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第三讲 正方形的性质与判定
1.（23-24九年级·湖北武汉·期末）下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角
【答案】A
【分析】利用正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质依次判断可求解．
【详解】解：菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
故选项B，C，D不符合题意；
菱形不具有的性质为：对角线长度相等，
故选项A符合题意．
故选：A．
2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形、矩形、菱形的性质，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【详解】解：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
3．已知在四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，，
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是正方形的判定，解题关键是熟练掌握正方形的判定方法．
根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
【详解】解：选项，不能，只能判定为矩形，选项错误；
选项，不能，只能判定为平行四边形，选项错误；
选项，能，可判定为正方形，选项正确；
选项，不能，只能判定为菱形，选项错误．
故选：．
4.如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，根据正方的性质，同角的余角，进行求解即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选C．
5.（23-24九年级·辽宁大连·期末）如图，在正方形中，点在对角线上，且；延长交于点，连接，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质可得，，再根据又证得，得，，根据三角形内角和定理求得，最后根据平角定义求得答案．
【详解】解：正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
6.如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接．
(1)当时，求证：；
(2)当，且时，求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的判定，特殊四边形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键．
（1）根据平行线的性质可证，结合题意可证四边形为菱形，即得出，再结合，即得出；
（2）由（1）可知四边形为平行四边形，即得出，，．再结合题意即证明四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形，
∴．
∵，
∴；
（2）证明：如图，，，
由（1）可知四边形为平行四边形，
∴，，．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴，
∴平行四边形为菱形．
∵，
∴，
∴菱形为正方形．
知识点一：正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
补充：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
知识点二：正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
知识点三：正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
1.（23-24九年级·重庆荣昌·期末）下列命题：
①对角线相等的菱形是正方形；
②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
其中是真命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意．
真命题有个，
故选A．
2．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD
C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
【答案】A
【分析】根据正方形的性质以及判定定理对各项进行分析即可．
【详解】A. OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，能判定；
B. AB∥CD，AC＝BD，不能判定；
C. AD∥BC，∠A＝∠C，不能判定；
D. OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC，不能判定；
故答案为：A．
3．如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 是菱形
B．若，则 是正方形
C．若，则 是矩形
D．若，则 是正方形
【答案】C
【分析】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【详解】解：、错误，有一个角为的平行四边形是矩形；
B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；
D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故选：C．
4.如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，根据正方的性质，同角的余角，进行求解即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选C．
5．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形是正方形，是正三角形可得，即可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵是正三角形，
∴，
∴．
故选：B．
6.（23-24九年级·河南安阳·期末）用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的图形是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5） C．（2）（3）（5） D．（1）（3）（4）（5）
【答案】B
【分析】通过不同的组合方法，得出不同的图形．
【详解】解：用两块完全重合的等腰直角三角形纸片可以拼成下列图形：
（1）平行四边形
（3）正方形
（5）等腰直角三角
故选B．
7.（23-24九年级·重庆江津·期末）如图，在正方形中，点、分别为边、上的点，连接、，平分，若．当时，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，进而由可得，，再由角平分线的定义得，又证明可得，最后利用角的和差关系即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8.（23-24九年级·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，正方形中，点分别在上，，经过对角线的中点O，若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，可得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，则可得，利用三角形外角和定理，即可得到的值．
【详解】解：四边形是正方形，
，
经过对角线的中点O，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
9.（23-24·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则，
在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
10.（12-13九年级·江苏扬州·期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
【答案】D
【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
11.（23-24九年级·湖南怀化·期末）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可．
【详解】解：四边形是正方形，
将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，
，
，
设，则，
，
，
，
故选：D．
12．如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，则的长度是（ ）
