2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

2.5 一元二次方程的根与系数的关系
中小学教育资源及组卷应用平台
基础题目
1.已知一元二次方程 的两根分别为m,n,则m+n的值是 ( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
2.x=一1是一元二次方程 的一个根，则这个方程的另一个根是( )
A. -4 B.2 C.3 D.6
3.若关于 x 的一元二次方程 8x+m=0的两根为x ,x ,且 ,则m的值为 ( )
A.4 B.8 C.12 D.16
4.已知x ,x 是方程 的两根，则代数式 的值为 .
5.已知一元二次方程 的两个实数根为x ,x ,若 则实数k= .
6.已知关于x 的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若x ，x 是方程的两个实数根，且 求m的值.
综合应用题
7.定义运算:a*b=a(1-b),若a,b是方程 的两根，则b*b--a*a的值为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.±1
8.已知 x ,x 是方程 4=0的两个实数根，则 的值为 ( )
A.—10 B.-7
C.-5 D.3
9 若关于 x 的方程 1)x+k+1=0的两个实数根满足关系式 则k的值为 ( )
A.11 B.--1
C.11或-1 D.11或-1或1
10.已知关于x的方程 k—9=0有两个不相等的实数根x ，x ，且 ，则k的取值范围是( )
A.—18B.0C.—9D.一1811.若关于x的方程 有两个实数根x ,x ,则 的最大值是 ( )
A.0 B.0.5 C.4.5 D.5
12.已知关于x的一元二次方程x -(2k+1)x+4k-3=0,当 Rt△ABC的斜边长a为 且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，△ABC 的周长为 .
13.已知关于 x 的一元二次方程
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)(a+2b)=20,求m的值.
14已知：关于 x 的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根.
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC的长为5，
①当k为何值时，△ABC是等腰三角形
②当k为何值时，△ABC是以BC 为斜边的直角三角形
创新拓展题
15.新考法阅读类比法 阅读材料：
材料1：关于 x 的一元二次方程 c=0(a≠0)的两个实数根x ,x 和系数a,b,c有如下关系：
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值.解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴m+n=1, mn=-1.
则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程 的两个实数根为x ,x ,则
(2)类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 3t--1=0且 s≠t,求 的值.
1. A 2. D 3. C 4.1 5.-5
6.(1)【证明】
∴方程总有实数根.
(2)【解】由题意知,
整理得
解得 m=1 或
经检验m=1或 是原分式方程的解.
∴m的值为1
7. B 8. B 9. C
10. C 【点拨】∵方程4x -(k+5)x-k-9=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-(k+5)] -4×4×(-k-9)=(k+13) >0,解得 k≠-13.
解得-9综上,k的取值范围为-9故选 C.
11. B 【点拨】∵关于x的方程. 有两个实数根 x ,x ,
∴△=4-4(m-1)=8-4m≥0,
∴m≤2.
∵m≤2,
∴当 时， 有最大值，最大值 ,即0.5
故选 B.
【点拨】根据根与系数的关系，得b+c=2k+1, bc=4k-3.
∵b，c为直角边的长，斜边长a为
整理得
即(k-3)(k+2)=0,
∴k-3=0或k+2=0,
解得k =3,k =-2(舍去).
∴b+c=2×3+1=7.
∴△ABC的周长为
13.(1)【证明】
=1>0,
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根.
(2)【解】∵该方程的两个实数根为a，b，
∵(2a+b)(a+2b)
整理，得
解得
∴m的值为-2或1.
14.(1)【证明】
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)【解】
∴(x-k-1)(x-k-2)=0,
解得x=k+1或x=k+2.
即△ABC的三边为5,k+1和k+2,
当k+1=5时,k=4;
当k+2=5时,k=3.
∴当k为3或4时，△ABC是等腰三角形.
②∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
解得k=2.或k=-5(舍去).
∴当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
15.【解】
(2)∵一元二次方程 的两个实数根分别为m,n.
(3)∵实数s,t满足 且 s≠t,∴s，t是一元二次方程 的两个实数根.