1.1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 同步练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册（含答案）

菱形的判定
基础题目
1.依据所标数据，下列平行四边形不一定是菱形的是 ( )
2. 如图，平行四边形ABCD中，连接对角线 AC,BD.点 E,F 在对角线 BD 上,且BE=DF,要使四边形AECF 为菱形,现有三种方案：
①只需要满足∠ABE=∠CBE;
②只需要满足AE=CF;
③只需要满足 AC⊥EF.
则上述方案正确的是 ( )
A.①②③ B.①③ C.③ D.②③
3.旗花面是西北地区传统面食，因形状近似菱形，又称菱形面片.如图，四边形ABCD由四个全等的小菱形面片组合而成，则四边形ABCD的形状是 .
4.如图，在四边形 ABCD 中，连接AC,BD. E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA 的中点，要使四边形 EFGH 是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是 .
5.如图,平行四边形 ABCD 中,点E,F分别是AB,CD边上的点,且 BE=DF,AE=AF.求证:四边形AECF是菱形.
综合应用题
6.如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动,连接CE,BF,CF.可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是 ( )
A. BD=AE B. CB=BF
C. BE⊥CF D. BA平分∠CBF
7.如图①,在 ABCD 中,AD>AB,∠ABC 为钝角.要在对边 BC,AD上分别找点 M，N，使四边形ABMN为菱形.现有图②中的甲、乙两种方案用尺规作图确定点 M，N的位置，则下列结论正确的是 ( )
A.只有甲正确 B.只有乙正确
C.甲、乙都不正确D.甲、乙都正确
8.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,D为斜边AB上一点,以 CD,CB为边作平行四边形CDEB,当AD= 时,平行四边形 CDEB为菱形.
9.如图，平行四边形 ABCD 中， ,点 M,N分别以A,C为起点,以1 cm/s的速度沿AD,CB边同时运动，设点 M，N 运动的时间为t s(0≤t≤6),连接AN,CM,当t= 时,四边形 AMCN为菱形.
10.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC，点O为对角线 BD的中点，过点O的直线l分别与 AD，BC所在的直线相交于点 E，F.(点E不与点D重合)
(1)求证:△DOE≌△BOF;
(2)当直线l⊥BD时,连接BE,DF,试判断四边形EBFD的形状，并说明理由.
创新拓展题
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AE平分∠CAB交 CB 于点 E,CD⊥AB 于点 D,交AE于点G,过点 G作GF∥BC交AB 于F,连接 EF.
(1)求证:CG=CE;
(2)判断四边形CGFE的形状，并证明；
(3)若AC=3c m,BC=4 cm,求线段DG的长度.
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第2课时 菱形的判定
1. A 2. B 3.菱形 4. AC=BD
5.【证明】∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD.
∵BE=DF,
∴AB-BE=CD-DF,即AE=CF.
∴四边形 AECF是平行四边形.
又∵AE=AF,
∴平行四边形AECF是菱形.
6. A 7,D
8 【点拨】连接CE交AB 于点O
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
当平行四边形 CDEB 为菱形时,CE⊥BD,OD=OB=
9 【点拨】过点 A作AE⊥BC交BC于点E
∵四边形 ABCD是平行四边形，
在 Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠B=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形.
∵点M,N分别以A,C为起点,以1 cm/s的速度沿AD,CB边同时运动,点 M,N运动的时间为 ts,∴AM=CN=t cm.
∴四边形 AMCN为平行四边形.
∴当AN=CN= tcm时,四边形AMCN为菱形.
∵EC=BC-BE=6 cm,∴EN=(6-t) cm.
∵在Rt△AEN中,
解得
∴当 时，四边形 AMCN为菱形.
10.(1)【证明】∵点O为对角线BD的中点,
∴BO=DO.
∵AD∥BC,
∴∠ODE=∠OBF,∠OED=∠OFB.
在△DOE和△BOF中,
∴△DOE≌△BOF(AAS).
(2)【解】四边形EBFD为菱形，理由如下：
根据(1)可知,△DOE≌△BOF,
∴ED=BF.
又∵ED∥BF,
∴四边形 EBFD为平行四边形.
∵l⊥BD,即EF⊥BD,
∴四边形 EBFD为菱形.
11.(1)【证明】∵AE平分∠CAB,
∴∠CAE=∠BAE.
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠CAE+∠CEA=∠BAE+∠AGD=90°.
∴∠CEA=∠AGD.
又∵∠CGE=∠AGD,∴∠CEA=∠CGE.
∴CG=CE.
(2)【解】四边形 CGFE是菱形,证明如下:
∵GF∥BC,
∴∠CEG=∠EGF.
由(1)知∠CEA=∠CGE,
∴∠CGE=∠EGF.
∴∠AGC=∠AGF.
又∵AG=AG,∠CAE=∠BAE,
∴△AGC≌△AGF(ASA).
∴CG=FG.
由(1)知CG=CE,
∴CE=FG.
又∵GF∥BC,即CE∥FG,
∴四边形 CGFE是平行四边形.
又∵CG=CE,
∴四边形CGFE是菱形.
(3) 【解】在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, AC = 3 cm,BC=4 cm,
由(2)知△AGC≌△AGF.
∴AF=AC=3cm.
∴BF=AB-AF=2cm.
∵四边形 CGFE是菱形,
∴EF∥CG,CE=EF=CG=GF.
∵CD⊥AB,
∴EF⊥AB.
设CE=EF=CG=GF=x cm,则 BE=BC--CE=(4-x) cm.
在 Rt△EFB 中, 即 解得