贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年高三上学期九校联考（开学考）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1．（2024高三上·黔东南开学考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，得出或，
则，而，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用交集的运算法则得出集合A和集合B的交集.
2．（2024高三上·黔东南开学考） 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】 解：因为z=(-2+i)(2+2i)=-6-2i，
所以z在复平面内对应的点的坐标为(-6，-2)，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】 直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z的坐标即可求解.
3．（2024高三上·黔东南开学考） 若直线与圆只有一个公共点，则（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为直线与圆只有一个公共点，
所以圆心（0，1）到直线l的距离，
解得k=0，
故答案为：C.
【分析】直接利用点到直线的距离公式即可求解.
4．（2024高三上·黔东南开学考）有一组样本数据都在区间内，将其制成如图所示的频率分布直方图，估计该组样本数据的平均数为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A．10 B．10.68 C．10.58 D．12
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图得：从左到右各小矩形面积依次为，
所以，该组样本数据的平均数为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和频率分布直方图估计平均数的方法，从而估计出该组样本数据的平均数.
5．（2024高三上·黔东南开学考）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：向量，
由，得，
变形得，又因为，
则，因此，又因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据给定条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及角的取值范围，从而由三角函数值在各象限的符号和同角三角函数基本关系式，进而得出的值.
6．（2024高三上·黔东南开学考） 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为在R上单调递减，
所以当时，单调递减，
当x<0时，单调递减，
且满足，解得.
故答案为：.
【分析】直接利用分段函数的单调性即可求解.
7．（2024高三上·黔东南开学考） 大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（ ）
A．100 B．900 C．1200 D．8100
【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示；一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】 解：由题意可得，解得，
所以.
令，解得O=8100.
故答案为：D.
【分析】根据所给的条件求出k的值，再将v=2求出O的值.
8．（2024高三上·黔东南开学考）现准备给一半径为的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下该球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为的圆，则制成的包装盒的容积最小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：要使制成的包装盒的容积最小，则该球体玩具与包装盒的上下底面及侧面都相切，
作该圆台型包装盒的轴截面得等腰梯形，截内切球得该梯形的内切圆，如图所示，
其中点分别是上下底面圆圆心，作于，连接，
则，，显然，
又因为，则，解得，
所以该包装盒的容积最小值为.
故答案为：D.
【分析】根据给定条件和线线平行的性质、等腰梯形的结构特征、勾股定理求出球为圆台的内切球时的圆台上底面圆半径，再利用圆台的体积公式计算得出制成的包装盒的容积的最小值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高三上·黔东南开学考） 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，，
所以令m=2，可得，
所以是周期为2的数列，
所以，不一定为1，
故A选项正确，B选项错误；
因为，不妨设，
即有，解得，
即，故C选项正确；
因为，不妨设，
即有，解得，
即，故C选项正确；
故答案为：ACD.
【分析】直接对m赋值，可知 数列 为周期数列，在对各项分析即可求解此题.
10．（2024高三上·黔东南开学考） 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称
C．的最小正周期是
D．在上有最大值，且最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】 解：因为，解得，
所以f(x)的定义域为，
令，
则，
令函数，
当时，，且函数在上单调递增，在上单调递减.
所以f(x) 的图象不关于直线对称， 所以A错误；
f(x)在上有最大值，且最大值为，所以D正确；
，
，
所以f(x)的图象关于点(，0)中心对称，所以B正确；
由对称性可得f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)在上不具有周期性，
又因为，
所以f(x)的最小正周期为，所以C正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据函数的解析式，可求出函数的定义域，再令，设的解析式，即可求解.
11．（2024高三上·黔东南开学考） 已知为坐标原点，为抛物线上两点，为的焦点，若到准线的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则周长的最小值为
B．若直线过点，则直线的斜率之积为
C．若，则的取值范围是
D．若的外接圆与准线相切，则该外接圆的面积为
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 解：因为F到准线的距离为2，
所以p=2，所以抛物线方程为.
