江西省吉安三中高中数学北师大版必修2第二章《圆与圆的方程》单元测试题
文档属性
| 名称 | 江西省吉安三中高中数学北师大版必修2第二章《圆与圆的方程》单元测试题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 124.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-01-17 20:47:00 | ||
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文档简介
北师大版必修2第二章《圆与圆的方程》单元测试题
班级： 姓名：
一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1. 关于x，y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的等价条件是（ ）
A、B=0，且A=C≠0 B、B=1且D2+E2-4AF＞0
C、B=0且A=C≠0，D2+E2－4AF≥0 D、B=0且A=C≠0,D2+E2－4AF＞0
2.圆x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0与圆x2＋y2－6x＋2y＋1＝0 的位置关系是（ ）
A、相交 B、相外切 C、相离 D、相内切
3．与圆C：x2＋y2－2x－35＝0的圆心相同，且面积为圆C的一半的圆的方程是( )
A、(x－1)2＋y2＝3 B、(x－1)2＋y2＝6
C、(x－1)2＋y2＝9 D、(x－1)2＋y2＝18
4．曲线x2＋y2＋2x－2＝0关于( )
A、直线x＝轴对称 B、直线y＝－x轴对称
C、点(－2，)中心对称 D、点(－，0)中心对称
5．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴相交，且两个交点分别在原点两侧，那么( )
A、D≠0，F＞0 B、E＝0，F＞0 C、F＜0 D、D＝0，E≠0
6．C 5．方程x－1＝所表示的曲线是( )
A、一个圆 B、两个圆
C、半个圆 D、四分之一个圆
7. 已知圆，是过点的直线，则（ ）
A.与相交 B.与相切
C.与相离 D.以上三个选项均有可能
8. 过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9. 设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为（ ）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
10. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）
A．36 B. 18 C. D.
二、填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分.请将正确的答案填到横线上）
11．P(x，y)是圆x2＋y2－2x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )4y＋1＝0上任意一点，则x2＋y2的最大值是______；点P到直线3x＋4y－15＝0的最大距离是______．
12．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是_______；
若有一个交点，则的取值范围是________；若有两个交点，则的取值范围是_______；
13.设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则_______．
14. 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率
15．过圆外一点，引圆的两条切线，切点为，
则直线的方程为________。
三、解答题：（本题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤）
16．（12分）已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0．
(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；
(2)当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
17.（12分）在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,求的最大值.
18．（12分）已知圆C:及直线.
（1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；
（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．
19．（12分）已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线，使以被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
20．（13分）已知与圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线交x轴，y轴于A，B两点，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．(1)求证：(a－2)(b－2)＝2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值．
21．（14分）已知圆C的方程为x2＋y2＝4.(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线的方程；(2)直线过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线的方程；(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，＝(0，y0)，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．
北师大版必修2第一章《圆与圆的方程》单元测试题答案
一、选择题：
1. [答案]D
2. [答案]C 解析：由圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2-6x+2y+1=0，分别化为标准形式得（x+1）2+（y+3）2=1，（x-3）2+（y+1）2=9，所以得到圆心坐标分别为（-1，-3）和（3，-1），半径分别为r=1和R=3，则两圆心之间的距离d=4,所以两圆的位置关系是相离．
3．[答案]D
4．[答案]D
5．[答案] C 解析：只需坐标原点在圆内，即原点与圆心的距离小于半径，已知圆圆心为，半径为，结合及D2＋E2－4F＞0，可得F＜0．
6．[答案] C解析：5．方程可以等价变形为(x－1)2＋(y－1)2＝1，且x－1≥0，1－(y－1)2≥0．即(x－1)2＋(y－1)2＝1，且x≥1，0≤y≤2．所以，方程所表示的曲线是半个圆．
7. [答案]A 解析：，所以点在圆内部，故选A.
8. [答案]A 解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可.又已知点，则，故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为，即.故选A.
9. [答案] C解析：设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为，圆心(0，0)道直线的距离等于半径，∴ ，∴ a 的值±2，选C．
10. [答案] C解析：圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.
二、填空题：
11．[答案]； 提示：x2＋y2的几何意义是点P(x，y)到原点距离的平方．利用这个几何意义求解．
12．[答案]；； 提示：曲线代表半圆
13. [答案]0解析：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，，0．
14. [答案]解析：(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以
15．[答案] 解析：设切点为，则的方程为；的方程为，则，
三、解答题：
16．解析：(1)曲线C方程可变形为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，
由，解得.
