1.3 正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

3 正方形的性质与判定
正方形的性质
基础题目
1.海奉贤区模拟] 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线平分一组对角
D.对角线互相平分
2一个正方形在平面直角坐标系中的三个顶点的坐标为(-3，3)，(-3，—1)，(1，—1)，则第四个顶点到x轴的距离是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2= ( )
A.90° B.100° C.130° D.180°
4.如图,在 Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边 BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若 S正方形AMEF═16,则.S△ABC= ( )
A. B. C.12 D.16
5.如图,点 P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2,则∠BPC 的度数为 °.
6.如图,正方形 ABCD 中,E 是BC上的一点,连接AE,过 B点作 BG⊥AE,垂足为点 G,延长 BG交CD于点 F.
求证:BE=CF.
综合应用题
7. 如图,在正方形 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为 AO,DO上的一点,且 EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为 ( )
A.80° B.90° C.105° D.115°
8如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的两个顶点A，B 是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段OC长的最大值是 ( )
C. D.8
9如图，已知正方形ABCD的边长为 2，P 是对角线 BD上一点,PE⊥BC于点 E,PF⊥CD于点 F,连接AP,EF.给出下列结论:
①
②四边形 PECF的周长为4;
③△APD一定是等腰三角形；
④AP=EF;
⑤EF 的最小值 其中正确结论的序号为
A.①②③④ B.①②④⑤
C.②④⑤ D.①②④
10.如图，将边长为 的正方形ABCD绕点 A时针方向旋转 30°后得到正方形 AB'C'D'，则图中阴影部分的面积为 .
11.如图,在正方形ABCD 中,点E,F分别在 BC,CD 上,连接 AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC一定等于 (用含α的式子表示).
12.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB 的延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF;
(2)若 BC=8,DE=6,求△AEF 的面积.
创新拓展题
13.如图①，四边形 ABCD 是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形 CEFG,连接 BG,DE.
(1)猜想图①中线段 BG，线段 DE 的数量关系及所在直线的位置关系，并说明理由；
(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②、③的情形.请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断.
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第1课时 正方形的性质、
1. A 2. C 3. B 4. B 5.135
6.【证明】∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABE=∠BCF.
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵BG⊥AE,
∴∠BGE=90°.
∴∠AEB+∠EBG=90°.
∴∠BAE=∠EBG.
∴△ABE≌△BCF(ASA).
∴BE=CF.
7. C 8. B
9. B 【点拨】①∵四边形 ABCD是正方形,
∴∠BDC=45°,∠BCD=90°.
∵PE⊥BC,PF⊥CD,
∴∠PEC=∠PFC=PFD=90°.
∴四边形 PECF是矩形,∠PDF=∠DPF=45°.
∴PF=EC,PF=DF.
∴在 Rt△DPF中,
故①正确；
②∵四边形 PECF为矩形,PF=DF,
∴四边形 PECF的周长=2CF+2PF=2CF+2DF=2DC=4.
故②正确；
③∵点 P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∴∠ADP=45°.由题意可知点 P 与点 B 不重合.
∴当∠PAD=45°或67.5°时,△APD是等腰三角形.
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误；
④连接 PC,
∵四边形PECF 为矩形,
∴PC=EF.
∵直线 BD是正方形ABCD 的对称轴，
∴AP=PC.
∴AP=EF.
故④正确；
⑤∵EF=PC=AP,
∴当 AP的长最小时，EF的长最小.
当AP⊥BD时,AP的长最小.∵AB=AD=2,∠BAD=90°，∴AP的长的最小值为 即 EF的长的最小值等
故⑤正确；故选 B.
10.12- 11.2
12.(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°.而 F 是CB 的延长线上的点，
在△ADE 和△ABF 中
∴△ADE≌△ABF(SAS).
(2)【解】∵四边形ABCD是正方形,BC=8,
∴AD=BC=8.
在 Rt△ADE中,DE=6,AD=8,
由(1)知△ADE≌△ABF,
∴AE=AF,∠BAF=∠DAE.
∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠EAF=∠BAD=90°.
∴△AEF的面积
13.【解】(1)BG=DE,BG⊥DE.理由如下:如图①,延长 BG交DE 于点 H.
∵四边形ABCD和四边形CEFG 都是正方形，
∴BC=DC,∠BCG=∠DCE=90°,CG=CE.
∴△BCG≌△DCE.
∴BG=DE,∠1=∠2.
∵∠1+∠CGB=90°,∠CGB=∠DGH,
∴∠2+∠DGH=90°.
∴∠DHG=90°.
∴BH⊥DE,即 BG⊥DE.
(2)BG=DE,BG⊥DE仍然成立.
证明:如图②,设 BG 与 DE 相交于点O,DC 与BG 相交于点 H.
∵四边形ABCD，四边形CEFG都是正方形，
∴BC=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°.
∴∠BCG=∠DCE.
∴△BCG≌△DCE.
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE.
又∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHO=90°.
∴∠DOH=90°.
∴BG⊥DE,