A．8 B．7.4 C．7 D．6.8
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作于，延长至，使，证明四边形为正方形，得出，，，证明以及，得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，作于，延长至，使，
∵，，
∴四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
13.如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．
【答案】2
【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题．
【详解】解：正方形的面积为4，
，，
点，，，分别为边，，，的中点，
，
，
同理可得，
四边形的面积为．
故答案为：2．
14.（23-24九年级·浙江湖州·期末）正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用．如图1为某园林石窗，其外框为边长为6的正方形（如图2），点E，F，G，H分别为边上的中点，以四边形各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如），四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点，则点H，M之间的距离是 ．
【答案】
【分析】先利用勾股定理得到，进而证明四边形是正方形，则可得到，过点K作，延长分别交于L、S，则，利用勾股定理得到；证明四边形是矩形，得到，由对称性可知，则；证明四边形是矩形，得到，；如图所示，过点M作于W，则四边形是矩形，可得，再证明，得到，则，即点H，M之间的距离是．
【详解】解：∵点E，F是正方形边，
∴，
∴，，
同理可得，
∴，
∴四边形是正方形，
∵四边形各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形，
∴，
如图所示，过点K作，延长分别交于L、S，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由对称性可知，
∴；
∵K、L分别为正方形边的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图所示，过点M作于W，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H，M之间的距离是，
故答案为：．
15.（23-24九年级·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，连结AC、BD，回答问题
（1）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是矩形．
（2）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形．
（3）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是正方形．
【答案】 AC⊥BD AC＝BD AC⊥BD且AC＝BD
【分析】先证明四边形EFGH是平行四边形，
（1）在已证平行四边形的基础上，要使所得四边形是矩形，则需要一个角是直角，故对角线应满足互相垂直
（2）在已证平行四边形的基础上，要使所得四边形是菱形，则需要一组邻边相等，故对角线应满足相等
（3）联立（1）（2），要使所得四边形是正方形，则需要对角线垂直且相等
【详解】解：连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，FG∥BD，FG＝BD，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，EH＝BD．
∴EF∥HG，EF＝GH，FG∥EH，FG＝EH．
∴四边形EFGH是平行四边形；
（1）要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，
由（1）得，只需AC⊥BD；
（2）要使四边形EFGH是菱形，则需EF＝FG，
由（1）得，只需AC＝BD；
（3）要使四边形EFGH是正方形，综合（1）和（2），
则需AC⊥BD且AC＝BD．
故答案是：AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD
16.（23-24九年级·辽宁朝阳·期末）如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ．
【答案】16
【分析】证明，得到，计算即可．
【详解】∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
17.（23-24九年级·湖北襄阳·期末）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，点在上，沿折叠，使点落在上的点，若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质 ，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．
由折叠及轴对称的性质可知， 垂直平分, 先证推出的长，再利用勾股定理求出的长, 最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，的长.
【详解】解：设与交于点M，
在正方形中,
，
在中,，
∵由折叠的性质可得
，
∴垂直平分,
，
∵，
所以，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
故答案为：
18.（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，若点是正方形外一点，且，，，则 °．
【答案】
【分析】将绕点顺时针旋转，得到，连接，利用旋转的性质得到，，，由等腰直角三角形性质可得，利用勾股定理得到，进而得到，由勾股定理逆定理可知，，最后根据，即可求得．
【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到，连接，
，
，，
，，，
，
，
，
，，
，
是直角三角形，且，
，
故答案为：．
19（23-24九年级·广东云浮·期中）问题情境：通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们认识到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的判定定理．数学课上，老师给出了一道题：如图①，矩形的对角线，交于点O，过点D作，且，连接．
初步探究：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）如图②，若四边形是菱形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图③，若四边形是正方形，四边形又是什么特殊的四边形？请说明理由．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）（1）中的结论不成立，理由见解析；（3）四边形是正方形，理由见解析
【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定方法．
（1）根据矩形的性质和菱形的判定方法进行证明即可；
（2）根据菱形的性质和矩形的判定方法进行证明即可；
（3）根据正方形的性质和判断进行证明即可．
【详解】解：（1）四边形是菱形
理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
所以四边形是菱形 ；
（2）（1）中的结论不成立；
理由如下：
同（1），得四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（3）四边形是正方形；
理由如下：
同（1），得四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是正方形．
20.（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角．
【答案】(1)见解析
(2)度数为的度数2倍的角有：,，，
【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形；
（2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由三角形的外角性质得：，
∴度数为的度数2倍的角有：,，，．
21.（23-24九年级·湖南永州·期末）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【课本再现】
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________；
(2)【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数；
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长．
【答案】(1)30
