1.1 菱形的性质与判定第3课时 菱形的性质与判定的综合应用 同步练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册（含答案）

第3课时 菱形的性质与判定的综合应用
基础题目
1. 如图，剪两张等宽且对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形 ABCD，连接AC，BD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是 ( )
A.四边形ABCD的周长不变
B. AB=BC
C.四边形ABCD 的面积不变
D. AC=BD
2.如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是 , ),(0,1),点C,D在坐轴上，则菱形ABCD的面积等于 ( )
A. B. C
3.如图,平行四边形 ABCD 中,∠A=110°,AD=DC. E,F分别是边 AB 和 BC的中点,EP⊥CD 于点 P,则∠PEF= ( )
A.35° B.45° C.50° D.55°
4.如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点O,OA=3,OB=2,AB
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)求菱形ABCD的面积.
综合应用题
5.如图①,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于 O，要在对角线 BD 上找两点 M，N，使得四边形 AMCN是菱形，现有图②中的甲，乙两种方案，则正确的方案是 ( )
A.只有甲 B.只有乙
C.甲和乙 D.甲，乙都不是
6.如图,□ABCD的面积为12,AC=BD=6,AC与 BD交于点O,分别过点C,D作BD,AC的平行线相交于点 F,点 G是CD的中点，点 P 是四边形OCFD 边上的动点，则PG 的最小值是 ( )
A.1 B / C D.3
7.如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,E为CD延长线上的一点,且 DE=CD,连接 BE分别交AC,AD于点F，G，连接OG，则下列结论：
①
②与△DEG全等的三角形共有5个；
③四边形ODEG 与四边形OBAG的面积相等；
④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形.其中一定成立的是 ( )
A.①③④ B.①②③
C.①②④ D.②③④
8. 已知T=4n(n--2m)-(m-
(1)化简 T;
(2)若m，n是菱形ABCD 两条对角线的长，且该菱形的面积为6，求T的值.
9.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AD,CB=CD,点E是CD上一点,连接BE交AC于点 F,连接DF.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)试探究 BE 满足什么条件时,∠EFD=∠BCD,并说明理由.
10如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线 BD 平分∠ABC.
(1)求证:四边形ABCD为菱形;
(2)已知AE⊥BC于E,若CE=2BE=4,求 BD的长.
创新拓展题
11.定义：若点 P 为四边形ABCD内一点,且满足∠APB+∠CPD=180°,则称点P 为四边形ABCD 的一个“互补点”.
(1)如图①,点 P 为四边形ABCD 的一个“互补点”,若∠APD=60°,则∠BPC= ;
(2)如图②,点 P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上的任意一点(不与点 B，D重合)，求证：点P 为菱形ABCD的一个“互补点”.
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第3课时 菱形的性质与判定的综合应用
1. B 2. B
3. A 【点拨】∵平行四边形ABCD中,AD=DC,
∴四边形ABCD为菱形,AD∥BC,AB∥CD.
∴AB=BC,∠ABC=180°-∠A=70°.
∵E,F分别为AB,BC的中点,
∴BE=BF.∴∠BEF=∠BFE=55°.
∵PE⊥CD,AB∥CD,
∴PE⊥AB.
∴∠PEB=90°.
4.(1)【证明】在△AOB中,OA=3,OB=2,AB
∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°.
∴AC⊥BD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形 ABCD是菱形.
(2)【解】∵四边形ABCD是菱形,
∴AC=2OA=6,BD=2OB=4.
5. C
6. A 【点拨】∵DF∥AC,CF∥BD,
∴四边形 OCFD是平行四边形.
∵四边形ABCD为平行四边形，
又∵AC=BD,∴OD=OC.
∴四边形 OCFD为菱形.
∵点G是CD的中点，点 P是四边形OCFD 边上的动点，
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值.
如图,过 D点作DM⊥AC于点M,过G点作GP⊥AC于点 P,则GP∥MD.
∵平行四边形ABCD的面积为12,AC=6,
即 解得 DM=2.
由G为CD 的中点，易知GP为△DMC的中位线.
故 PG的最小值为 1.
7. A 【点拨】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AB∥CD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,∠BCD=∠BAD= 60°. ∴ ∠BAG = ∠EDG, 易 知 △ABO ≌△CBO≌△CDO≌△ADO.∵CD=DE,∴AB=DE. 在△ABG 和△DEG 中, △DEG(AAS).∴AG=DG.∴OG 是△ACD的中位线. 故①正确.连接 AE.∵AB∥CE,AB=DE,∴四边形 ABDE是平行四边形.∵∠BCD=∠BAD=60°,AB=AD,CB=CD,∴△ABD和△BCD 都是等边三角形. ∴∠BDC=60°,AB=BD.∴四边形ABDE是菱形.故④正确.由菱形的性质，得△ABG≌△DBG.∵AC⊥BD,∠ODC=60°,∴∠OCD=30°,∴OD 在△ABG 和△DCO 中≌△DCO(SAS).∴△ABO≌△CBO≌△CDO≌△ADO≌△BAG≌△BDG≌△EDG.故②不正确.∵OB=OD, ·四边形 ABDE 是菱形, S△DGE,∴四边形ODEG与四边形OBAG 的面积相等.故③正确.
8.【解】
(2)∵m，n是菱形ABCD 两条对角线的长，且该菱形的面积为6,
∴T=-4mn=-4×12=-48.
9.(1)【证明】在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAC=∠DAC,
∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.
∵AB=AD,CB=CD,
∴AB=CB=CD=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)【解】当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD,理由如下:
由(1)知四边形 ABCD为菱形,
∴∠BCF=∠DCF.
在△BCF和△DCF中
∴△BCF≌△DCF(SAS).
∴∠CBF=∠CDF.
∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°.
∴∠BCD+∠CBF=∠EFD+∠CDF=90°,
∴∠EFD=∠BCD.
10.(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠ADB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ABD=∠ADB.
∴AB=AD.
∴平行四边形 ABCD是菱形.
(2)【解】连接AC,如图所示.
∵CE=2BE=4,
∴BE=2.
∴BC=BE+CE=6.
由(1)得四边形ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,AB=BC=6.
∵AE⊥BC,∴∠AEB=∠AEC=90°.
11.(1)120°
(2)【证明】如图,连接AP,CP,∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,∠ADP=∠CDP.在△ADP与△CDP中,
∴△ADP≌△CDP(SAS).
∴∠APD=∠CPD.
又∵∠APB+∠APD=180°,
∴∠APB+∠CPD=180°,即点 P 为菱形ABCD的一个“互补点”.