2.6 应用一元二次方程 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

2.6 应用一元二次方程
用一元二次方程解决几何应用问题
基础题目
1用一根长 22 cm的铁丝围成面积是 30 cm 的矩形.假设矩形的一边长是x cm，则可列方程为 ( )
A. x(22-x)=30 B. x(11-x)=30
C. x(22-2x)=30 D.2x(22.-x)=30
2.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6 210 文.如果每株椽的运费是 3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株，则可列方程为 ( )
A.3(x-1)x=6 210 B.3(x-1)=6 210
C.(3x-1)x=6 210 D.3x=6 210
3.我国古代著作《九章算术》“勾股”章有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高几何 ”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈(1丈=10尺,1尺=10 寸),那么门的高为 ( )
A.96寸 B.86寸
C.62寸 D.28 寸
4.如图，把小圆形场地的半径增加 6 m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为 m.
5. 《义务教育课程方案和课程标准(2022 年版)》优化了课程内容结构，设立跨学科主题学习活动，以强化实践性要求，在一堂数学、美术的融合课中，每个同学桌上都有一段长60 cm的铁丝，需要将铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个配件.
(1)填空：小东想做两个正方形配件，若设其中一个正方形配件的边长为x cm，则另一个正方形配件的边长为 cm(请用含 x 的代数式表示).
(2)在(1)的基础上，若小东想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于100 cm ，请问小东的想法能否实现 为什么
综合应用题
6.为响应国家“双减”政策，丰富学生的课余生活.“青青草原”社团打算规划一块面积为300 m 的土地，使它的长与宽的比为3：2，则宽约为多少米 ( )
A.12 m~13 m之间 B.13 m~14 m之间
C.15 m~16 m之间 D.14 m~15 m之间
7.如图,AB⊥OC 于点 O,AO=BO=50 cm,OC是射线,蚂蚁甲以 2 cm/s 的速度从点 A 爬向点 B，蚂蚁乙以 3 cm/s的速度从点O沿射线OC爬行，那么经过 s，两只蚂蚁和点 O围成的三角形的面积为450 cm .
8如图，海关缉私人员驾艇在 C 处发现在正北方向30 km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行.缉私艇随即以75 km/h的速度在 B 处将可疑船只拦截.缉私艇从C 处到 B 处需航行 h.
9.如图，在矩形 ABCD中，AB=6 cm,BC=12 cm,点 P 从点 A 开始以1 cm/s的速度沿 AB 边向点 B 移动，点Q 从点 B 开始以 2 cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 移动.如果 P，Q分别从 A，B同时出发，设移动的时间为 ts.求:
(1)当t为多少时,△PBQ的面积等于 8 cm
(2)当t为多少时,△PQD 是以PD 为斜边的直角三角形
创新拓展题
10. 如图,一轮船以40 km/h的速度由西向东航行，在途中点 C处接到台风警报，台风中心点 B正以 20 km/h 的速度由南向北移动.已知距台风中心 200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时,测得 BC=500 km,BA=300 km.(假定轮船不改变航向).
(1)如果这艘轮船不改变航向，经过11 h，轮船与台风中心相距多远 此时，轮船是否受到台风影响
(2)如果这艘轮船受到台风影响，请求出轮船受到台风影响一共经历了多少小时
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第2课时 用一元二次方程解决实际应用问题
基础题目2
1、在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少.2022 年上学期平均每天作业时长为 100 min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年下学期平均每天作业时长为 70 min.设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为x，则可列方程为 ( )
2. 2023“全晋乐购”网上年货节活动期间，某商家购进一批进价为80元/盒的吕梁沙棘汁，按150元/盒的价格进行销售，每天可售出160盒.后经市场调查发现，当每盒价格降低1元时，每天可多售出8盒.若要每天盈利16 000元，设每盒价格降低x元，则可列方程为 .
3.某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是 .
4.某商店将进价为 8 元的商品按每件10元出售，每天可出售 200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，那么每天的销售量就减少 20件，将每件商品提价多少元时，才能使每天的利润为 640元
综合应用题
5.某商品的进价为每件 40 元，当售价为每件 60元时，每星期可卖出300件，为占有市场份额，现需降价处理，且经市场调查：每降价一元，每星期可多卖出20件，现在要使利润为 6 120元，则每件商品应降价 ( )
A.3元 B.2.5元 C.2元 D.1.5元
6.甲、乙两家某商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元.三月份销售额甲店比乙店多10万元.若甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，则乙店这两个月的月平均增长率是 .