(2)
(3)或
【分析】（）由折叠的性质得，，，，从而得到是等边三角形即可求解；
（）同（1）可证，再利用折叠的性质和正方形的性质证明 ，推出，可得；
（）分点Q在点F的下方、上方两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为，
∴垂直平分,
∴，，
∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，
同（1）可证，
∴，
在正方形中，，，
由折叠知，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（3）解：当点Q在点F的下方时，如图，
∵正方形中，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
设，由折叠知，
∴，，
在中，，
∴，
解得，即；
当点Q在点F的上方时，如图，
则，
∴，
∴，
设，
则，，
在中，，
∴，
解得，即；
综上可知，的长为或。
22.（23-24九年级·安徽安庆·期末）如图，在正方形纸片中，P为正方形边上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为，连接，，交于点M，连接．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)探究，与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)．理由见解析
【分析】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）由题意，得，则．根据正方形性质得出，得出．结合，得出，即可证明，即平分．
（2）如图1，过点F作于点K，设交于点O．证明四边形是矩形，得出．根据点B与点P关于对称，得出，证明，即可证明．
（3）如图，过点B作，垂足为Q．由（1）知，．证明，得出．证出．再证明，得出，即可证明，即．
【详解】（1）证明：由题意，得，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，即平分．
（2）证明：如图1，过点F作于点K，设交于点O．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
∵点B与点P关于对称，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）解：．
理由：如图，过点B作，垂足为Q．
由（1）知，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
23．如图，在中，E、M分别为的中点，，延长交的延长线于点N，连接．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)当满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，可得，可证，可得，可证四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可得，可得四边形是菱形；
（2）由菱形的性质可得，可得，则四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，为的中点，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下：∵四边形是菱形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴菱形是正方形．
24．（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由；
（2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题．
【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）
【分析】（1）证明，可得，从而可得结论；
（2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
1.（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）如图，正方形的对角线与交于点，点为边上一点，连接，过点作于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角以及三角形外角性质等知识，取中点G，连接，，设与交于点，证明，得，证明，求出，根据可得，整理后可得结论
【详解】解：取中点G，连接，，设与交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
又，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴
在和中，
∴，
∵，且，
∴
∴
而
又
∴
∴．
故选：C．
2.（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，正方形和正方形中，点在上，，，于点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的面积，连接，由正方形的性质得到，，利用勾股定理可求得，，，再根据三角形的面积得到，代入已求计算即可求解，由正方形的性质得到是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵正方形和正方形，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
故选：．
3.（23-24·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴；
如图所示，在延长线上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，
故选：B．
4.（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，以直角的每一条边为边长，在AB的同侧作三个正方形，各个涂色部分分别用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④两部分的面积和为，则③、⑤两部分的面积和为（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】设序号为①，②，③，④，⑤图形的面积分别为，，，，，利用正方形性质，三角形全等证明即可，本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】如图所示，
设序号为①，②，③，④，⑤图形的面积分别为，，，，，，
根据题意，得，
四边形是正方形，，
，
，，
，
，
．
∴
∵②、④两部分的面积和为，
∴，
四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
．
∴，
根据题意，得
，
故选B．
5.（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，在四边形中，，，，，则对角线的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
如图，作于，于，则四边形是矩形，证明，则，，可得四边形是正方形，则，设，则，，由，可求，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，于，则四边形是矩形，
∴，即，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
6.．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的纵坐标为，则正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质，得到点B与点D关于直线对称，连接，交于点Q，根据题意，得此时取得最小值，且最小值为的长，结合图象上最低点的纵坐标为，得到，设，结合点是的中点，得到，利用勾股定理解答即可．
本题考查了正方形的性质，轴对称性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】根据正方形的性质，得到点B与点D关于直线对称，连接，交于点Q，根据题意，得此时取得最小值，且最小值为的长，结合图象上最低点的纵坐标为，
∴，
设，
∵点是的中点，
∴，
∴，
解得（舍去），
故，
故答案为：6．
7.．如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
如图所示，作D关于直线的对称点，连接，，先证明得到，则，从而推出当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，作D关于直线的对称点，连接，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，
在中，．
故答案为：．
