1.1 菱形的性质与判定第1课时 菱形的性质 同步练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册（含答案）

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1.1 菱形的性质与判定
菱形的性质
基础题目
1. 某伸缩门每行由20个菱形组成，如图，已知每个菱形的周长为 240 cm，当∠A=60°时，该伸缩门的宽度为 ( )
A.12 m B.16 m C.24 m D.32 m
2. 如图,四边形 ABCD 是菱形,顶点A,C的坐标分别是(0,2),(8,2),点 D在x轴的正半轴上，则顶点 B的坐标是 ( )
A.(4,4) B.(5,4) C.(2,4) D.(4,2)
3.已知菱形的两条对角线的长分别是5 和12，则菱形的周长是 .
4.点 E是菱形ABCD 的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为 .
5.如图,在菱形 ABCD 中,∠ADC=72°,AD 的垂直平分线交对角线 BD于点P,垂 足 为 E, 连 接 CP, 则∠CPB= 度.
6.如图,点 E,F在菱形AB-CD的对角线AC上,且AE=CF.求证;DE=BF.
综合应用题
7.如图,已知E是菱形ABCD的边 BC上一点,且∠DAE=∠B=80°,那么∠CDE的度数为 ( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
8.如图,已知菱形OABC 顶点 O与原点重合，点B 在 y 轴正半轴上，点C的坐标为(-3，4)，现将菱形OABC向右平移，使点 C 移动到点 A 原来的位置，得到菱形DEFA,则点 E 的坐标为 ( )
A.(3,4) B.(6,4) C.(9,4) D.(12,4)
9如图，在菱形纸片 ABCD 中，∠A=60°,点 E 在 BC 边上,将菱形纸片 ABCD 沿DE折叠,点 C的对应点为点 C',且DC'是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
10.如图所示，两个全等的菱形边长为1cm,已知蚂蚁由点 A开始按ABCDEF-CGA的顺序沿菱形的边循环爬行，爬行 32 cm后停下，则这只蚂蚁停在点 处.
11.20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如图是一种彭罗斯地砖图案，它使用了 A，B两种菱形进行了密铺，则菱形 B的锐角的度数为 .
12.如图,在菱形 ABCD中,M,N分别在 AB,CD上,且 AM=CN,MN 与 AC 交于点O,连接 BO,若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为 .
13如图，已知菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD的长分别为6和8,M,N分别是边 BC,CD的中点，P是对角线 BD上一点，则PM+PN的最小值是 .
14. 将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点A，E，B，D依次在同一条直线上，连接AF,CD.
(1)求证：四边形AFDC是平行四边形；
(2)已知 BC=6 cm,当四边形 AFDC是菱形时,AD的长为 cm.
15.如图,点 P 是边长为 6的菱形ABCD的对角线 BD上一点，连接CP 并延长,交AD于E,连接AP.
(1)求证:AP=CP;
(2)若CE垂直平分AD,求PB的长.
创新拓展题
16.如图①，菱形 ABCD的一个内角∠B=60°,E为 BC 的中点,F 为CD的中点,连接AE,AF,EF.
(1)判断△AEF 的形状,并证明;
(2)如图②,若 E为 BC 上任意一点,F 为CD 上任意一点,且∠EAF=60°,判断△AEF的形状，并证明.
第1课时 菱形的性质
1. A 2. A 3.26 4.62° 5.72
6.【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=BC,AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.
在△DAE和△BCF中,
∴△DAE≌△BCF(SAS).
∴DE=BF.
7. C 8. C 9. D
10. A 11.36° 12.62°
13.5
14.(1)【证明】∵△ACB≌△DFE,
∴AC=DF,∠CAB=∠FDE,
∴AC∥DF.
∴四边形AFDC是平行四边形；
(2)18 【点拨】连接 CF交 AD 于O,
∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=6 cm,
∵四边形AFDC是菱形，
∴CF⊥AD,AD=2AO..
∴AO=9 cm.
∴AD=2AO=18cm.
15.(1)【证明】∵四边形ABCD为菱形,
∴CD=AD,∠CDP=∠ADP.
又∵DP=DP,
∴△CDP≌△ADP(SAS).
∴AP=CP;
(2)【解】如图,连接AC交BD于O,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分.
由(1)知CD=DA,
∵CE垂直平分AD,
∴AC=CD.
∴AC=CD=DA.
∴△ACD是等边三角形.
易知点 P为△ACD的重心.
由AD=6,易知(
16.【解】(1)△AEF为正三角形.证明如下:
连接AC，如图①所示.
∵四边形 ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠D=∠B=60°.
∴△ABC和△ADC都是等边三角形.
∴∠BAC=∠DAC=∠ACD=60°.
∵E,F分别是边BC,CD的中点,
∴AE⊥BC,AF⊥CD,AE平分∠BAC,AF平分∠DAC.
∴∠CAE=∠CAF=30°.
∴∠EAF=60°.
∵S菱形ABCD=BC×AE=CD×AF,
∴AE=AF.
∴△AEF为正三角形.
(2)△AEF为正三角形，证明如下：连接AC，如图②所示.
由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB=AC.
∴∠BAE=∠CAF.
在△BAE 与△CAF中,
∴△BAE≌△CAF(ASA).∴AE=AF.
又∵∠EAF=60°,∴△AEF为正三角形.