根据题意，F(0，1)，准线l：y=-1，
对于A，过P作PP'垂直于准线l于点P'，则IPF|=|PP'∣，
所以周长为，
当且仅当M，P，P'三点共线时，取等号，故A错误；
对于B，设直线PQ的方程为y=kx+1，，，
联立消去y整理得，
所以，，，，
所以，故B正确；
对于C，若N(0，-1)，则，
令，，
所以，故C正确；
对于D，若的外接圆与准线l相切，设的外接圆的圆心为D，则IDF|=|DO|，
所以圆心D的纵坐标，则其半径，
所以该外接圆的面积为，故D正确.
故答案为BCD.
【分析】 直接利用抛物的定义求出抛物线的方程，即可判断A；设直线PQ的方程为y=kx+1，与抛物线方程，再利用韦达定理和斜率公式可判断B；利用两点间的距离公式和基本不等式求出的取值范围，可判断C；根据的外接圆与准线l相切，求出该圆心的纵坐标，即可求出其半径，进而求出面积，可判断D.
三、搷空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高三上·黔东南开学考） 甲、乙等7名同学随机站成一排，则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有 种．
【答案】1200
【知识点】分类加法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【解答】 解：根据题意，分2步进行分析：
(1)将除甲乙之外的5人全排列，有种情况，
(2)将甲乙看成一个整体，安排五人的空位中，
若安排在中间的空位中， 有种情况，
若安排在两端， 有2种情况，
则甲乙共有2+8=10种安排方法，
故有120x10=1200种不同的排列方式.
故答案为：1200.
【分析】 直接利用分步计数原理和排列即可求解.
13．（2024高三上·黔东南开学考） 已知双曲线的右支上有一点，点关于坐标原点对称的点为为双曲线的左焦点，且满足，当时，双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；双曲线的简单性质；辅助角公式
【解析】【解答】解： 设双曲线的右焦点为，连接，，
由双曲线的对称性可知四边形为矩形，且，
所以，
，
由双曲线的定义知，，而，
所以双曲线的离心率为
，
故答案为：.
【分析】由题意设双曲线的右焦点为，根据双曲线的对称性可知四边形为矩形，且， 结合双曲线的离心率与三角恒等变换计算， 即可求解.
14．（2024高三上·黔东南开学考）如图，在三棱锥中，平面平面为棱上靠近点的三等分点，且为的角平分线，则二面角的平面角的正切值的最小值为 ．
【答案】
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，如图所示，
由平面平面，平面平面，平面，
则平面，而平面，于是，，
又因为平面，因此平面，而平面，
则，为二面角的平面角，
在中，，则，
则，
在中，，
则，
在平面内，过点作交直线于点，如图所示，
则点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，
显然，
又因为，因此，
又因为，则∽，
于是，又因为，
则，解得，
当直线与圆相切时，则最大，最小，
，
所以，二面角的平面角的正切值的最小值为.
故填：.
【分析】根据给定条件和面面垂直的性质定理得出线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而由二面角的定义得出二面角的平面角，再借助余弦定理和三角函数的定义得出，在平面内，利用圆的性质和相似三角形对应边成比例、直线与圆相切的位置关系求出最大时的的最小值，从而得出二面角的平面角的正切值的最小值 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高三上·黔东南开学考） 在中，内角的对边分别是，已知．
（1）求；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：在中，由，得，
由正弦定理得，
则，而，因此，又，
所以.
（2）解：由（1）及余弦定理得：，即，
解得或，当时，，
当时，，
所以的面积为或.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理将边化为角，再结合正弦的和角公式即可求解；
（2）利用余弦定理可得c的边的大小，进而可得三角形的面积的值.
16．（2024高三上·黔东南开学考） 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且为正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且垂直于的直线与椭圆交于两点，求的面积．
【答案】（1）解：依题意，，由为正三角形，得半焦距，因此，
所以椭圆的方程为.
（2）解：已知如图所示：
令直线与直线交于点，依题意，垂直平分线段，则，
直线的斜率为，方程为，即，设，
由消去y得：，则，
因此，
所以的面积.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)直接根据椭圆的定义及正三角形的性质易得a，b，c的值，从而可得椭圆C的方程；
(2)根据已知条件求出直线DE的方程，将其与椭圆方程联立， 可得根与系数的关系， 利用弦长公式可得，利用点到直线的距离公式可得点A到直线DE的距离，利用面积公式即可得解.