8.（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连，的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得；连接，根据正方形的性质、利用定理证出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根据垂线段最短求出的最小值，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，作于点，
四边形为正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，，
，
，
矩形为正方形．
如图，连接，
四边形为正方形，，
，
，
矩形为正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，
的最小值为．
故答案为：
9.（23-24九年级·四川乐山·期末）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
求证：矩形是正方形；
若正方形的边长为，，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）①作于，于，得矩形，再证，得到，即可得到结论；
②证明，得到，，由，得到，则，由得到，连接，由勾股定理得到，则，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①证明：如图，作于，于，则四边形为矩形，
∴，
∵点是正方形对角线上的点，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴矩形是正方形；
②解：正方形和正方形中，，，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，
∴，
∴，
即正方形的边长为．
10.综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)．
(1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为．
①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值．
(2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______．
【答案】(1)①，，理由见解析；②
(2)正方形，
【分析】（1）①由“”可证，可得，，可证；
②由“”可证，可得，由面积和差关系可求解；
（2）根据正方形的判定可判断四边形是正方形，其面积最大为时，根据三角形的中位线定理可求出其边长，进一步求出其最大面积．
【详解】（1）解：（1）①，，理由如下：
如图2，设与的交点为，
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
又，
，
；
②如图3，过点作于，过点作直线于，
，
，
又，
，
，
，
当有最大值时，四边形面积有最大值，
即当时，有最大值为，
四边形面积的最大值为；
（2）解：如图4，连接，，
点，，，分别是，，，的中点，
，，，，，，，，
由（1）知，，
，
四边形为菱形，
由（1）知，
，
菱形为正方形；
如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上，
此时正方形的面积最大，
，
，
故答案为：正方形，．
11.已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角．
【答案】(1)见解析
(2)度数为的度数2倍的角有：,，，
【分析】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形；
（2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由三角形的外角性质得：，
∴度数为的度数2倍的角有：,，，．
12.【变式6-3】（23-24九年级·江苏泰州·期末）【阅读材料】
在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图1，在正方形中，点E、F、G、H分别在、、、上，且，垂足为M，那么与相等吗？
分别过点G、H作、，垂足分别为P、Q，通过证明，得到．
根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题．
【探究1】
如图2，在正方形中，点E在上，使用无刻度的直尺和圆规作，交于点F（要求直尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点F，不要求写作法；
【探究2】
如图3，在正方形中，点E、F分别在、上，将正方形沿着翻折，点B、C分别落在、处，且经过点D，将纸片展开，延长交于点G，连接交于点M．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】[探究1]见解析；[探究2]（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
[探究1]以B为圆心，为半径画弧，交于F，连接即可；
[探究2]（1）利用翻折的性质和证明，然后利用全等三角形的性质即可得证；
（2）连接，过F作于N，可得四边形是矩形，得出，，，，利用翻折的性质，等边对等角以及外角的性质可得，进而得出，从而得出，类似材料中的思路可证得，得出，即可得出答案．
【详解】解∶[探究1]
如图，即为所求，
∵四边形是正方形，
∴，，，
由作图知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
[探究2]
（1）证明：∵翻折，
∴，，
又，
∴，
∴；
（2）连接，过F作于N，
则四边形是矩形，
∴，，
又，
∴，
∵翻折，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
又，，
∴
1.（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），且，分别连接，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．若四边形是菱形，那么四边形也是菱形
C．若四边形是正方形，那么四边形是菱形
D．若四边形是矩形，那么四边形也是矩形
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质， 正方形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．连接交于点O，根据平行四边形的性质可得， 再根据E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），，可得，进一步即可判断A选项； 根据菱形的性质可得，进一步即可判断选项； 根据正方形的性质可得，进一步即可判断选项；根据矩形的性质可得， 再根据E、F是对角线上的两点 （不与点A、C重合），可得，进一步可判断选项．
【详解】解：连接交于点O，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合）， ，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，故A不符合题意；
当四边形是菱形时， ，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
故不符合题意；
当四边形是正方形时， ，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
故不符合题意；
当四边形是矩形时， ，
∵E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），
∴，
∴四边形不是矩形，
故符合题意，
故选：．
2.（23-24九年级·河北邯郸·期末）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，的坐标为则点的坐标为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】过点作轴于，过点作的延长线于，交y轴于点，由可证，可得，，据此即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于，过点作的延长线于，交y轴于点，
点的坐标为，
，，
∵轴轴，
∴四边形是矩形，
∴
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形的性质及勾股定理得出，，结合图形得出当点E在线段上时，线段的长最大，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，
∵四边形是正方形，边长为4，
∴，则，
在中，，由勾股定理，得，
∵在中， ，点E是斜边的中点，
∴，
由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是，
故选A．
4.如图，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①若四边形是平行四边形，则四边形为矩形；
②四边形为平行四边形；
③若四边形是菱形，则四边形是菱形；
④若四边形中与互相垂直且相等，则四边形是正方形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形．