7.通信技术为促进培育壮大经济发展新动能，加快构建面向未来的新型基础设施体系，四川省正在加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业.据统计，目前四川5G基站数量约12万座，计划到2023年底，全省 5G基站的数量是目前的 1.25 倍,到 2025 年底,全省力争建成5G基站25.35万座.
(1)计划到 2023 年底，全省 5G基站的数量是多少万座
(2)按照计划,求 2023 年底到 2025 年底,全省5G基站数量的年平均增长率.
8.某超市销售一种衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40 元.为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2 件.
(1)在每件盈利不少于 25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元
(2)小明的观点：“该衬衫每天的销售获利能达到1300元”，你同意小明的观点吗 若同意，请求出每件衬衫应降价多少元；若不同意，请说明理由.
创新拓展题
9.近年来，自动驾驶的无人配送车纷纷落地使用.无人配送车都是由电池驱动的，主要有“换电”和“充电”两种能源补给方式，“充电”方式需要企业建造高标准的充电桩，初始固定成本偏高.
如图是某无人配送车企业针对一个配送区域所绘制的两种能源补给方式的总平均成本 y(单位：元)与人口数x(单位：万人)的函数关系图象(直线)，已知两种能源补给方式的初始固定成本差为21元.
(1)求两种能源补给方式各自的y关于x 的函数表达式；(不要求写函数自变量的取值范围)
(2)目前该配送区域人口为50万人，经过数据分析，两年后企业全部采用“充电”能源补给方式的总平均成本更低，求估计的该区域人口的年平均增长率.(百分号前保留一位小数)(参考数据：
第3课时 一元二次方程的其他应用
类型1 传播问题
1.有一个人患流感，经过两轮传染后共有 81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人 设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为 ( )
A.1+2x=81
2.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43.若设主干长出x个支干，则可列方程 ( )
B. x(1+x)=43
C. x+2x+1=43
3有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有 256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少人.
类型 2 单 ( 双) 循环问题
4.某校要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛 2 场(双循环)，计划安排 30 场比赛，设有x支球队，可列方程为 ( )
A. x(x+1)=60 B. x(x-1)=30
C. x(x+1)=15 D. x(x--1)=60
5.一个聊天群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1 980条，则可列方程 ( )
A x(x-1)=1 98 B. x(x-1)=1 980
D. x(x+1)=1 980
6. 境题体育赛事2023年杭州亚运会女子排球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛(即所有参赛队在比赛中均能相遇一次)，若单循环比赛共进行了 6场，则共有多少支队伍参加比赛 设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可列方程为 .
7.3 个朋友在一起,每两人握一次手，他们一共握了3次手；4个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了6 次手；10个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了 次手.
8.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了 10条航线，设航空公司共有x个飞机场，列方程 .
9.一次足球联赛，赛制为双循环形式(每两队之间都赛两场)，共要比赛 90场，则共有多少个队参加比赛
类型 3 数字问题
10.如图是 2024 年 1 月的日历，1月 1 日下方标有“元旦”二字，“元旦”意为“初始之日”，中国历史上的“元旦”指的是农历“正月初一”，1949年中华人民共和国以公历1月 1日为元旦.在如图的日历中，用“日”形框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数.
11子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩.”——《论语·第二章·为政篇》
读诗词解题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜
类型 4 图表信息类问题
12. 近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题.某城市生态环境局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费(水费+污水处理费).
(1)某户居民2023年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用含a的代数式表示该户居民应交水费多少元.
(2)下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况.
月份用水量(吨)交水费总金额(元)
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值.
谈谈如何开展水资源环境保护
第1课时 用一元二次方程解决几何应用问题
1. B 2. A 3. A
【点拨】设小圆形场地的半径为 r m，则大圆形场地的半径为(r+6)m，由题意得， ×2,解得 (舍去).∴小圆形场地的半径为(
5. 【解】(1)(15-x)
(2)小东的想法不能实现，理由如下：
假设小东的想法能实现，根据题意得： 整理，得
∴原方程没有实数根.
∴假设不成立，即小东的想法不能实现.