17．（2024高三上·黔东南开学考）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，．
（1）证明：平面平面．
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为四边形是菱形，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，因为平面，
所以，平面平面
（2）解：过点作，垂足为，在中，，
所以，因为，
所以，设，
以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，令，得
设二面角的大小为，易得为锐角，
则，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据给定条件和菱形的性质得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再结合线面垂直证出面面垂直.
（2）利用已知条件和余弦定理和三角形的面积公式、勾股定理，则以直线分别为轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量和平面的法向量，再由数量积求夹角公式和角的取值范围，进而得出二面角的余弦值.
（1）因为四边形是菱形，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
因为平面，平面平面
（2）过点作，垂足为，
在中，，
所以，因为，
所以，设，
以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，令，得
设二面角的大小为，易得为锐角，
则，所以二面角的余弦值为.
18．（2024高三上·黔东南开学考）某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
（2）记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列．
（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
【答案】（1）解：设表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则表示第一天中午选择苹果百合汤.
根据题意得，
（2）解：设表示第天中午选择冰糖雪梨汤，则，
根据题意得，
由全概率公式得
，即，
不妨设，即，
所以，解得，
则，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（3）解：由（2）得，.
由题意，只需，即，
则，即.
显然必为奇数，偶数不成立.
当时，有.
当时，显然成立.
当时，，所以当时不成立.
因为单调递减，所以也不成立.
综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.
【知识点】数列与不等式的综合；全概率公式；数列的通项公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则表示第一天中午选择苹果百合汤，利用条件概率公式计算即可；
（2）设表示第天中午选择冰糖雪梨汤，则，利用全概率公式列式，再利用构造法证明即可；
（3）由（2）求出数列的通项公式，再分奇偶解不等式求解即可.
19．（2024高三上·黔东南开学考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：．
【答案】（1）解：，则，
当时，，函数在R上单调递增；
当时，令，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：因为方程有两个不等的根，且，
由（1）知，，
令，
则
，
所以函数在上单调递增，
所以
，
又在上单调递增，
所以，又，
所以，所以，
又，所以.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）直接求导，然后对a分情况讨论即可求解；
（2）根据方程有两个不等的根，且，然后令，求导即可证明.
1 / 1贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年高三上学期九校联考（开学考）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1．（2024高三上·黔东南开学考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·黔东南开学考） 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高三上·黔东南开学考） 若直线与圆只有一个公共点，则（ ）
A． B．1 C．0 D．2
4．（2024高三上·黔东南开学考）有一组样本数据都在区间内，将其制成如图所示的频率分布直方图，估计该组样本数据的平均数为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A．10 B．10.68 C．10.58 D．12
5．（2024高三上·黔东南开学考）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·黔东南开学考） 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·黔东南开学考） 大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（ ）
A．100 B．900 C．1200 D．8100
8．（2024高三上·黔东南开学考）现准备给一半径为的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下该球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为的圆，则制成的包装盒的容积最小为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高三上·黔东南开学考） 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．（2024高三上·黔东南开学考） 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称
C．的最小正周期是
D．在上有最大值，且最大值为
11．（2024高三上·黔东南开学考） 已知为坐标原点，为抛物线上两点，为的焦点，若到准线的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则周长的最小值为
B．若直线过点，则直线的斜率之积为
C．若，则的取值范围是
D．若的外接圆与准线相切，则该外接圆的面积为
三、搷空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高三上·黔东南开学考） 甲、乙等7名同学随机站成一排，则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有 种．
13．（2024高三上·黔东南开学考） 已知双曲线的右支上有一点，点关于坐标原点对称的点为为双曲线的左焦点，且满足，当时，双曲线的离心率为 ．
14．（2024高三上·黔东南开学考）如图，在三棱锥中，平面平面为棱上靠近点的三等分点，且为的角平分线，则二面角的平面角的正切值的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高三上·黔东南开学考） 在中，内角的对边分别是，已知．
（1）求；
（2）若，求的面积．
16．（2024高三上·黔东南开学考） 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且为正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且垂直于的直线与椭圆交于两点，求的面积．
17．（2024高三上·黔东南开学考）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，．
（1）证明：平面平面．
（2）求二面角的余弦值．
18．（2024高三上·黔东南开学考）某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
（2）记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列．
（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
19．（2024高三上·黔东南开学考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，得出或，
则，而，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用交集的运算法则得出集合A和集合B的交集.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】 解：因为z=(-2+i)(2+2i)=-6-2i，
所以z在复平面内对应的点的坐标为(-6，-2)，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】 直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z的坐标即可求解.
