3.1 用树状图或表格求概率 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

3.1 用树状图或表格求概率
用树状图或表格求概率
基础题目
1.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝下的概率是 ( )
A B C D
2.某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目，九年级一班和九年级二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是( )
A B C D
3.2023年10月 26 日，搭载三名航天员汤洪波、唐胜杰、江新林的神舟十七号载人飞船发射成功，三名航天员顺利进驻我国空间站.根据安排此次航天员乘组将进行出舱开展科学实验，每名航天员出舱的机会均等，若某次安排两名航天员出舱，则航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率为 ( )
A B C D
4. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国的第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ( )
A B C D
5.用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为
6.扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源.某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览.
(1)甲选择A景点的概率为 ；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率.
综合应用题
7. 在“长沙美食简介”竞答活动中，第一题组共设置“长沙臭豆腐”“刮凉粉”“糖油粑粑”“口味蟹”四种美食，参赛的甲、乙二人从以上四种美食中随机选取一个进行简介，则两人恰好选中同一种美食的概率是 ( )
A B C D
8.袋子里有4 个球，分别标有2，3，4，5，这些球除数字不同外都相同.先从中随机抽取一个记住数字后放回，再抽取一个，所抽取的两个球的数字之和大于 6的概率是 ( )
A B C D
9.如图，电路连接完好，且各元件工作正常.随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率为( )
A B C D
10.从1,2,3 三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程 没有实数根的概率为 .
11.有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开 B锁，c钥匙不能打开这两把锁.
(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出 c 钥匙的概率等于 ；
(2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率.
创新拓展题
12.为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A.南梁精神红色记忆之旅(华池县)；B.长征会师胜利之旅(会宁县)；C.西路军红色征程之旅(高台县)，且每人只能选择一条线路.小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路.他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母 A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片.
(1)求小亮从中随机抽到卡片 A的概率；
(2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片 C的概率.
利用概率判断游戏的公平性
基础题目
1.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为 ( )
A B C D
2.甲、乙两人一起玩如图所示的转盘游戏，将两个转盘各转一次，若指针指向的数的和为正数，则甲胜，否则乙胜，这个游戏 ( )
A.公平 B.对甲有利
C.对乙有利 D.公平性不可预测
3.一个不透明的袋子中装有2 个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同.晓君同学从袋中任意摸出1个球(不放回)后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球，两人都摸到红球的概率是 ( )
A B C D
4.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“□□□”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为 ( )
A B C D
5.一个两位正整数，若个位上的数字大于十位上的数字，则称这个两位数为“两位递增数”(如14，56，37).在一次趣味数学活动中，参加者需从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，组成一个“两位递增数”.
(1)写出所有个位数字是 4 的“两位递增数”： ;
(2)请用列表或画树状图的方法，求组成的“两位递增数”刚好是2 的倍数的概率.
综合应用题
6.下列事件的概率，与“任意选2人，恰好同月过生日”这一事件的概率相等的是 ( )
A.任意选 2人，恰好生肖相同
B.任意选2人，恰好同一天过生日
C.任意掷2枚质地均匀的骰子，恰好朝上的点数相同
D.任意掷2枚质地均匀的硬币，恰好朝上的一面相同
7.班长邀请A,B,C,D四名同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B 两名同学座位相邻的概率是 ( )
A B C D
8.在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第 1题的一个错误选项，第2 题完全不会，他还有两次“求助”机会(使用可去掉一个错误选项)，为提高通关概率，他的求助使用策略为 ( )
A.两次求助都用在第1题
B.两次求助都用在第2题
C.在第1，2题各用一次求助
D.无论如何使用通关概率都相同
9. 在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字 , ,2,π的小球,这些球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 .
10.我们去游泳馆游泳时，要换拖鞋，如果大桶里只剩下尺码相同的2双红色拖鞋和1双蓝色拖鞋混放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们恰好是一双的概率是 .
