2.3 用公式法求解一元二次方程 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

3 用公式法求解一元二次方程
公式法
基础题目
1.用公式法解方程 得到 ( )
2. 若 是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是 ( )
3.关于x的一元二次方程 无实数根，则k的取值范围是 ( )
A. k>4 B. k<4
C. k<-4 D. k>1
4.关于x的一元二次方程 的根的情况是 ( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
5.用公式法解方程 得到方程的两根为a，b，且a>b，则a的值是 ( )
6.王林准备解一元二次方程 时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则●处的数可能是 ( )
A.2 B.3 C.5 D.7
7.方程(x+1)(x+2)=1 化成一般形式是 ,b —4ac= ,用求根公式可求得.
8.用公式法解下列方程：
(4)x(x-3)-4=0.
综合应用题
9.若一元二次方程 的两个实数根中较 小 的 一 个 根 是 m(m≠0),则 b+ ( )
A. m B. -m
C.2m D.-2m
10.在平面直角坐标系中，若直线y=-x+m不经过第一象限，则关于x的方程 的实数根的个数为 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.1个或2个
11. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程 的方法，类似地可以用折纸的方法求方程 1=0的一个正根，如图，裁一张边长为 1的正方形的纸片 ABCD，先折出 BC的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折叠使 EB落在线段 EA上,折出点 B 的新位置 F,因而 EF=EB,类似地,在AB上折出点M使AM=AF,表示方程 的一个正根的线段是( )
A.线段 BM
B.线段 AM
C.线段 BE
D.线段 AE
12. 已知关于x 的一元二次方程
(1)如果方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值.
创新拓展题
13 如果关于 x 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是 则方程 是“邻根方程”.
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
(2)已知关于 x的方程 是常数)是“邻根方程”，求m的值；
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(3)若关于x的方程mx + nx+2=0(m,n是常数,m>0)是“邻根方程”,令 试求 t 的最大值.
第2课时 用公式法解决面积问题
基础题目
1. 应用一份摄影作品的照片长为 7 英寸，宽为5英寸，如图所示，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积 倍，照片四周外露衬纸的宽度应为 ( )
A.1英寸 B.2英寸
C.7英寸 D.1或7英寸
2.如图，在一块长 12 m，宽 8 m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m ，则道路的宽应为 m.
3.在一块长16m，宽12m的矩形草坪上，要修建如图所示的两条甬路，并使甬路所占面积为原来矩形草坪面积的一半，则x=
4. 2022 年 9 月,教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地；如图所示，一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为22米)，用长为 34 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB 为x 米.
(1)BC= 米(用含 x的代数式表示);
(2)若围成的菜地面积为96 平方米，求此时的宽AB.
综合应用题
5.如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm 的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm.
6.如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1m 宽的门.若要使羊圈的面积为80 m ，则所围矩形与墙垂直的一边长为 m.
7.新视用新定义题 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为 .
8.如图,将边长为 6 cm 的正方形纸片 ABCD，剪去图中阴影部分的四个全等的直角三角形，再沿图中虚线折起，可以得到一个长方体盒子(A，B，C，D正好重合于上底面一点，且AE=BF)，若所得到的长方体盒子的表面积为11 cm ,则线段AE= .
9.如图，老李想用长为 70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边 BC上留一个 2 m 宽的门(建在 EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m 的羊圈
(2)羊圈的面积能达到650 m 吗 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
创新拓展题
10.要在一块长 16 m、宽 12 m 的矩形荒地上建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.
小芳
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗 若不符合，请用方程的方法说明理由；
(2)你还有其他的设计方案吗 请在图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时公式法
1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A
8. 【解】(1)这里a=3,b=-4,c=-1.
(2)整理,得
这里a=1,b=-6,c=1.
∵b -4ac=36-4=32>0,
(3)整理,得
这里
(4)整理,得
这里a=1,b=-3,c=-4.
9. D 10. D
11. B 【点拨】设AF=AM=a,
则
∵在 Rt△ABE中,
∴AM的长为 的一个正根.
故选 B.
12.【解】(1)∵关于 x的一元二次方程. 有两个实数根，
解得 m≥2.
∴m的取值范围为m≥2.
(2)当7为底时,由题意得,△=0,则8m-16=0,
解得m=2,
此时一元二次方程为
解得
∵3+3<7，∴不符合三角形三边关系，舍去；
当7为腰时，将x=7代入. 得
解得m=4或m=10.
当m=10时，一元二次方程为
解得
∴三角形的三边长为7,7,15,7+7<15(舍去),
当m=4时，一元二次方程为.
解得
∴三角形的三边长为3，7，7，可以构成三角形，
∴m的值为4.
13.【解】(1)①解方程. ,得x=3或x=-2.∵3-(-2)=5,
不是“邻根方程”.
②解方程 得 或
是“邻根方程”.
(2)由方程 ,解得x=m或x=-1,∵方程 是常数)是“邻根方程”，∴m-(-1)=1或-1-m=1,
解得m=0或m=-2.
(3)解方程 得
∵关于x的方程 是常数,m>0)是,“邻根方程”，
∴当 时，t有最大
第2课时 用公式法解决面积问题
1. A 2.2 3.4
4.【解】(1)(36-3x)
(2)根据题意,得(36-3x)x=96,
解得x=8或x=4(不合题意,舍去).
∴宽AB 为8米.
5.2 6.8
8.0.5cm 【点拨】设AE=BF= xcm,由题意可得,长方体盒子的底面为正方形，其边长 为 xcm长方体盒子的高为 根据长方体盒子的表面积为11 cm 列出方程，即可得出线段 AE的长.
9.【解】(1)设矩形ABCD的边AB= xm,则边 BC=70—2x+2=72-2x(m).
根据题意,得x(72—2x)=640,
化简，得 .
解得
当x=16时,72-2x=72-32=40;
当x=20时,72-2x=72-40=32.
答:当羊圈的长为 40 m,宽为16 m或长为 32 m,宽为20m时，能围成一个面积为640m 的羊圈.
(2)不能.
理由:由题意,得x(72-2x)=650。化简，得
∴一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到650m .
10.【解】(1)不符合.理由如下:
设符合条件的小路宽度均为 x m.
由题意，得
解得 (不符合题意，舍去)，
∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为 2 m.
(2)答案不唯一.
如图①，取上边的中点作为三角形的顶点，下边的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；
如图②，横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4m时，除去小路的面积，剩下的面积为矩形面积的一半.