直线上.
【探究】
(1)______;
(2)____________;
(3)则第个菱形的面积为______.
8.(23-24九年级下·湖北恩施·期末)如图,在的正方形网格中,每一个小正方形的边长为,其顶点我们称为格点,,为格点三角形.
(1)请你仅用无刻度的直尺,在这个的正方形网格中,画出个以为边的不是正方形的菱形,并简单说明理由;
(2)求的大小.
9..如图1,,平分,且交于点,平分,且交于点,连接
(1)求证:四边形是菱形;
(2)如图2,若交于点,且,,求菱形的边长.
10.如图,在中,,,.点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动,同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒.过点D作于点F,连接.
(1)的长是_______,的长是_______.
(2)在D、E的运动过程中,线段与的关系是否发生变化?若不变化,那么线段与是何关系,并给予证明.若变化,请说明理由.
(3)四边形能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
(4)当t为何值,的面积是?
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