即点(4，－2)满足曲线C的方程，故曲线C过定点(4，－2)．
(2)曲线C方程(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2，因为a≠2，所以曲线C是圆心为(2a，－a)，半径为的圆．
设圆心坐标为(x，y)，则有，消去a可得，故圆心必在直线．
17.解：因为圆C的方程可化为:,所以圆C的圆心为,半径为1.
由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点，所以存在,使得成立,即.
因为即为点到直线的距离,所以,解得. 所以的最大值是.
18．解:(1)直线方程,可以改写为,
所以直线必经过直线的交点.
由方程组解得即两直线的交点为A.
又因为点与圆心的距离,所以该点在内,
故不论取什么实数,直线与圆C恒相交.
(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短弦长.
此时,.即最短弦长为.
又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程为:
19．解析：假设存在斜率为1的直线，满足题意，则OA⊥OB.
设直线的方程是y＝x＋b，其与圆C的交点A，B的坐标分别为
A(x1，y1)，B(x2，y2)则·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0①
由消去y得：2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
∴x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝(b2＋4b－4)，②
y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
＝(b2＋4b－4)－b2－b＋b2＝(b2＋2b－4)．③
把②③式代入①式，得b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，且b＝1或b＝－4都使得Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0成立．故存在直线满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.
20．解析：(1)证明：圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，
设直线方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，
圆心到该直线的距离d＝＝1，
即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，
即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，
即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.
(2)设AB中点M(x，y)，则a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，
得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1)．
(3)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2=2(a＋b)≥4，
解得≥2＋(舍去≤2－)，
当且仅当a＝b时，ab取最小值6＋4，
所以△AOB面积的最小值是3＋2.
21．解析：(1)显然直线的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，
则由＝2，得k1＝0，k2＝－，
从而所求的切线方程为y＝2和4x＋3y－10＝0.
(2)当直线垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，这两点的距离为2，满足题意；当直线不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离为d(d＞0)，则2＝2，得d＝1，从而1＝，得k＝，此时直线方程为3x－4y＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
(3)设Q点的坐标为(x，y)，M点坐标是(x0，y0)，＝(0，y0)，
∵＝＋，∴(x，y)＝(x0,2y0) x＝x0，y＝2y0.
∵x＋y＝4， ∴x2＋2＝4，即＋＝1.
∴Q点的轨迹方程是＋＝1，轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆．
班级： 姓名：
一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1. 关于x，y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的等价条件是（ ）
A、B=0，且A=C≠0 B、B=1且D2+E2-4AF＞0
C、B=0且A=C≠0，D2+E2－4AF≥0 D、B=0且A=C≠0,D2+E2－4AF＞0
2.圆x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0与圆x2＋y2－6x＋2y＋1＝0 的位置关系是（ ）
A、相交 B、相外切 C、相离 D、相内切
3．与圆C：x2＋y2－2x－35＝0的圆心相同，且面积为圆C的一半的圆的方程是( )
A、(x－1)2＋y2＝3 B、(x－1)2＋y2＝6
C、(x－1)2＋y2＝9 D、(x－1)2＋y2＝18
4．曲线x2＋y2＋2x－2＝0关于( )
A、直线x＝轴对称 B、直线y＝－x轴对称
C、点(－2，)中心对称 D、点(－，0)中心对称
5．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴相交，且两个交点分别在原点两侧，那么( )
A、D≠0，F＞0 B、E＝0，F＞0 C、F＜0 D、D＝0，E≠0
6．C 5．方程x－1＝所表示的曲线是( )
A、一个圆 B、两个圆
C、半个圆 D、四分之一个圆
7. 已知圆，是过点的直线，则（ ）
A.与相交 B.与相切
C.与相离 D.以上三个选项均有可能
8. 过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9. 设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为（ ）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
10. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）
A．36 B. 18 C. D.
二、填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分.请将正确的答案填到横线上）
11．P(x，y)是圆x2＋y2－2x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )4y＋1＝0上任意一点，则x2＋y2的最大值是______；点P到直线3x＋4y－15＝0的最大距离是______．
12．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是_______；
若有一个交点，则的取值范围是________；若有两个交点，则的取值范围是_______；
13.设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则_______．
14. 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率
15．过圆外一点，引圆的两条切线，切点为，
则直线的方程为________。
三、解答题：（本题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤）
16．（12分）已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0．
(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；
(2)当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
17.（12分）在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,求的最大值.
