1.2 矩形的性质与判定第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 同步练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第3课时 矩形的性质与判定的综合应用
基础题
1. 下列选项错误的是 ( )
A.平行四边形的对角线互相平分
B.矩形的对角线相等
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线相等的四边形是矩形
2.如图,在矩形 ABCD 中,AE⊥BD,垂足为 E,∠DAE=3∠BAE,则∠CBD等于 ( )
A.22.5° B.30°
C.45° D.60°
3.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点 O,若 DE垂直平分 OC,且OC=2,则 DE的长度为 ( )
A.1 B C D.2
4.某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3 个 D.4个
5.如图,在平行四边形 ABCD中,连接 BD,E为线段 AD的中点，延长 BE 与 CD 的延长线交于点 F,连接AF,∠BDF=90°.
(1)求证:四边形ABDF 是矩形;
(2)若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积S.
综合应用题
6如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,AC=6,P 为边 AB上一动点(P 不与B,A重合),PE⊥AC 于 E,PF⊥BC于 F,M为EF的中点，则CM的取值范围是 ( )
7.如图,在矩形 ABCD 中,E 是边 AD 上一点,F,G分别是 BE,CE 的中点,连接 AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,FG=5,则矩形ABCD的面积为 ( )
A.12 B.24 C.36 D.48
8.如图，将矩形ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH,EH=6,EF=8,下列结论:
①∠HEF=90°;②△AEH≌△CGF;
③AD=HF;④FE=2AE;⑤AB=9.6.其中正确结论的个数是 ( )
A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
9.如图,矩形ABCD中,对角线 AC,BD交于点O,点 E是 BC上一点,且AB=BE,∠1=15°,则∠2= .
10.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点 E,使BE=BC,过点 C作CF⊥BE,垂足为点 F,则 BF 的长为
11.已知四边形 ABCD 是矩形,点 E 是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6, 则DE的长是 .
12如图,在菱形ABCD中,对角线 AC,BD 交于点 O,过点 A 作 AE⊥BC于点 E,延长 BC至点 F,使CF=BE,连接DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)若 BF=16,DF=8,求菱形ABCD的面积.
创新拓展题
13.在矩形 ABCD中,AB=4,BC=3.若点 P 是 CD上任意一点,如图①,PE⊥BD于点 E,PF⊥AC于点 F.
(1)猜想 PE和 PF 之间有怎样的数量关系 写出你的理由.
(2)当点 P 是AD上任意一点时,如图②,猜想 PE和PF有怎样的数量关系，写出你的理由.
(3)当点 P 是DC 延长线上任意一点时，如图③，猜想 PE和 PF 之间有怎样的数量关系 写出推理过程.
第3课时 矩形的性质与判定的综合应用
1. D 2. A 3. C 4. C
5.(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,∴BA∥CD.
∴∠BAE=∠FDE.
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE.
在△BEA和△FED中,
∴△BEA≌△FED(ASA).
∴EF=EB.
又∵AE=DE,
∴四边形 ABDF是平行四边形.
又∵∠BDF=90°,
∴四边形ABDF是矩形.
(2)【解】由(1)得四边形 ABDF是矩形,
∴∠AFD=90°,AB=DF=3,AF=BD,
∴S矩形ABDF=DF·AF=3×4=12,BD=AF=4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3.
∵∠BDF=90°,∴∠BDC=90°.
∴四边形 ABCF 的面积
6. A 7. D
8. C 【点拨】∵将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，
∴EA= EM,BE= EM,∠AEH=∠HEM,∠BEF=∠FEM,∠EMH=∠A=90°,∠C=90°.
∴AB=AE+EB=2EM.
∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM=180°,
故①
正确；
同理,∠EFG=∠FGH=90°,
∴四边形 EFGH是矩形.
∴EH=GF,
易知AB=2AE,CD=2CG,AB=CD,
∴AE=CG.
又∵∠A=∠C=90°,∴Rt△AEH≌Rt△CGF(HL).故②正确;
∴AH=CF.
由翻折可知,CF=NF,DH=HN,
∴AH=CF=NF.
∴AD=AH+DH=NF+HN=HF.故③正确;
∵EH=6,EF=8,
∵EM·HF=EH·EF,
∴AB=2×4.8=9.6.故⑤正确;
∵EF=8,2AE=AB=9.6,
∴EF≠2AE,故④错误.
综上所述，正确的结论是①②③⑤，共4 个.
9.30° 【点拨】∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BAD=90°,OB=OD BD,OA=OC
∴OA=OB=OC.
∴∠OCB=∠OBC.
∵AB=BE,∠ABE=90°,
∴∠BAE=∠AEB=45°.
∵∠1=15°,
∴∠OBC=∠OCB=30 .
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形.
∴AB=OB.
∴OB=BE.
∴∠OEB=∠EOB.
∵∠OBE=30°,∠OBE+∠OEB+∠EOB=180°,
∴∠OEB=75°.
∵∠AEB=45°,
∴∠2=∠OEB-∠AEB=30°.
10.2/5
或 【点拨】如图
∵四边形 ABCD是矩形,
∴CD=AB=6,AD=BC,∠ABC=∠ADC=90°.
∴AD≈2.
当点 E 在CD 上时,∵
当点 E'在AB 上时,
综上所述，DE的长为 或
12.(1)【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵CF=BE,
∴CF+EC=BE+EC,
即 EF=BC.
∴EF=AD.
又∵AD∥EF,
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC,
∴∠AEF=90°.
∴平行四边形 AEFD 是矩形.
(2)【解】∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD.
∵BF=16,
∴CF=BF-BC=16-CD.
∵四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF=8,∠F=90°.
∴在 Rt△CFD中,由勾股定理得 即 解得CD=10,
∴BC=CD=10.
∵AE⊥BC,
∴S菱形ABCD=BC×AE=10×8=80.
13.【解】(1)PE 和PF 之间的数量关系为
理由:连接 OP,过 C 作 CH⊥BD'于. D
H,如图①,
设
在矩形 ABCD 中,∠BCD=90°,CD=
AB=4,AD=BC=3.
∴在Rt△BCD中,
由四边形 ABCD为矩形，
易知OC=OD.
(2)PE和PF 之间的数量关系为 理由：连接OP,过O作OM⊥AD于M,如图 D|②,
设OM=h ,
易知
(3)PE 和 PF 之间的数量关系为 理由：连接OP,BP,过C作CH⊥BD于H,如图③.
由(1)知
易知