1.2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质 同步练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册（含答案）

1.2 矩形的性质与判定
矩形的性质
基础题目
1.两个矩形的位置如图所示，若∠1=115°,则∠2= ( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
2.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1，7，则CD= ( )
A.3. 5cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm
3. 如图,在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,点M在边 BC上,若MA平分∠DMB,则CM的长是 ( )
A. B.1 C. D
4.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指 ( )
A. S矩形ABMN=S矩形MNDC
B. S矩形EBMF=S矩形AEFN
C. S矩形AEPN=S矩形MNDC
D. S矩形EBMF=S矩形NFGD
5.明明的家乡有一片矩形“油菜花田”，政府决定在矩形油菜花田上建两条如图所示的小路 AC，BD，方便游客(不考虑路宽),已知 AB=30 m, A BC=40 m，那么两条小路的总长为 .
6.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 BC 上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为 F.
(1)求证:DF=AB.
(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD的长.
综合应用题
7.易错题如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为 P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P 到点O的距离 ( )
A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 B的对应点 E落在 CD 边上，GH 为折痕，已知AB=6,BC=10,当折痕GH最长时,线段BH的长为 .
9.相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,AD=12,对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E 为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点 F,G,则EF+EG= .
10.如图,点 M是矩形 AB-CD内一个动点,AB=AM=6,BC=4,点 N为线段AM上一点，且 连接BN和CM,则 BN+CM的最小值为 .
11.某校数学兴趣小组用一张矩形纸片剪出一张菱形纸片，要求菱形的各个顶点均落在矩形的边或顶点上，如图①，过矩形两对角线的交点，作两条互相垂直的直线与矩形四边相交，依次连接四个交点，沿连线可剪出菱形.
(1)请在图②，图③中画出两种符合要求的示意图；
(2)若AB=6 cm,BC=8 cm,从(1)中选择一种示意图，求出你所作的菱形的边长.
12.如图①，已知锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高，M，N分别是线段 BC，DE的中点，连接DM,ME,MN.
(1)求证:MN⊥DE.
(2)猜想∠A 与∠DME 之间的关系,并证明猜想.
(3)当∠A变为钝角时,如图②,上述(1)(2)中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.
创新拓展题
13.新视角动点探究题 如图,矩形 ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P 为 DF的中点,连接 PB,则 PB的最小值是 .
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第1课时矩形的性质
1. D 2. B 3. D 4. D 5.100 m
6.(1)【证明】在矩形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∴∠AEB=∠DAF.
∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°=∠B.
在△ADF和△EAB中
∴△ADF≌△EAB(AAS).
∴DF=AB.
(2)【解】∵∠ADF+∠FDC=90°,∠DAF+∠ADF=90°,∴∠DAF=∠FDC=30°.
∴AD=2DF.
又∵DF=AB,∴AD=2AB=8.
7. B
8.6.8 【点拨】在 E点从 C 点移动到 D 点的过程中,∠CHE变大而∠GHB变小，纸片宽度不变，故当E点与D 点重合时，GH最长，
设 BH=x,则CH=10-x,HE=BH=x,
由勾股定理得，
即 ,解得x=6.8.
9 【点拨】连接OE
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°,BC=AD=12,OA=OC AC,OB
又
10. 【点拨】在AB上截取BE=MN,连接ME,CE
∵AN AM,AB=AM=6,∴AN=4,MN=2
∴BE=MN=2.
∴AE=AB-BE=6-2=4.∴AE=AN.
又∵AB=AM,∠BAN=∠MAE,
∴△BAN≌△MAE(SAS).
∴BN=ME.
∴BN+CM=ME+CM≥CE.
∴当C，M，E在一条直线上时，ME+CM最小，最小值为CE的长.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠ABC=90°.
在 Rt△BCE中,BC=4,BE=2,
即 BN+CM的最小值为2/5.
11.【解】(1)符合要求的示意图如图所示.(答案不唯一)
(2)选择如图①所示的示意图.
菱形边长AB=6 cm.
选择如图②所示的示意图.
由AB=6 cm,BC=8cm,
易得菱形边长
12.(1)【证明】∵CD,BE分别是AB,AC边上的高,M是BC 的中点,
∴DM=ME,
又∵N为DE 的中点,∴MN⊥DE.
(2)【解】∠DME=180°-2∠A.
证明:在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
由(1)易知DM=ME=BM=MC,
∴∠ABC=∠MDB,∠ACB=∠MEC.
∴∠BMD+∠CME=(180°--2∠ABC)+(180°-
∠A)=2∠A,
(3)【解】结论(1)成立,结论(2)不成立,
理由如下;在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC,易知 DM≈ME=BM≈MC,
∴∠MBD=∠MDB,∠MEC=∠MCE.
13. 【点拨】如图.取 CD 和 DE 的中点 P ,P ,连BP ,P P ,P P.
当点 F与点C重合时，点 P 在P 处，
当点 F 与点E 重合时,点 P 在P 处,
易知P P ∥CE且
当点 F在EC上除点C,E的位置外时,有DP=FP.
由中位线定理可知，P P∥CE且
∴点 P 的运动轨迹是线段 P P .
∴当 BP⊥P P 时,PB取得最小值.
∵在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,
∴△CBE,△ADE,△BCP 为等腰直角三角形,CP =2.
∴∠ADE=∠AED=∠BEC=∠CP B=45°.
∴∠DEC=90°,∠EDC=45°.
又∵P P ∥CE,
∴∠DP . P =∠DEC=90°.∴∠DP P =45°.
∴∠P P B=90°,即BP ⊥P P ,
∴BP的最小值为BP 的长.
在等腰直角三角形 BCP 中， 2/2.
∴PB的最小值是