18．（12分）已知圆C:及直线.
（1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；
（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．
19．（12分）已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线，使以被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
20．（13分）已知与圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线交x轴，y轴于A，B两点，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．(1)求证：(a－2)(b－2)＝2；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值．
21．（14分）已知圆C的方程为x2＋y2＝4.(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线的方程；(2)直线过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线的方程；(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，＝(0，y0)，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．
北师大版必修2第一章《圆与圆的方程》单元测试题答案
一、选择题：
1. [答案]D
2. [答案]C 解析：由圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2-6x+2y+1=0，分别化为标准形式得（x+1）2+（y+3）2=1，（x-3）2+（y+1）2=9，所以得到圆心坐标分别为（-1，-3）和（3，-1），半径分别为r=1和R=3，则两圆心之间的距离d=4,所以两圆的位置关系是相离．
3．[答案]D
4．[答案]D
5．[答案] C 解析：只需坐标原点在圆内，即原点与圆心的距离小于半径，已知圆圆心为，半径为，结合及D2＋E2－4F＞0，可得F＜0．
6．[答案] C解析：5．方程可以等价变形为(x－1)2＋(y－1)2＝1，且x－1≥0，1－(y－1)2≥0．即(x－1)2＋(y－1)2＝1，且x≥1，0≤y≤2．所以，方程所表示的曲线是半个圆．
7. [答案]A 解析：，所以点在圆内部，故选A.
8. [答案]A 解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可.又已知点，则，故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为，即.故选A.
9. [答案] C解析：设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为，圆心(0，0)道直线的距离等于半径，∴ ，∴ a 的值±2，选C．
10. [答案] C解析：圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.
二、填空题：
11．[答案]； 提示：x2＋y2的几何意义是点P(x，y)到原点距离的平方．利用这个几何意义求解．
12．[答案]；； 提示：曲线代表半圆
13. [答案]0解析：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，，0．
14. [答案]解析：(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以
15．[答案] 解析：设切点为，则的方程为；的方程为，则，
三、解答题：
16．解析：(1)曲线C方程可变形为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，
由，解得.
即点(4，－2)满足曲线C的方程，故曲线C过定点(4，－2)．
(2)曲线C方程(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2，因为a≠2，所以曲线C是圆心为(2a，－a)，半径为的圆．
设圆心坐标为(x，y)，则有，消去a可得，故圆心必在直线．
17.解：因为圆C的方程可化为:,所以圆C的圆心为,半径为1.
由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点，所以存在,使得成立,即.
因为即为点到直线的距离,所以,解得. 所以的最大值是.
18．解:(1)直线方程,可以改写为,
所以直线必经过直线的交点.
由方程组解得即两直线的交点为A.
又因为点与圆心的距离,所以该点在内,
故不论取什么实数,直线与圆C恒相交.
(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短弦长.
此时,.即最短弦长为.
又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程为:
19．解析：假设存在斜率为1的直线，满足题意，则OA⊥OB.
设直线的方程是y＝x＋b，其与圆C的交点A，B的坐标分别为
A(x1，y1)，B(x2，y2)则·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0①
由消去y得：2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
∴x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝(b2＋4b－4)，②
y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
＝(b2＋4b－4)－b2－b＋b2＝(b2＋2b－4)．③
把②③式代入①式，得b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，且b＝1或b＝－4都使得Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0成立．故存在直线满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.
20．解析：(1)证明：圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，
设直线方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，
圆心到该直线的距离d＝＝1，
即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，
即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，
即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.
(2)设AB中点M(x，y)，则a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，
得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1)．
(3)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2=2(a＋b)≥4，
解得≥2＋(舍去≤2－)，
当且仅当a＝b时，ab取最小值6＋4，
所以△AOB面积的最小值是3＋2.
21．解析：(1)显然直线的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，
则由＝2，得k1＝0，k2＝－，
从而所求的切线方程为y＝2和4x＋3y－10＝0.
(2)当直线垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，这两点的距离为2，满足题意；当直线不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离为d(d＞0)，则2＝2，得d＝1，从而1＝，得k＝，此时直线方程为3x－4y＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
(3)设Q点的坐标为(x，y)，M点坐标是(x0，y0)，＝(0，y0)，
∵＝＋，∴(x，y)＝(x0,2y0) x＝x0，y＝2y0.
∵x＋y＝4， ∴x2＋2＝4，即＋＝1.
∴Q点的轨迹方程是＋＝1，轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆．