特殊平行四边形综合练习 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

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特殊平行四边形综合练习
[时间: 60分钟分值: 100分]
一、选择题(每题 4 分,共28 分)
1.在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.粤绣凝聚着历代艺人的天才与智慧，从艺术风格到创作思维都充满了岭南特色.在“针尖上的画意——广绣精品与岭南绘画展”中，师傅要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是 ( )
A.测量四边形画框的两个角是否为 90°
B.测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C.测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D.测量四边形画框的四边是否相等
3.如图,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点,若∠ACB=30°,AB=8，则MN的长为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
4.如图,在菱形 ABCD中,AC,BD交于点O,AC=8,BD=6,点 P 为线段 AC上的一个动点,过点 P 分别作 PM⊥AD 于点 M,PN⊥DC 于点 N,则 PM+PN的值为 ( )
A B C D
5.如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图①所示菱形，测得∠B=60°,连接AC,AC=10 cm,接着将该活动学具调成图②所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图③所示的图形，连接 BE，则图③中△BCE的面积为 ( )
B.50 cm
6.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为 ，点B在x轴的正半上,且∠AOC=60°,将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA'B'C'(点A'与点C 重合)，则点 B'的坐标是 ( )
7.如图,在正方形ABCD中,O为对角线 AC的中点，E为正方形内一点，连接BE,BE=BA,连接CE并延长,与∠ABE 的平分线交于点 F,连接OF.若 AB=2,则OF的长度为 ( )
A.2 B C.1 D
二、填空题(每题5分，共20分)
8.如图，在矩形 ABCD中，对角线AC,BD 相 交 于 点 O. 试 添 加 一 个 条件: ，使得矩形 ABCD为正方形.
9.如图，菱形 ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD 的周长为 .
10.如图,正方形ABCD的边长为8,点 E 是 CD的中点,HG 垂直平分 AE 且分别交AE,BC于点 H,G,则BG= .
11.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,点 P 为 AB 边上一动点(不与点 A,B重合),PE⊥OA 于点 E,PF⊥OB 于点 F,若 AC=8,BD=6,则 EF的最小值为 ( )
A.3 B.2 C D
三、解答题(共52分)
12.(16分)如图,AD 和 BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°,OB=OC.点 E,F 分别是 AO,DO的中点.
(1)求证:OE=OF;
(2)当∠A=30°时,求证:四边形 BECF是矩形.
13.(16 分) 如图,正方形ABCD 中,E 是 BC上的一点,连接AE,过点B 作 BG⊥AE,垂足为点 G,延长 BG 交 CD于点 F,连接AF.
(1)求证:BE=CF;
(2)若正方形的边长是5,BE=2,求AF的长.
14.(20分) 如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AC= ,点 D 从点 出发沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点 B 匀速运动，同时，点E 从点 B 出发沿 BC以每秒1个单位长度的速度向终点 C匀速运动.设点 D,E运动的时间为t秒,作DF⊥AC于点 F,连接 DE,EF.
(1)求证:BE=DF;
(2)当t为何值时，四边形 BEFD为菱形；
(3)当t为何值时，△DEF 为直角三角形.(直接写出结果，不用说明理由)
一、 1. C 2. B
3. B 【点拨】根据矩形的性质和含 30°角的直角三角形的性质得出AC=BD=16，进而求出BO，再依据中位线的性质得
4. C
5. D 【点拨】∵菱形ABCD中,AB=BC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.
∴AC=BC.
∵AC=10 cm.
∴BC=10 cm,
∴CE=BC=10 cm.
如图,过点E作EH⊥BC,交 BC的延长线于点H,
易知△DCE是等边三角形，
∴∠DCE=60°,
∴易得∠ECH=30°,
∴△BCE的面积 故选 D.
6. B 【点拨】如图,延长 B'C交x轴于点D,连接OB'.
∵四边形 ABCO 是菱形,点 B 在 x 轴的正半轴上,∠AOC=60°,
∴∠COB=∠AOB=30°,∠CBA=60°.
由旋转可得 AB=CB'.
在 Rt△CDO中,
B点坐标
7. D 【点拨】连接AF,根据正方形ABCD得到AB=BC=BE,∠ABC=90°,根据勾股定理求得AC的长.根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，求得∠BFE=45°，再证明△ABF≌△EBF,求得∠AFC=90°,最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出 OF 的长度.
二、8. AB=AD(答案不唯一)
9.52
10.1 【点拨】连接 AG，EG.由线段垂直平分线的性质得AG=EG.由正方形的性质得AB=CB=CD=8,∠C=∠B=90°，由中点的性质得 设 BG=x,由勾股定理得 解得 x=1. 即BG=1.
11. C 【点拨】∵四边形ABCD是菱形,
在Rt△AOB中, 如图所示，连接OP，
∵PE⊥OA 于点E,PF⊥OB 于点F,
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF=OP.
当OP⊥AB时,OP的值最小,即EF的值最小,
∴EF的最小值
三、12.【证明】(1)在△AOB和△DOC中,
∴△AOB≌△DOC(ASA).
∴OA=OD.
又∵E,F分别是AO,DO的中点,
∴OE=OF.
(2)∵OB=OC,OE=OF,
∴四边形 BECF是平行四边形,BC=2OB,EF=2OE.
∵E为AO的中点,∠ABO=90°,∴EB=EO=EA.
∵∠A=30°,∴∠BOE=60°.
∴△BOE是等边三角形.
∴OB=OE.∴BC=EF.
∴四边形 BECF是矩形.
13.(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°.
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵BG⊥AE,∴∠BGE=90°.
∴∠AEB+∠EBG=90°.
∴∠BAE=∠EBG.
∴△ABE≌△BCF(ASA).
∴BE=CF.
(2)【解】∵四边形ABCD是正方形,且边长是5,
∴∠D=90°,AD=CD=5.
∵BE=2,∴由(1)得CF=BE=2.
∴DF=CD-CF=5-2=3.
∴在 Rt△ADF中,由勾股定理得
14.(1)【证明】由题意得AD=2t,BE=t.
∵∠C=90°,∠B=60°,∴∠A=30°.
∴BE=DF.
(2)【解】如图,
∵∠C=90°,DF⊥AC,
∴BC∥DF.
又由(1)知 BE=DF=t,
∴四边形 BEFD为平行四边形.
在 Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴AB=2BC.
解得 BC=5(负值已舍去).
∴AB=10.
∴BD=10-2t.
若使 BEFD为菱形,则需 DF=BD,即t=10-2t,解得 当 时，四边形 BEFD为菱形.
(3)【解】当 或4时，△DEF为直角三角形.
【点拨】△DEF为直角三角形分三种情况：
①如图①,
当∠EDF=90°时,
∵∠EDF=∠C=∠DFC=90°,
∴四边形 ECFD为矩形.
∴DF=CE,即t=5-t,解得
②如图②,
当∠DEF=90°时,
由(2)知四边形 EFDB为平行四边形，
∴EF∥AD.
∴∠BDE=∠DEF=90°.
∴BE=2BD,即t=2(10-2t),解得t=4.
③当∠EFD=90°时,此种情况不存在.
综上所述，当 或4时，△DEF为直角三角形.