天津市河北区2023-2024学年高二下学期末质量检测数学试题
1．（2024高二下·河北期末）设集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】 ,
故答案为：B.
【分析】根据集合的交和并运算求出相应的集合即可.
2．（2024高二下·河北期末）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】求解二次不等式 可得： 或 ，
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
3．（2024高二下·河北期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，，所以，
因为，而且，所以，
综上所述，
故选：D.
【分析】以“0”和“1”为中间量，利用对数函数的单调性（对于对数函数，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减），即可比较三者之间的大小，
4．（2024高二下·河北期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的图象
【解析】【解答】解：因为由函数定义域相关知识可知分母不为零，则，解得，
所以的定义域为，可排除A；
当时，，可排除CD．
故选：.
【分析】根据函数定义域（函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值集合），以及指定范围内函数值正负排除部分选项后，即可选出正确选项.
5．（2024高二下·河北期末）若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：在他连续4次射击中，利用独立重复试验的概率公式可得，
恰好有一次未击中目标的概率为.
故选：D
【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式（事件与相互独立）列式求解即得.
6．（2024高二下·河北期末）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（ ）
A．甲、乙两组数据都呈线性相关
B．乙组数据的相关程度比甲强
C．乙组数据的相关系数r比甲大
D．乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1
【答案】C
【知识点】变量相关关系；线性相关；散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关，故A正确；
乙图的点相对更加集中，所以其相关性较强，更接近1，故B，D正确；
甲图是正相关，其相关系数大于0，乙图是负相关，其相关系数小于0，故C错误.
故选：C.
【分析】利用线性相关的定义（线性相关指的是所求数据能近似的看做某一次函数关系， 即观测点散落在一条直线周围， 变量的关系近似表现为一条直线）进行求解即可.
7．（2024高二下·河北期末）已知直线和平面，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：对于选项A，若，则或或或斜交，A错误；
对于选项B，若，则或，B错误；
对于选项C，由线面垂直的性质可知：若，则，C正确；
对于选项D，若，则或相交或异面，D错误.
故选：C.
【分析】由直线与平面的位置关系（线面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线）即可逐一判断各个选项，进而得解.
8．（2024高二下·河北期末）课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】超几何分布；超几何分布的应用
【解析】【解答】解：由题意，随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布，
课桌上有12本书，其中理科书籍有4本， 则不是理科书籍的有8本，
所以．
故选：A
【分析】根据题设易知服从超几何分布（超几何分布是统计学上的一种离散概率分布，它描述了在有限N个物件中（其中包含M个指定种类的物件) 抽取n个物件，成功抽出该指定种类物件的次数（不放回）的概率分布），根据目标式对应概率的含义即可得答案.
9．（2024高二下·河北期末）在边长为2的正方形中，为的中点，则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为四边形是边长为2的正方形，如图所示：
所以，，
.
故选：D.
【分析】由平面向量数量积的运算律（分配律：向量数量积满足分配律，这意味着当有一个向量与两个向量的和做数量积时，可以分别与这两个向量做数量积后再相加，结果不变； 数乘法的结合律：向量与实数的乘积满足结合律，即实数与向量的乘积可以与另一个向量进行数量积运算，且结果的顺序不影响最终结果）求解即可.
10．（2024高二下·河北期末）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；②在上单调递增；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于①，的最小正周期为，故①正确；
对于②，因为，所以，由正弦函数的图象可知，在上单调递增，故②正确；
对于③，函数的图象上所有点向左平移个单位长度，则，而，故③错，
故选：.
【分析】根据三角函数的图象及性质（正弦函数：在区间内，随着角度的增大（减小），正弦值也增大（减小）；在区间内，随着角度的增大 (减小)，正弦值减小（增大）.）逐一判断即可求解.
11．（2024高二下·河北期末）i是虚数单位，复数 ．
【答案】4-i
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：4-i
【分析】根据复数的运算法则求解即可.
12．（2024高二下·河北期末）下面是一个2×2列联表，其中a、b处的值分别为 、 ．
总计
a 21 73
2 25 27
总计 b 46 100
【答案】52；54
【知识点】2×2列联表
【解析】【解答】解：根据2×2列联表的定义可知，，解得，
故填：52，54.
【分析】根据2×2列联表的定义（列联表是观测数据按两个或更多属性 (定性变量) 分类时所列出的频数表，它是由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表），可以求解
13．（2024高二下·河北期末）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为， 则正方体的棱长为 .
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为正方体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：，即，
则，
故答案为：．
【分析】根据正方体的性质（正方体的对角线就是正方体的外接球的直径），结合球的体积公式进行求解即可.
14．（2024高二下·河北期末）某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为 ；
【答案】0.7
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
则，且与互斥
根据题意得：，，
由全概率公式，得：.
故答案为：0.7.
【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，用字母设出事件，根据题意将相关的事件的概率写出来，最后利用全概率公式）求解.
15．（2024高二下·河北期末）已知函数的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可得射线与函数有且只有一个交点，
令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m＜2.
故答案为：
【分析】对每一个区间进行分类讨论，从而求出取值范围.
16．（2024高二下·河北期末）如图，在正方体中，与交于，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【答案】（1）证明：连接如图所示：
因为在正方体中，与交于，是的中点，
所以为中点，
所以在中，，
又因为平面，平面，
所以平面
（2）证明：因为在正方体中，，平面，
又因为平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）连接，由中位线可得，结合线面平行的判定定理（平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行）即可证明；（2）证明，，根据线面垂直的判定定理（如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直）即可得到平面.
17．（2024高二下·河北期末）已知，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）解：因为，，所以，
所以
（2）解：因为，，所以，
所以，，
所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）先根据同角三角函数关系求得的值，再根据两角和的正弦公式求解即可；
（2）先根据二倍角公式求出和的值，再根据两角和的余弦公式计算即可.
18．（2024高二下·河北期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长，
【答案】（1）解：由，可得，
由正弦定理可得：，即，
所以，
因为在中，，
所以
（2）解：由面积公式可得，即，
由（1）可得，即，
所以
的周长为
【知识点】共线（平行）向量；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由向量平行的条件结合正弦定理化简可得，利用余弦定理（三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即）即可求出角的大小；
（2）由三角形面积公式化简可得，结合余弦定理化简可得，从而求出的周长.
19．（2024高二下·河北期末）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球．
（1）若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率；
（2）若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值；
（3）若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望．
【答案】（1）解：令事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到黄球，
则，，
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率为，
（2）解：令事件C：摸一次摸到红球，则，
由题意随机变量X服从二项分布，，
因为，，所以，
解得：，
（3）解：由题意随机变量Y的所有可能取值为2，3，4，
，，，
所以，Y的分布列为
Y 2 3 4
P
所以
【知识点】超几何分布；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）用字母设出事件，写出相关事件的概率，最后利用条件概率定义可求解；
（2）由题意随机变量X服从二项分布，根据二项分布的期望和方差公式列方程，解方程得解；
（3）由题意随机变量Y服从超几何分布，利用超几何分布知识求出分布列和期望（将每个可能取值与其对应的概率相乘）得解.
1 / 1天津市河北区2023-2024学年高二下学期末质量检测数学试题
1．（2024高二下·河北期末）设集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·河北期末）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高二下·河北期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·河北期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·河北期末）若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·河北期末）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（ ）
A．甲、乙两组数据都呈线性相关
B．乙组数据的相关程度比甲强
C．乙组数据的相关系数r比甲大
D．乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1
7．（2024高二下·河北期末）已知直线和平面，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2024高二下·河北期末）课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·河北期末）在边长为2的正方形中，为的中点，则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
10．（2024高二下·河北期末）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；②在上单调递增；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
11．（2024高二下·河北期末）i是虚数单位，复数 ．
12．（2024高二下·河北期末）下面是一个2×2列联表，其中a、b处的值分别为 、 ．
总计
a 21 73
2 25 27
总计 b 46 100
13．（2024高二下·河北期末）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为， 则正方体的棱长为 .
14．（2024高二下·河北期末）某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为 ；
15．（2024高二下·河北期末）已知函数的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ．
16．（2024高二下·河北期末）如图，在正方体中，与交于，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
17．（2024高二下·河北期末）已知，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
18．（2024高二下·河北期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长，
19．（2024高二下·河北期末）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球．
（1）若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率；
（2）若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值；
（3）若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】 ,
故答案为：B.
【分析】根据集合的交和并运算求出相应的集合即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】求解二次不等式 可得： 或 ，
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
3．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，，所以，
因为，而且，所以，
综上所述，
故选：D.
【分析】以“0”和“1”为中间量，利用对数函数的单调性（对于对数函数，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减），即可比较三者之间的大小，
4．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的图象
【解析】【解答】解：因为由函数定义域相关知识可知分母不为零，则，解得，
所以的定义域为，可排除A；
当时，，可排除CD．
故选：.
【分析】根据函数定义域（函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值集合），以及指定范围内函数值正负排除部分选项后，即可选出正确选项.
5．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：在他连续4次射击中，利用独立重复试验的概率公式可得，
恰好有一次未击中目标的概率为.
故选：D
【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式（事件与相互独立）列式求解即得.
6．【答案】C
【知识点】变量相关关系；线性相关；散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关，故A正确；
乙图的点相对更加集中，所以其相关性较强，更接近1，故B，D正确；
甲图是正相关，其相关系数大于0，乙图是负相关，其相关系数小于0，故C错误.
故选：C.
【分析】利用线性相关的定义（线性相关指的是所求数据能近似的看做某一次函数关系， 即观测点散落在一条直线周围， 变量的关系近似表现为一条直线）进行求解即可.
7．【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：对于选项A，若，则或或或斜交，A错误；
对于选项B，若，则或，B错误；
对于选项C，由线面垂直的性质可知：若，则，C正确；
对于选项D，若，则或相交或异面，D错误.
故选：C.
【分析】由直线与平面的位置关系（线面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线）即可逐一判断各个选项，进而得解.
8．【答案】A
【知识点】超几何分布；超几何分布的应用
【解析】【解答】解：由题意，随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布，
课桌上有12本书，其中理科书籍有4本， 则不是理科书籍的有8本，
所以．
故选：A
【分析】根据题设易知服从超几何分布（超几何分布是统计学上的一种离散概率分布，它描述了在有限N个物件中（其中包含M个指定种类的物件) 抽取n个物件，成功抽出该指定种类物件的次数（不放回）的概率分布），根据目标式对应概率的含义即可得答案.
9．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为四边形是边长为2的正方形，如图所示：
所以，，
.
故选：D.
【分析】由平面向量数量积的运算律（分配律：向量数量积满足分配律，这意味着当有一个向量与两个向量的和做数量积时，可以分别与这两个向量做数量积后再相加，结果不变； 数乘法的结合律：向量与实数的乘积满足结合律，即实数与向量的乘积可以与另一个向量进行数量积运算，且结果的顺序不影响最终结果）求解即可.
10．【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于①，的最小正周期为，故①正确；
对于②，因为，所以，由正弦函数的图象可知，在上单调递增，故②正确；
对于③，函数的图象上所有点向左平移个单位长度，则，而，故③错，
故选：.
【分析】根据三角函数的图象及性质（正弦函数：在区间内，随着角度的增大（减小），正弦值也增大（减小）；在区间内，随着角度的增大 (减小)，正弦值减小（增大）.）逐一判断即可求解.
11．【答案】4-i
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：4-i
【分析】根据复数的运算法则求解即可.
12．【答案】52；54
【知识点】2×2列联表
【解析】【解答】解：根据2×2列联表的定义可知，，解得，
故填：52，54.
【分析】根据2×2列联表的定义（列联表是观测数据按两个或更多属性 (定性变量) 分类时所列出的频数表，它是由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表），可以求解
13．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为正方体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：，即，
则，
故答案为：．
【分析】根据正方体的性质（正方体的对角线就是正方体的外接球的直径），结合球的体积公式进行求解即可.
14．【答案】0.7
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
则，且与互斥
根据题意得：，，
由全概率公式，得：.
故答案为：0.7.
【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，用字母设出事件，根据题意将相关的事件的概率写出来，最后利用全概率公式）求解.
15．【答案】
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可得射线与函数有且只有一个交点，
令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m＜2.
故答案为：
【分析】对每一个区间进行分类讨论，从而求出取值范围.
16．【答案】（1）证明：连接如图所示：
因为在正方体中，与交于，是的中点，
所以为中点，
所以在中，，
又因为平面，平面，
所以平面
（2）证明：因为在正方体中，，平面，
又因为平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）连接，由中位线可得，结合线面平行的判定定理（平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行）即可证明；（2）证明，，根据线面垂直的判定定理（如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直）即可得到平面.
17．【答案】（1）解：因为，，所以，
所以
（2）解：因为，，所以，
所以，，
所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）先根据同角三角函数关系求得的值，再根据两角和的正弦公式求解即可；
（2）先根据二倍角公式求出和的值，再根据两角和的余弦公式计算即可.
18．【答案】（1）解：由，可得，
由正弦定理可得：，即，
所以，
因为在中，，
所以
（2）解：由面积公式可得，即，
由（1）可得，即，
所以
的周长为
【知识点】共线（平行）向量；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由向量平行的条件结合正弦定理化简可得，利用余弦定理（三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即）即可求出角的大小；
（2）由三角形面积公式化简可得，结合余弦定理化简可得，从而求出的周长.
19．【答案】（1）解：令事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到黄球，
则，，
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率为，
（2）解：令事件C：摸一次摸到红球，则，
由题意随机变量X服从二项分布，，
因为，，所以，
解得：，
（3）解：由题意随机变量Y的所有可能取值为2，3，4，
，，，
所以，Y的分布列为
Y 2 3 4
P
所以
【知识点】超几何分布；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）用字母设出事件，写出相关事件的概率，最后利用条件概率定义可求解；
（2）由题意随机变量X服从二项分布，根据二项分布的期望和方差公式列方程，解方程得解；
（3）由题意随机变量Y服从超几何分布，利用超几何分布知识求出分布列和期望（将每个可能取值与其对应的概率相乘）得解.
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