第一章特殊平行四边形全章热门考点整合应用 同步练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册（含答案）

特殊平行四边形全章热门考点整合应用
核心考点整合
考点1 菱形的性质与判定
1.如图,菱形ABCD 的对角线 AC 与BD 相交于点O,E为边 BC的中点,连接OE.若AC=6,BD=8,则OE= ( )
A.2 B C.3 D.4
2.将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD=α,∠CBE=β,则β= ( )
3.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线 AC 于点 M,N,连接MD,BN.
(1)求证:∠DMN=∠BNM;
(2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形 BMDN是菱形.
考点 2 矩形的性质与判定
4.如图,在矩形ABCD 中,AE⊥BD,垂足为 E,∠DAE:∠BAE=1: 3,则∠CAE的度数 ( )
A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°
5.如图，有一张矩形纸片 ABCD.先对折矩形 ABCD,使 AD 与 BC重合,得到折痕EF，把纸片展平.再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN，MN.观察所得的线段，若AE=1,则 MN= ( )
B.1 D.2
6 如图,菱形 ABCD 的对角线AC,BD相交于点 O,过点 D作 DE∥AC,且 连接CE.
(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)若DB=6,AC=8,求菱形ABCD的面积.
考点 3 直角三角形斜边上的中线的性质
7.如图,在矩形ABCD 中,点 E 在边 BC上,点 F是AE的中点,AB=8,AD=DE=10,则 BF的长为 .
8.如图,四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=45°,连接AC,BD. M是AC的中点,连接 BM,DM.若△BMD 的面积为 32,则AC的长为 .
考点 4 正方形的性质与判定
9.如图,E是边长为 4 的正方形ABCD的对角线BD 上一点,且 BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点 Q,PR⊥BE于点 R,则 PQ+PR的值是 ( )
A.2√2 B.2 C. D
10.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(“ ”为“蜨”，同“蝶”)，它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只(图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”).图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，如图②，已知某人位于点 P处，点P与点 A关于直线 DQ对称,连接CP,DP.若∠ADQ=24°,则∠DCP= 度.
11.如图，已知四边形 AB-CD为正方形， 点 E 为对角线 AC上一动点,连接 DE,过点 E 作 EF⊥DE,交BC于点 F,以 DE,EF为邻边作矩形 DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形 DEFG是正方形;
(2)探究：CE+CG的值是否为定值 若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
思想方法 整合
思想1：方程思想
12.如图,矩形ABCD中,已知AB=3,BC=9,将矩形沿 EF 翻折，使点 C与点 A 重合，点D落在点 D'处,则 EF= .
思想2分类讨论思想
矩形 ABCD 中,M 为对角线 BD的中点,点 N 在边 AD上,且 AN=AB=1.当以点 D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 .
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1. B 2. D
3.【证明】(1)连接 BD,交 AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD.
∵BM∥DN,
∴∠MBO=∠NDO.
又∵∠BOM=∠DON,
∴△BOM≌△DON(ASA).
∴BM=DN.
∴四边形 BMDN为平行四边形.
∴BN∥DM.
∴∠DMN=∠BNM.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD.
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∴∠BCA=∠DAC.
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠BAC=∠BCA.
∴AB=BC.
∴四边形 ABCD 是菱形.
∴AC⊥BD.
∴MN⊥BD.
∴平行四边形 BMDN是菱形.
4. C
5. C 【点拨】由题意知AE=BE=1,∠AEF=∠BEN=90°.∴AB=2AE=2.
∵折叠纸片，使点 A落在EF上，并使折痕经过点 B，
∴BN=AB=2,∠ABM=∠NBM,∠BNM=∠A=90°,
∴∠BNE=30°,∴∠EBN=60°,
∴∠ABM=∠MBN=30°,
∴BM=2MN.
在 Rt△BNM中,∵BM =MN +BN ,
(负值已舍去).
6.(1)【证明】∵四边形ABCD 是菱形,
∴∠DOC=90°.
∴DE=OC,DE∥OC.
∴四边形OCED 是平行四边形.
又∵∠DOC=90°,
∴平行四边形 OCED 是矩形.
(2)【解】∵四边形ABCD是菱形,DB=6,AC=8,∴菱形ABCD的面积
7. 【点拨】∵四边形 ABCD 是矩形,AB=8,ADDE=10,
∴∠ABC=∠C=90°,CD=AB=8,BC=AD=10.
∴BE=BC-CE=10-6=4.
∵∠ABE=90°,点 F是AE的中点,
8.16 【点拨】∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,
∴∠BAM=∠ABM,∠DAM=∠ADM.
∵∠BMC =∠BAM+∠ABM,∠DMC = ∠DAM +∠ADM,∠BAD=45°,
∴∠BMD=2∠BAD=90°.
∵BM>0,∴BM=8.
∴AC=2BM=16.
9. A 【点拨】如图,连接 BP,设点C到BE 的距离为h,则 即 PR,
∵BE=BC,
∴h=PQ+PR,
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC=CD=4,∠BCD=90°.
的值是2/2.
10.21 【点拨】∵△CBD≌△ABD,且都为等腰直角三角形,∴四边形 ABCD是正方形.
∴∠CDA=90°,CD=AD.
∵点 P 与点A 关于直线DQ对称,∠ADQ=24°,
∴∠PDQ=∠ADQ=24°,AD=DP.
∴CD=DP,∠ADP=48°.
∴∠CDP=138°.
11.(1)【证明】作 EM⊥BC 于 M,EN⊥CD 于 N,则∠DNE=∠CNE=∠FME=90°.
易知∠BCD=90°,∴四边形 EMCN是矩形.
∴∠MEN=90°.
易知∠DEF=90°,∴∠DEN=∠MEF.
∵点E是正方形ABCD 对角线上的点，
∴∠ACB=∠ACD.
又∵EM⊥BC,EN⊥CD,
∴EM=EN.
在△DEN和△FEM中,
∴△DEN≌△FEM(ASA).
∴EF=DE.
又∵四边形 DEFG是矩形，
∴矩形 DEFG是正方形.
(2)【解】CE+CG的值是定值,定值为6.
∵四边形 DEFG 和四边形ABCD 都为正方形,
∴DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°.
∴∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠CDG=∠ADE.
在△ADE和△CDG中,
∴△ADE≌△CDG(SAS).
∴AE=CG.
是定值.
【点拨】如图，过点E作EG⊥AD交于G，则易得AG=BE,AB=EG=3.
由折叠可得∠D'=∠D=90°,DF=D'F,AD'=CD,AE=EC.
设 AF的长为x.
∵易知AD=BC=9,AB=CD=3,∴D'F=DF=9-x,
∴在 Rt△AD'F 中, 解得 x=5.
即 AF=5,
设 EC=AE=y,则 BE=BC-EC=9-y.
∴在Rt△ABE中, ,解得y=5,
即AE=EC=5.∴BE=4.
∴AG=4.∴GF=1.
∴在 Rt△EFG中,
13.2或 【点拨】当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图①,当∠MND=90°时,则MN⊥AD,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠A=90°.
∴MN∥AB.
∵M为对角线BD 的中点，
∴N为AD 的中点.
∴AN=DN.
∵AN=1,
∴AD=2AN=2.
②如图②,当∠NMD=90°时,则MN⊥BD,连接BN.
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM.
∴MN垂直平分 BD.
∴BN=DN.
∵∠A=90°,AB=AN=1,
∴AD=AN+DN=1
综上所述，AD的长为2或