浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高一下·金东期中）已知复数，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：易得复数，所以.
故答案为：C
【分析】利用复数的乘法运算及复数模的计算得解.
2．（2024高一下·金东期中）下列关于向量的描述正确的是（ ）
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线
【答案】B
【知识点】单位向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】A、单位向量的长度相同均为，方向不确定，故A错误；
B、单位向量的长度相同均为，则，故B正确；
C、任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故C错误；
D、单位向量的模为，若共起点，则终点在半径为的圆周上，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据单位向量的定义，即可判断ABD；利用共线向量的定义即可判断C.
3．（2024高一下·金东期中）点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解： 点在的内部，因为，
所以，即，
由奔驰定理可得：，则.
故答案为：C.
【分析】由题意，结合向量的线性运算求得，再根据奔驰定理求解即可.
4．（2024高一下·金东期中）如图，棱锥的高，截面平行于底面与截面交于点，且.若四边形的面积为36，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：棱锥中，截面平行于底面，
则四边形与四边形相似，且，
故四边形的面积为．
故答案为：C.
【分析】由题意，易知四边形与四边形相似，利用相似求解即可.
5．（2024高一下·金东期中）已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行公理；异面直线的判定
【解析】【解答】解：A、因为、分别为、的中点，所以，又因为，所以，故A错误；
B、面，面，，则与是异面直线，故B正确；
C、因为，所以四点共面，故C错误；
D、因为，所以与共面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据异面直线的定义逐项分析判断即可.
6．（2024高一下·金东期中）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【知识点】等可能事件；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个，抽到的可能性为；
第二次抽到的可能性为，则某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是.
故答案为：A.
【分析】根据简单随机抽样的等可能性判断即可.
7．（2024高一下·金东期中）由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：过点作'轴，交'轴于点，如图所示：
在中，，则，，
由正弦定理，可得，
由斜二测画法可知，原平面图形中，顶点到轴的距离为.
故答案为：D.
【分析】过点作'轴，交'轴于点，在中，利用正弦定理求得，再根据斜二测画法求原平面图形中，顶点到轴的距离即可.
8．（2024高一下·金东期中）莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理．该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到3个交点，这样的三个交点可以构成一个等边三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．如图，在等腰直角中，，，是的莫利正三角形，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在等腰直角中，， ，则，
由题意可得：在中，，，，
由正弦定理可得，
同理可得，，，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，易得，再在中，利用正弦定理得，同理求得，最后求即可.
9．（2024高一下·金东期中）幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取8位小区居民，他们的幸福指数分别是3，4，5，6，6，7，8，9，则（ ）
A．这组数据的极差是6 B．这组数据的平均数是5
C．这组数据的第70%分位数是7 D．这组数据的方差是3.5
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、极差为，故A正确；
B、平均数为，故B错误；
C、，则这组数据的第分位数为第6个数7，故C正确；
D、方差为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据极差、平均数、百分位数、方差计算公式求解即可.
10．（2024高一下·金东期中）在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若则是等腰三角形
B．若，则为锐角三角形
C．若，则一定是等边三角形
D．若，则一定是等腰三角形
【答案】A,C
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、若，由根正弦定理可得
即，则，即，则是等腰三角形，故A正确；
B、若，由正弦定理可得，则，
即为锐角，但两角无法判断，故B错误；
C、若，由正弦定理可得，
即，即，即是等边三角形，故C正确；
D、若，由正弦定理可得，
则，即或，即或，
则是等腰三角形或直角三角形，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式及三角形内角和即可判断A；利用正弦定理得到，结合余弦定理即可判断B；利用正弦定理换边为角，结合等边三角形的判定即可判断C；利用正弦定理结合正弦的二倍角公式化简即可判断D.
11．（2024高一下·金东期中）已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．⊥平面
C．在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离为3
D．圆锥内切球的表面积为
【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；余弦定理
【解析】【解答】解：A、由题意，可得，，
因为，所以，则，故A正确；
B、易知MO⊥平面ABC，因为平面ABC，所以MO⊥BC，
又因为AO⊥BC，，平面MOA，所以BC⊥平面AMO，
又因为平面AMO，所以AM⊥BC，由，可得，
由勾股定理得：，则，
故，同理可得：，
因为，所以BM⊥AM，又因为平面MBC，且，
则⊥平面，故B正确；
C、将圆锥的侧面展开，如图所示：
设中点为Q，连接AQ，因为，所以，即为点A到中点的最短距离，易知底面周长为，则，，
若，由，
由余弦定理得：，
因为，所以在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离不为3，故C错误；
D、由对称性可知，圆锥内切球球心在OP上，如图所示：
设内切球球心为T，设内切球半径为，
TU=R，，则，
其中，故，
在中，由勾股定理得：，即，
解得，则圆锥内切球的表面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，证明，即可得平行关系判断A；作出辅助线，得到BM⊥AM，AM⊥BC，根据线面垂直的判定定理证明即可判断B；将侧面展开，设中点为Q，连接AQ，则为点A到中点的最短距离，求出，假设，由余弦定理求出点A到中点的最短距离为3即可判断C；画出图形，找到内切球球心，求出半径，求得内切球表面积即可判断D.