11.小明和小亮都想参加“象棋”社团活动，但受到名额限制，只能录取一人，他们用如图所示的A，B两个转盘(每个转盘被平均分成面积相等的扇形)做游戏：同时转动两个转盘，若两次数字之差的绝对值为奇数，则小明胜；若两次数字之差的绝对值为偶数，则小亮胜.这个游戏对双方公平吗 请你用列表或画树状图的方法说明理由.
创新拓展题
12.趋势跨学科)田忌赛马的故事为我们熟知，在学习概率知识后老师设计了如下游戏：已知甲、乙两人手中各有牌面数字为2，5，7和3，6，8的三张扑克牌，每次同时各出一张牌(打出的牌不收回)，谁的牌数字大谁赢.
(1)若甲、乙将手中的牌随机抽出一张，一局定胜负，请用列表或画树状图的方法，比较谁获胜的机会大
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(2)若规定三局两胜者为胜，已知乙按从小到大的顺序出牌，则甲应该怎样出牌，才能保证获胜
第3课时 利用概率玩“配紫色”游戏
基础题目
1.两人做游戏，两人同时转动如图两个转盘进行“配紫色”游戏(蓝色与红色可配成紫色)，则两人配色成功的概率为 ( )
A B C D
2.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏.如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形.同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色.若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看.此规则 ( )
A.公平 B.对小颖有利
C.对小亮有利 D.公平性不可预测
3.如图，两个转盘进行“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色.此时，配成紫色的概率是 ，颜色相同的概率是 .
4.用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 .
5.游戏活动学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，A转盘被分成面积相等的三个扇形，B转盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°.同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏.若小赵同学同时转动 A 转盘和B转盘，则她赢得游戏的概率是多少
综合应用题
6.一个盒子里装有两个红球，两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到的球的颜色相同的概率为 ( )
A B C D
7. 用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 .
8.如图，用两个转盘进行“配绿色”游戏(黄色和蓝色配在一起为绿色)，同时转动两个转盘，当转盘停止转动时，用两盘指针所指的颜色配色，用画树状图或列表的方法表示出所有情况，并求能配出绿色的概率.
9.用如图所示的三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所标的颜色.小强和小亮用转盘 A 和转盘 B 做一个转盘游戏，同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则小强获胜；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮获胜；在其他情况下，小强和小亮不分胜负.
(1)用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
(2)小强认为此游戏不公平，请你帮他说明理由；
(3)请你在转盘C的空白处，涂上适当颜色，使得用转盘C替换转盘B后，游戏对小强和小亮是公平的(在空白处填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种结果).
创新拓展题
设计两个转盘进行“配紫色”游戏，使配得紫色的概率
1 用树状图或表格求概率
第1课时 用树状图或表格求概率
1. D 2. A 3. B 4. C 5
6.【解】
(2)画树状图如图：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的结果有5种，
∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是
7. C
8. B 【点拨】画树状图如图；
由树状图可知，共有 16种等可能的结果，所抽取的两个球的数字之和大于 6的结果有 10种，
∴所抽取的两个球的数字之和大于6的概率是
9. D 【点拨】画树状图如图：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有 2 种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为
【点拨】画树状图如图：
由树状图可知，共有 6种等可能的结果，其中满足△=16—4ac<0,即 ac>4的结果有2种,
∴关于x的一元二次方程 没有实数根的概率为
11.【解】
(2)画树状图如图：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，
∴取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为
12.【解】(1)小亮从中随机抽到卡片 A的概率是
(2)画树状图如图：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片 C的结果有1种，
∴两人都抽到卡片C的概率是
第2课时 利用概率判断游戏的公平性
1. C
2. A 【点拨】画树状图如图：
由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中指针指向的数的和为正数的结果有4种，
∴甲胜的概率为 ∴乙胜的概率为
∴甲胜的概率=乙胜的概率.
∴这个游戏公平.