先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可．
【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，故②正确，但是证明不出四边形是矩形，故①错误，
若四边形是菱形，则，
同理可得，而
∴，证明不出四边形是菱形，故③错误，
当与互相垂直且相等，如图：
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
同上可知，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，故④正确，
故选：B．
5．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的面积是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，菱形的面积，解题的关键是连接，根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形．连接交于点，则可证得，，可证四边形为平行四边形，且，可证得四边形为菱形．
【详解】解：如图，连接交于点，
四边形为正方形，
，，
，
，即，
四边形为平行四边形，且，
四边形为菱形，
，
，，
菱形的面积，
故答案为：16．
6．在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件： 使得矩形是正方形．（只写一个）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查正方形的判定，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．
【详解】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或，
故答案为：（答案不唯一）．
7．如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】8
【分析】根据正方形的面积公式求出结果即可．
【详解】解：∵图中阴影部分的面积之和正好等于正方形面积的一半，且正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：．
故答案为：8．
8.（23-24九年级·湖北武汉·期末）已知；正方形的边长是4，F是边的中点，E是上的点，且，如图，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，连接，延长交延长线于点G，由正方形的性质得到，，设，则，由勾股定理求出，再证明，得出即可求证，掌握相关知识是解题关键．
【详解】证明：连接，延长交延长线于点G，如图：
∵正方形，
，
，
，
∴设，则，
在中，，
∵点F是中点，
∴，
∵，
，
，
，
，
又∵
．
9.（23-24九年级·四川宜宾·期末）正方形的边长为6，正方形的顶点E、F分别在正方形的对角线和边上，，连接．
(1)求证：；
(2)求的值．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．
（1）利用正方形的性质结合等角的余角相等求得，，，再利用证明，即可得到；
（2）先求得，利用勾股定理求得，由得到，推出，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵正方形和，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接和，
∵正方形的边长为6，且，
∴，，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴．
10（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)或
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形结合正方形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：如下图所示：
作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2：
在Rt△ABC中AC＝AB＝，
∵EC＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴；
（3）①如图3：
当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4：
当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
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第三讲 正方形的性质与判定
1.（23-24九年级·湖北武汉·期末）下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角
2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
3．已知在四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，，
4.如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.（23-24九年级·辽宁大连·期末）如图，在正方形中，点在对角线上，且；延长交于点，连接，则的度数为 ．
6.如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接．
(1)当时，求证：；
(2)当，且时，求证：四边形是正方形．
知识点一：正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
补充：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
知识点二：正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
知识点三：正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
1.（23-24九年级·重庆荣昌·期末）下列命题：
①对角线相等的菱形是正方形；
②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
其中是真命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD
C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
3．如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 是菱形
B．若，则 是正方形
C．若，则 是矩形
D．若，则 是正方形
4.如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（ ）
A． B． C． D．
6.（23-24九年级·河南安阳·期末）用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的图形是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5） C．（2）（3）（5） D．（1）（3）（4）（5）
7.（23-24九年级·重庆江津·期末）如图，在正方形中，点、分别为边、上的点，连接、，平分，若．当时，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
8.（23-24九年级·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，正方形中，点分别在上，，经过对角线的中点O，若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
9.（23-24·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
10.（12-13九年级·江苏扬州·期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
11.（23-24九年级·湖南怀化·期末）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
12．如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，则的长度是（ ）
A．8 B．7.4 C．7 D．6.8
13.如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．
14.（23-24九年级·浙江湖州·期末）正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用．如图1为某园林石窗，其外框为边长为6的正方形（如图2），点E，F，G，H分别为边上的中点，以四边形各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如），四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点，则点H，M之间的距离是 ．