6. D
7.15或10或30 【点拨】设经过xs,两只蚂蚁和点 O围成的三角形的面积为450 cm .①当0≤x≤25时,蚂蚁甲在线段AO上爬行，则由题意，得 整理，得 解得x =15,x =10;②当258.2/3 |【点拨】设缉私艇从C处到B处需航行 xh，
则AB=60x km,BC=75x km.
根据题意，得(
解得 (不合题意，舍去).
故缉私艇从 C处到 B处需航 h
9. 【解】(1)易得 BP=(6-l) cm,BQ=2t cm.
∵△PBQ的面积等于8 cm ,
整理，得 解得
∴当t为2 或4时,△PBQ的面积等于 8 cm .
(2)易得
∵△PQD是以PD 为斜边的直角三角形，
即
整理得 解得
∴当t 或6时，△PQD是以PD 为斜边的直角角形.
10. 【解】(1)∵CB=500 km,AB=300km,
∴此时，轮船受到台风影响.
(2)由题意,得( 解得
15-7=8(h),
∴轮船受到台风影响一共经历了 8 h.
第2课时 用一元二次方程解决实际应用问题
1. C
2.(150-80-x)(160+8x)=16 000
3.20%
4.【解】设售价为x元，
根据题意列方程，得
整理,得(x-8)(400-20x)=640,
即
解得
故将每件商品的售价定为12元或16元时，才能使每天的利润为 640 元,
∵原价为10元，
∴应将每件商品提价2元或6元.
5. A
6.60% 【点拨】设乙店二、三月份销售额的月平均增长率为x，则甲店三月份的销售额为 万元，乙店三月份的销售额为15(1+x) 万元.由题意，得 解得 (不合题意，舍去)，∴乙店这两个月的月平均增长率为60%.
7. 【解】(1)12×1.25=15(万座).
故计划到2023年底，全省5G基站的数量是15万座.
(2)设全省5G基站数量的年平均增长率为x，
由题意，得
解得x=30%或x=-230%(舍去).
故全省 5G基站数量的年平均增长率为30%.
8.【解】(1)设每件衬衫应降价x元，根据题意,得(40-x)(20+2x)=1 200,解得 (不合题意，舍去).
∴每件衬衫应降价 10 元.
(2)不同意，理由如下：
设当每件衬衫应降价m元时，能使商场每天获利1300元，根据题意,得(40-m)(20+2m)=1 300,化简，得
∵△=900-4×1×250=-100<0,
∴原方程没有实数解.
∴商场每天的销售获利不可能达到1300元.
9.【解】(1)∵30+21=51(元),
∴“充电”补给方式的初始固定成本为51元.
设“充电”补给方式y关于x的函数表达式为 把点(0,51),(30,36)的坐标代入,得 解得
∴“充电”补给方式y关于x的函数表达式为 设“换电”补给方式y关于x的函数表达式为 把点(0,30),(30,24)的坐标代入,得 解得
∴“换电”补给方式y关于x的函数表达式为
(2)联立 解得
∴当配送区域人口为70万人时，两种方式的总平均成本一样.
设该区域人口的年平均增长率为a，
由题意，得
解得 3(不符合题意，舍去).
∵两年后“充电”能源补给方式的总平均成本更低，
∴该区域人口的年平均增长率要大于18.3%.
一元二次方程的其他应用
1. D 2. D
3.【解】设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意,得1+x+x(1+x)=256,
即
解方程，得x =15,x =-17(舍去).
∴每轮传染中平均每人传染了 15 人.
4. B 5. B
7.45
9.【解】设一共有x个队参加比赛，由题意得 即 解得x=10或x=-9(不合题意,舍去),∴一共有10个队参加比赛.
10.【解】设最小数为x,则最大数为x+15,根据题意,得x(x+15)=100,解得 由题意可知 不符合题意，舍去，∴x=5.
∴这个最小数为5.
11.【解】设周瑜逝世的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3,
根据题意，得
解得
当x=5时，周瑜逝世的年龄是25岁.
∵25岁非而立之年，
∴不符合题意，舍去；
当x=6时，周瑜逝世的年龄是36岁，符合题意.
∴周瑜逝世的年龄是36岁.
12.【解】(1)3月份应交水费10+5a(8-a)=(10+40a-5a )(元).
(2)由题意,得5a(7-a)+10=70,
解得a=3或a=4.
5a(5-a)+10=40,
解得a=3或a=2.
综上，规定用水量a的值为3.
(3)提高节水技术、防治水污染、植树造林.