江西省吉安三中高中数学北师大版必修2第二章《直线与直线的方程》单元测试题

北师大版必修2第二章《直线与直线的方程》单元测试题
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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．已知直线的倾斜角满足条件sin＋cos＝，则的斜率为(　)
A. B. C．－ D．－
2． 经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　　)．
A．－1 B．－3 C．0 D．2
3．m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的(　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．直线：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为(　　)
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是(　　)
A．1 B．2C．－ D．2或－
6．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为(　　)．
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0
7．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　)．
A．－2 B．－7 C．3 D．1
8．设直线的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线的倾斜角的范围是(　　)．
A．[0，π) B.
C. D.∪
9．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)．
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
10．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为，则点P(3,2)到直线的距离为(　　)．
A. B.
C. D.
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）．
11．若A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)，(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
12．已知＋＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________．
13．不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0，恒过定点________．
14．若直线m被两平行线l1：x－y＋1 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°,②30°,③45°,④60°,⑤75°.其中正确答案的序号是_____(写出所有正确答案的序号)．
15．已知0＜k＜4，直线1：kx－2y－2k＋8＝0和直线2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分)．
16．（12分）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.
17．（12分）已知直线：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线对称的直线方程．
18．（12分）设直线的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)若不经过第二象限，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知两直线1：ax－by＋4＝0和2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1) 1⊥2，且直线1过点(－3，－1)；
(2) 1∥2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
20．（13分）过点P(1,2)的直线被两平行线1：4x＋3y＋1＝0与2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝，求直线的方程.
21．（14分）已知直线过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
北师大版必修2第二章《直线与直线的方程》单元测试题答案
一、选择题：
1．[答案] C[解析] 必为钝角，且sin的绝对值大，故选C.
2．[答案]B[解析]　由＝＝y＋2，得：y＋2＝tan ＝－1.∴y＝－3.
3．[答案]A[解析] 由两直线垂直 3m＋m(2m－1)＝0 m＝0或－1，所以m＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．
4．[答案]B[解析] 在对称直线上任取 ( http: / / www.21cnjy.com )一点P(x，y)，则点P关于点A对称的点P′(x′，y′)必在直线l上．由得P′(2－x,2－y)，∴4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.
5．[答案]D[解析] 令y＝0则(2m2＋m－3) x＝4m－1，∴x＝＝1.∴m＝2或－.
6．[答案]A[解析]　所求直线过点A且与 ( http: / / www.21cnjy.com )OA垂直时满足条件，此时kOA＝2，故求直线的斜率为－，所以直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
7．[答案]C[解析]　由已知条件可知线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3.
8．[答案]C[解析]　(直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－.∵cos θ∈[－1,1]且cosθ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．∴tan∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又∈[0，π)，∴∈∪.综上知，倾斜角的范围是.
9．[答案]D[解析]　(数形结合法)由已知直线恒过定点P(2,1)，如右图．若与线AB相交，则kPA≤k≤kPB，∵kPA＝－2，kPB＝，∴－2≤k≤.
10．[答案]A [解析]　由题意得切点坐标为(－1，－1)．切 线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线的方程为y－(－1)＝－1[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0，由点到直线的距离公式得：点P(3,2)到直线的距离为＝.
二、填空题：
11．[答案]－[解析]　由题意知：＝，整理得：2a＋2b＝－ab.∴＋＝－.
12．[答案]　 [解析]　点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当a2＝2b2且a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．
13．[答案](－2,3) [解析]把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0，整理得：(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，则得
14．[答案]①⑤[解析]　记直线m的倾斜角是θ.由题意知直线l1、l2间的距离等于＝.又直线m被直线l1、l2所截得的线段的长是2，因此直线m与直线l1的夹角的正弦值等于＝，直线m与直线l1的夹角是30°，又直线l1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤.
15．[答案][解析]　由题意知直线1，2恒过定点P(2,4)，直线1的纵截距为4－k，直线2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝.
三、解答题：
16．解析：(1)设直线的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，由已知，得(3k＋4)(＋3)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线在y轴上的截距为b，则直线的方程是y＝x＋b，
它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
17．解析：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
(1) 把x＝4，y＝5代入③及④得x′＝－2，y′＝7，
∴P (4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2) 用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l的对称直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
18．解析:(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．
∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
得＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或
∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是a≤－1.
19．解析:(1)∵1⊥2，∴a(a－1)－b＝0.
又∵直线1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)∵直线2的斜率存在，1∥2，∴直线1的斜率存在．
∴k1＝k2，即＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴1，2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
20． 解析: 设直线的方程为y－2＝k(x－1)，
由解得A；
由解得B.
∵|AB|＝，
∴ ＝，
整理，得7k2－48k－7＝0，
解得k1＝7或k2＝－.
因此，所求直线的方程为x＋7y－15＝0，或7x－y－5＝0.
21．解析: 存在．理由如下．
设直线的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，
△AOB的面积S＝(1－2k)
＝≥(4＋4)＝4.
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，
故直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.