12．（2024高一下·金东期中）圆柱的底面积为，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积为 ．
【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
13．（2024高一下·金东期中）若数据的方差为3，则的方差为 ．
【答案】12
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： 数据的方差为3
根据方差的性质可得：数据的方差为.
故答案为：12.
【分析】根据方差的性质直接求值即可.
14．（2024高一下·金东期中）在中，，，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
在中，，，
则，
，，
，
当，即时，取最大值，最大值为，
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算以及辅助角公式，结合平面向量的数量积、正弦函数的性质求最值即可.
15．（2024高一下·金东期中）实数分别取什么数值时，复数
（1）为纯虚数；
（2）对应点在第四象限．
【答案】（1）解：因为为纯虚数，所以，解得；
（2）解：因为复数对应的点在第四象限，所以，即，解得，
则实数的取值范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据复数为纯虚数列方程组求解即可；
（2）根据对应点位于第四象限列不等式组求解即可.
（1）为纯虚数，，即，解得：.
（2）对应的点在第四象限，，即，解得：，
的取值范围为.
16．（2024高一下·金东期中）已知，．
（1）若，求的坐标：
（2）若与的夹角为120°，求在向量上的投影向量的模．
【答案】（1）解：设，因为，，所以，解得或，
则)或；
（2）解：由，可得，因为与的夹角为120°，所以，
则在向量上的投影向量的模为．
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）设，根据向量平行的坐标关系以及向量的模长公式列方程求解即可；
（2）根据平面向量数量积的定义求，再利用向量的数量积的几何意义确定投影向量的模公式即可.
（1）设，则解得或
∴)或，
（2）∵，，与的夹角为120°，．，
∴在向量上的投影向量的模为
．
17．（2024高一下·金东期中）在四棱锥中，底面，为等腰梯形，，，.
（1）求证；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：在中，，
由余弦定理可得，
即，即，因为平面平面，
所以，又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：取中点，连接、，如图所示：
由（1）知，，由，可得，又，
于是，且，
因此是二面角的平面角，由（1）知平面，而平面，
则，，
故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理的逆定理证明，再利用线面垂直的性质、判定证明即可；
（2）取中点，找到二面角的平面角，再在直角三角形中求解即可.
（1）在中，，则，
即，因此，又平面平面，
则，而，平面，于是平面，又平面，
所以.
（2）取中点，连接、，如图，
由（1）知，，而，则，又，
于是，且，
因此是二面角的平面角，由（1）知平面，而平面，
因此，，
所以二面角的余弦值为.
18．（2024高一下·金东期中）某学校1000名学生参加信息技术学分认定考试，用按性别比例分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生的成绩，记录他们的分数，并将数据分成8组：，，整理得到如下频率分布直方图：
（1）求图中的值，并估计全校学生中成绩不低于70分的学生人数；
（2）已知样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，且样本中分数不低于70的男生与女生人数之比为，求总体中男生人数和女生人数之比；
（3）估计该校1000名学生成绩的平均值．
【答案】（1）解：由频率分布直方图中每个小矩形的面积之和为1，
可得，解得；
样本中成绩不低于70分的频率为，
则全校学生中成绩不低于70分的学生人数为；
（2）解：由题意可知，样本中分数不低于70的学生人数为，则样本中分数不低于70的男生人数为，
因为样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，所以样本中全部男生人数为60，女生人数为，
所以样本中男生人数与女生人数之比为，即总体中男生和女生人数之比为；
（3）解：估计该校1000名学生成绩的平均值为
．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中每个矩形额面积之和为1列式求得的值，再求出样本中成绩不低于70分的频率，即可得全校学生中成绩不低于70分的学生人数；
（2）分别求出样本中男生人数与女生人数即可求总体中男生人数和女生人数之比；
（3）利用频率分布直方图中求平均值的公式即可求解.
（1）．解得．
样本中成绩不低于70分的频率为．
估计全校学生中成绩不低于70分的学生人数为．
（2）由题意可知，样本中分数不低于70的学生人数为．
所以样本中分数不低于70的男生人数为．
又因为样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，
所以样本中全部男生人数为60，女生人数为．
所以样本中男生人数与女生人数之比为．
从而，总体中男生和女生人数之比为．
（3）估计该校1000名学生成绩的平均值为
．
19．（2024高一下·金东期中）已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至画到出发点，求质点移动路程的最小值：
（2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积；
（3）若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，连接得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值.
【答案】（1）解：沿侧棱将三棱锥的侧面展开，如图所示：
则即为质点移动路程的最小值，
由题意，可得，则，，
由余弦定理可得，解得，
则质点移动路程的最小值为；
（2）解：设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为，圆锥的母线为，
则，解得，
，故，，
则圆锥的侧面积为，
故圆锥的体积为；
（3）解：易知为点在底面的投影，点到的距离为，于点，
则，连接，如图所示：
则，，，
因为是等边三角形，所以，，
又因为，所以 ，侧面积为，
所以三棱锥的表面积，
因为，所以，
所以棱锥的体积，所以，
则
，
令，则，又因为，所以
则
，
当且仅当即，时等号成立，取得最小值，取得最小值，
故体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角余弦值时其表面积最小.
【知识点】基本不等式；棱锥的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用三棱锥的侧面展开图求解即可；
（2）求出底面三角形内切圆的半径，圆锥的高和母线，利用圆锥的侧面积和体积公式求解即可；
（3）利用表示与，进而可用表示，再利用基本不等式求最值求解即可.
（1）如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值，
由题意可得：，所以，，
由余弦定理得，
则，
所以质点移动路程的最小值为.
（2）设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为，圆锥的母线为，
则，解得：，
，所以，
，
所以圆锥的侧面积为，
圆锥的体积为.
（3）依题意得，为点在底面的投影，点到的距离为，于点，
则，连接，则，
所以，，
因为是等边三角形，所以，，
因为，所以 ，
侧面积为，
所以三棱锥的表面积，
因为，所以，
所以棱锥的体积，
所以，
所以
，
令，则，又，所以
所以
，
当且仅当即，时等号成立，
取得最小值，取得最小值，此时，
所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角余弦值时其表面积最小.
1 / 1浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．（2024高一下·金东期中）已知复数，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2024高一下·金东期中）下列关于向量的描述正确的是（ ）
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线
3．（2024高一下·金东期中）点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．2
4．（2024高一下·金东期中）如图，棱锥的高，截面平行于底面与截面交于点，且.若四边形的面积为36，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16 C．4 D．8
5．（2024高一下·金东期中）已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·金东期中）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（2024高一下·金东期中）由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·金东期中）莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理．该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到3个交点，这样的三个交点可以构成一个等边三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．如图，在等腰直角中，，，是的莫利正三角形，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·金东期中）幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取8位小区居民，他们的幸福指数分别是3，4，5，6，6，7，8，9，则（ ）
A．这组数据的极差是6 B．这组数据的平均数是5
C．这组数据的第70%分位数是7 D．这组数据的方差是3.5
10．（2024高一下·金东期中）在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若则是等腰三角形
B．若，则为锐角三角形
C．若，则一定是等边三角形
D．若，则一定是等腰三角形
11．（2024高一下·金东期中）已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．⊥平面
C．在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离为3
D．圆锥内切球的表面积为
12．（2024高一下·金东期中）圆柱的底面积为，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积为 ．
13．（2024高一下·金东期中）若数据的方差为3，则的方差为 ．
14．（2024高一下·金东期中）在中，，，则的最大值为 .
15．（2024高一下·金东期中）实数分别取什么数值时，复数
（1）为纯虚数；
（2）对应点在第四象限．
16．（2024高一下·金东期中）已知，．
（1）若，求的坐标：
（2）若与的夹角为120°，求在向量上的投影向量的模．
17．（2024高一下·金东期中）在四棱锥中，底面，为等腰梯形，，，.
（1）求证；
（2）求二面角的余弦值.
18．（2024高一下·金东期中）某学校1000名学生参加信息技术学分认定考试，用按性别比例分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生的成绩，记录他们的分数，并将数据分成8组：，，整理得到如下频率分布直方图：
（1）求图中的值，并估计全校学生中成绩不低于70分的学生人数；
（2）已知样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，且样本中分数不低于70的男生与女生人数之比为，求总体中男生人数和女生人数之比；
（3）估计该校1000名学生成绩的平均值．
19．（2024高一下·金东期中）已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至画到出发点，求质点移动路程的最小值：
（2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积；
（3）若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，连接得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：易得复数，所以.
故答案为：C
【分析】利用复数的乘法运算及复数模的计算得解.
2．【答案】B
【知识点】单位向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】A、单位向量的长度相同均为，方向不确定，故A错误；
B、单位向量的长度相同均为，则，故B正确；
C、任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故C错误；
D、单位向量的模为，若共起点，则终点在半径为的圆周上，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据单位向量的定义，即可判断ABD；利用共线向量的定义即可判断C.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解： 点在的内部，因为，
所以，即，
由奔驰定理可得：，则.
故答案为：C.
【分析】由题意，结合向量的线性运算求得，再根据奔驰定理求解即可.
4．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：棱锥中，截面平行于底面，
则四边形与四边形相似，且，
故四边形的面积为．
故答案为：C.
【分析】由题意，易知四边形与四边形相似，利用相似求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平行公理；异面直线的判定
【解析】【解答】解：A、因为、分别为、的中点，所以，又因为，所以，故A错误；
B、面，面，，则与是异面直线，故B正确；
C、因为，所以四点共面，故C错误；
D、因为，所以与共面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据异面直线的定义逐项分析判断即可.
6．【答案】A
【知识点】等可能事件；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个，抽到的可能性为；
第二次抽到的可能性为，则某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是.
故答案为：A.
【分析】根据简单随机抽样的等可能性判断即可.
7．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：过点作'轴，交'轴于点，如图所示：
在中，，则，，
由正弦定理，可得，
由斜二测画法可知，原平面图形中，顶点到轴的距离为.
故答案为：D.
【分析】过点作'轴，交'轴于点，在中，利用正弦定理求得，再根据斜二测画法求原平面图形中，顶点到轴的距离即可.
8．【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在等腰直角中，， ，则，
由题意可得：在中，，，，
由正弦定理可得，
同理可得，，，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，易得，再在中，利用正弦定理得，同理求得，最后求即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、极差为，故A正确；
B、平均数为，故B错误；
C、，则这组数据的第分位数为第6个数7，故C正确；
D、方差为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据极差、平均数、百分位数、方差计算公式求解即可.
10．【答案】A,C
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：A、若，由根正弦定理可得
即，则，即，则是等腰三角形，故A正确；
B、若，由正弦定理可得，则，
即为锐角，但两角无法判断，故B错误；
C、若，由正弦定理可得，
即，即，即是等边三角形，故C正确；
D、若，由正弦定理可得，
则，即或，即或，
则是等腰三角形或直角三角形，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式及三角形内角和即可判断A；利用正弦定理得到，结合余弦定理即可判断B；利用正弦定理换边为角，结合等边三角形的判定即可判断C；利用正弦定理结合正弦的二倍角公式化简即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；余弦定理
【解析】【解答】解：A、由题意，可得，，
因为，所以，则，故A正确；
B、易知MO⊥平面ABC，因为平面ABC，所以MO⊥BC，
又因为AO⊥BC，，平面MOA，所以BC⊥平面AMO，
又因为平面AMO，所以AM⊥BC，由，可得，
由勾股定理得：，则，
故，同理可得：，
因为，所以BM⊥AM，又因为平面MBC，且，
则⊥平面，故B正确；
C、将圆锥的侧面展开，如图所示：
设中点为Q，连接AQ，因为，所以，即为点A到中点的最短距离，易知底面周长为，则，，
若，由，
由余弦定理得：，
因为，所以在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离不为3，故C错误；
D、由对称性可知，圆锥内切球球心在OP上，如图所示：
设内切球球心为T，设内切球半径为，
TU=R，，则，
其中，故，
在中，由勾股定理得：，即，
解得，则圆锥内切球的表面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，证明，即可得平行关系判断A；作出辅助线，得到BM⊥AM，AM⊥BC，根据线面垂直的判定定理证明即可判断B；将侧面展开，设中点为Q，连接AQ，则为点A到中点的最短距离，求出，假设，由余弦定理求出点A到中点的最短距离为3即可判断C；画出图形，找到内切球球心，求出半径，求得内切球表面积即可判断D.
12．【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
13．【答案】12
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： 数据的方差为3
根据方差的性质可得：数据的方差为.
故答案为：12.
【分析】根据方差的性质直接求值即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
在中，，，
则，
，，
，
当，即时，取最大值，最大值为，
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算以及辅助角公式，结合平面向量的数量积、正弦函数的性质求最值即可.
15．【答案】（1）解：因为为纯虚数，所以，解得；
（2）解：因为复数对应的点在第四象限，所以，即，解得，
则实数的取值范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据复数为纯虚数列方程组求解即可；
（2）根据对应点位于第四象限列不等式组求解即可.
（1）为纯虚数，，即，解得：.
（2）对应的点在第四象限，，即，解得：，
的取值范围为.
16．【答案】（1）解：设，因为，，所以，解得或，
则)或；
（2）解：由，可得，因为与的夹角为120°，所以，
则在向量上的投影向量的模为．
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）设，根据向量平行的坐标关系以及向量的模长公式列方程求解即可；
（2）根据平面向量数量积的定义求，再利用向量的数量积的几何意义确定投影向量的模公式即可.
（1）设，则解得或
∴)或，
（2）∵，，与的夹角为120°，．，
∴在向量上的投影向量的模为
．
17．【答案】（1）证明：在中，，
由余弦定理可得，
即，即，因为平面平面，
所以，又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：取中点，连接、，如图所示：
由（1）知，，由，可得，又，
于是，且，
因此是二面角的平面角，由（1）知平面，而平面，
则，，
故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理的逆定理证明，再利用线面垂直的性质、判定证明即可；
（2）取中点，找到二面角的平面角，再在直角三角形中求解即可.
（1）在中，，则，
即，因此，又平面平面，
则，而，平面，于是平面，又平面，
所以.
（2）取中点，连接、，如图，
由（1）知，，而，则，又，
于是，且，
因此是二面角的平面角，由（1）知平面，而平面，
因此，，
所以二面角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：由频率分布直方图中每个小矩形的面积之和为1，
可得，解得；
样本中成绩不低于70分的频率为，
则全校学生中成绩不低于70分的学生人数为；
（2）解：由题意可知，样本中分数不低于70的学生人数为，则样本中分数不低于70的男生人数为，
因为样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，所以样本中全部男生人数为60，女生人数为，
所以样本中男生人数与女生人数之比为，即总体中男生和女生人数之比为；
（3）解：估计该校1000名学生成绩的平均值为
．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中每个矩形额面积之和为1列式求得的值，再求出样本中成绩不低于70分的频率，即可得全校学生中成绩不低于70分的学生人数；
（2）分别求出样本中男生人数与女生人数即可求总体中男生人数和女生人数之比；
（3）利用频率分布直方图中求平均值的公式即可求解.
（1）．解得．
样本中成绩不低于70分的频率为．
估计全校学生中成绩不低于70分的学生人数为．
（2）由题意可知，样本中分数不低于70的学生人数为．
所以样本中分数不低于70的男生人数为．
又因为样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，
所以样本中全部男生人数为60，女生人数为．
所以样本中男生人数与女生人数之比为．
从而，总体中男生和女生人数之比为．
（3）估计该校1000名学生成绩的平均值为
．
19．【答案】（1）解：沿侧棱将三棱锥的侧面展开，如图所示：
则即为质点移动路程的最小值，
由题意，可得，则，，
由余弦定理可得，解得，
则质点移动路程的最小值为；
（2）解：设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为，圆锥的母线为，
则，解得，
，故，，
则圆锥的侧面积为，
故圆锥的体积为；
（3）解：易知为点在底面的投影，点到的距离为，于点，
则，连接，如图所示：
则，，，
因为是等边三角形，所以，，
又因为，所以 ，侧面积为，
所以三棱锥的表面积，
因为，所以，
所以棱锥的体积，所以，
则
，
令，则，又因为，所以
则
，
当且仅当即，时等号成立，取得最小值，取得最小值，
故体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角余弦值时其表面积最小.
【知识点】基本不等式；棱锥的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用三棱锥的侧面展开图求解即可；
（2）求出底面三角形内切圆的半径，圆锥的高和母线，利用圆锥的侧面积和体积公式求解即可；
（3）利用表示与，进而可用表示，再利用基本不等式求最值求解即可.
（1）如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值，
由题意可得：，所以，，
由余弦定理得，
则，
所以质点移动路程的最小值为.
（2）设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为，圆锥的母线为，
则，解得：，
，所以，
，
所以圆锥的侧面积为，
圆锥的体积为.
（3）依题意得，为点在底面的投影，点到的距离为，于点，
则，连接，则，
所以，，
因为是等边三角形，所以，，
因为，所以 ，
侧面积为，
所以三棱锥的表面积，
因为，所以，
所以棱锥的体积，
所以，
所以
，
令，则，又，所以
所以
，
当且仅当即，时等号成立，
取得最小值，取得最小值，此时，
所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角余弦值时其表面积最小.
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