15.（23-24九年级·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，连结AC、BD，回答问题
（1）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是矩形．
（2）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形．
（3）对角线AC、BD满足条件 时，四边形EFGH是正方形．
16.（23-24九年级·辽宁朝阳·期末）如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ．
17.（23-24九年级·湖北襄阳·期末）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，点在上，沿折叠，使点落在上的点，若，则的长为 ．
18.（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，若点是正方形外一点，且，，，则 °．
19（23-24九年级·广东云浮·期中）问题情境：通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们认识到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的判定定理．数学课上，老师给出了一道题：如图①，矩形的对角线，交于点O，过点D作，且，连接．
初步探究：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）如图②，若四边形是菱形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图③，若四边形是正方形，四边形又是什么特殊的四边形？请说明理由．
20.（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角．
21.（23-24九年级·湖南永州·期末）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【课本再现】
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________；
(2)【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数；
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长．
22.（23-24九年级·安徽安庆·期末）如图，在正方形纸片中，P为正方形边上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为，连接，，交于点M，连接．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)探究，与的数量关系，并说明理由．
23．如图，在中，E、M分别为的中点，，延长交的延长线于点N，连接．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)当满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由．
24．（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，E是边上一点， 于点 F，，试猜想四边形的形状，并说明理由；
（2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点 F，于点 H，，交于点G，可以用等式表示线段的数量关系，请你思考并解答这个问题．
1.（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）如图，正方形的对角线与交于点，点为边上一点，连接，过点作于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，正方形和正方形中，点在上，，，于点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
4.（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，以直角的每一条边为边长，在AB的同侧作三个正方形，各个涂色部分分别用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④两部分的面积和为，则③、⑤两部分的面积和为（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
5.（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，在四边形中，，，，，则对角线的长为 ．
6.．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的纵坐标为，则正方形的边长为 ．
7.．如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是 ．
8.（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连，的最小值为 ．
9.（23-24九年级·四川乐山·期末）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
求证：矩形是正方形；
若正方形的边长为，，求正方形的边长．
10.综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)．
(1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为．
①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值．
(2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______．
11.已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角．
12.【变式6-3】（23-24九年级·江苏泰州·期末）【阅读材料】
在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图1，在正方形中，点E、F、G、H分别在、、、上，且，垂足为M，那么与相等吗？
分别过点G、H作、，垂足分别为P、Q，通过证明，得到．
根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题．
【探究1】
如图2，在正方形中，点E在上，使用无刻度的直尺和圆规作，交于点F（要求直尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点F，不要求写作法；
【探究2】
如图3，在正方形中，点E、F分别在、上，将正方形沿着翻折，点B、C分别落在、处，且经过点D，将纸片展开，延长交于点G，连接交于点M．
（1）求证：；
（2）求证：．
1.（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点（不与点A、C重合），且，分别连接，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．若四边形是菱形，那么四边形也是菱形
C．若四边形是正方形，那么四边形是菱形
D．若四边形是矩形，那么四边形也是矩形
2.（23-24九年级·河北邯郸·期末）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，的坐标为则点的坐标为 （ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
4.如图，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①若四边形是平行四边形，则四边形为矩形；
②四边形为平行四边形；
③若四边形是菱形，则四边形是菱形；
④若四边形中与互相垂直且相等，则四边形是正方形．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的面积是 ．
6．在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件： 使得矩形是正方形．（只写一个）
7．如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．
8.（23-24九年级·湖北武汉·期末）已知；正方形的边长是4，F是边的中点，E是上的点，且，如图，求证：．
9.（23-24九年级·四川宜宾·期末）正方形的边长为6，正方形的顶点E、F分别在正方形的对角线和边上，，连接．
(1)求证：；
(2)求的值．
10（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
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