3. A 【点拨】列表如下:
红 红 黄 黄 黄
红 (红,红) (黄,红) (黄,红) (黄,红)
红 (红,红) (黄,红) (黄,红) (黄,红)
黄 (红,黄) (红,黄) (黄,黄) (黄,黄)
黄 (红,黄) (红,黄) (黄,黄) (黄,黄)
黄 (红,黄) (红,黄) (黄,黄) (黄,黄)
由表可知，共有 20种等可能的结果，其中两人都摸到红球的结果有 2种，
∴两人都摸到红球的概率为
4. B 【点拨】画树状图如图：
由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的结果有3种，
∴恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率 为
5.【解】(1)14,24,34
(2)画树状图如图：
由树状图可知，共有10种等可能的结果，其中组成的“两位递增数”刚好是2的倍数的结果有4种，∴组成的“两
位递增数”刚好是2的倍数的概率为
6. A
7. A 【点拨】画树状图如图：
由树状图可知，共有24种等可能的结果，其中A，B两名
同学座位相邻的结果有 12种，
∴A，B两名同学座位相邻的概率是
8. A 【点拨】两次求助都用在第1题，列表如下：
第1题 第 2 题
( , )
× ( ,×)
× ( ,×)
× ( ,×)
由表知，共有4种等可能的结果，其中通关的结果有1种，∴通关的概率
两次求助分别用在第1、2题，列表如下：
第 1题 第 2题 ×
( , ) (×, )
× ( ,×) (×,×)
× ( ,×) (×,×)
由表知，共有6种等可能结果，其中通关的结果有1种，∴通关的概率
两次求助都用在第2题，列表如下：
第1题 第 2 题
( , ) (×, ) (×, )
× ( ,×) (×,×) (×,×)
由表知，共有6种等可能结果，其中通关的结果有1种，∴通关的概率
∴两次求助都用在第1题更有利.
故选 A.
9 【点拨】画树状图如图
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两球上的数字之积恰好是有理数的结果有8种，
∴两球上的数字之积恰好是有理数的概率为
【点拨】设两双红色拖鞋分别是a，A，a，A；l双蓝色拖鞋是c，C，列表如下：
由表可知，共有30种等可能的结果，其中它们恰好是一双的结果有10种，所以它们恰好是一双的概率是
11.【解】这个游戏对双方公平，理由如下：
画树状图如图：
由树状图可知，共有 12种等可能的结果，其中两次数字之差的绝对值为奇数的结果有6种，两次数字之差的绝对值为偶数的结果有6种，
∴小明胜的概率为 小亮胜的概率为
∴小明胜的概率=小亮胜的概率.
∴这个游戏对双方公平，
12.【解】(1)画树状图如图:
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜的结果有3种，乙获胜的纳果有6种，
∴甲获胜的概率是 乙获胜的概率为
∴乙获胜的机会大、
(2)由题意得，乙出牌的顺序为(3，6，8)，甲随机出牌的顺序有(2,5,7),(2,7,5),(5,2,7),(5,7,2),(7,2,5),(7,5,2),
易知当甲按(5，7，2)的顺序出牌时，才能保证获胜.
第 3课时 利用概率玩“配紫色”游戏
1. A 2. A
5.【解】B转盘红色部分圆心角为 相当于2个蓝色部分，
画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转
出了红色、另一个转盘转出了蓝色的结果有3种，
∴小赵同学同时转动A转盘和B 转盘，她赢得游戏的概率是
6. D 【点拨】画树状图如图：
由树状图可知，共有 25种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色相同的结果有9种，
∴两次摸到的球的颜色相同的概率为
【点拨】把第一个转盘的蓝色区域等分成3个相同的
扇形，分别记作“蓝1”“蓝2”“蓝3”，画树状图如图：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有 4种，
∴配成紫色的概率是
8.【解】画树状图略
所以 P(能配出绿色
9.【解】(1)画树状图如图:
(2)由(1)得，共有15种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有3种，两个转盘转出相同颜色的结果有4种，
∴小强获胜的概率为 小亮获胜的概率
∴此游戏不公平.
(3)如图(答案不唯一).
10.【解】可设计如图的两个转盘，其中两个转盘都被分成面积相等的几个扇形.(答案不唯一)