3．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为直线与圆只有一个公共点，
所以圆心（0，1）到直线l的距离，
解得k=0，
故答案为：C.
【分析】直接利用点到直线的距离公式即可求解.
4．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图得：从左到右各小矩形面积依次为，
所以，该组样本数据的平均数为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和频率分布直方图估计平均数的方法，从而估计出该组样本数据的平均数.
5．【答案】D
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：向量，
由，得，
变形得，又因为，
则，因此，又因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据给定条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及角的取值范围，从而由三角函数值在各象限的符号和同角三角函数基本关系式，进而得出的值.
6．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为在R上单调递减，
所以当时，单调递减，
当x<0时，单调递减，
且满足，解得.
故答案为：.
【分析】直接利用分段函数的单调性即可求解.
7．【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示；一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】 解：由题意可得，解得，
所以.
令，解得O=8100.
故答案为：D.
【分析】根据所给的条件求出k的值，再将v=2求出O的值.
8．【答案】D
【知识点】球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：要使制成的包装盒的容积最小，则该球体玩具与包装盒的上下底面及侧面都相切，
作该圆台型包装盒的轴截面得等腰梯形，截内切球得该梯形的内切圆，如图所示，
其中点分别是上下底面圆圆心，作于，连接，
则，，显然，
又因为，则，解得，
所以该包装盒的容积最小值为.
故答案为：D.
【分析】根据给定条件和线线平行的性质、等腰梯形的结构特征、勾股定理求出球为圆台的内切球时的圆台上底面圆半径，再利用圆台的体积公式计算得出制成的包装盒的容积的最小值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，，
所以令m=2，可得，
所以是周期为2的数列，
所以，不一定为1，
故A选项正确，B选项错误；
因为，不妨设，
即有，解得，
即，故C选项正确；
因为，不妨设，
即有，解得，
即，故C选项正确；
故答案为：ACD.
【分析】直接对m赋值，可知 数列 为周期数列，在对各项分析即可求解此题.
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】 解：因为，解得，
所以f(x)的定义域为，
令，
则，
令函数，
当时，，且函数在上单调递增，在上单调递减.
所以f(x) 的图象不关于直线对称， 所以A错误；
f(x)在上有最大值，且最大值为，所以D正确；
，
，
所以f(x)的图象关于点(，0)中心对称，所以B正确；
由对称性可得f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)在上不具有周期性，
又因为，
所以f(x)的最小正周期为，所以C正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据函数的解析式，可求出函数的定义域，再令，设的解析式，即可求解.
11．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】 解：因为F到准线的距离为2，
所以p=2，所以抛物线方程为.
根据题意，F(0，1)，准线l：y=-1，
对于A，过P作PP'垂直于准线l于点P'，则IPF|=|PP'∣，
所以周长为，
当且仅当M，P，P'三点共线时，取等号，故A错误；
对于B，设直线PQ的方程为y=kx+1，，，
联立消去y整理得，
所以，，，，
所以，故B正确；
对于C，若N(0，-1)，则，
令，，
所以，故C正确；
对于D，若的外接圆与准线l相切，设的外接圆的圆心为D，则IDF|=|DO|，
所以圆心D的纵坐标，则其半径，
所以该外接圆的面积为，故D正确.
故答案为BCD.
【分析】 直接利用抛物的定义求出抛物线的方程，即可判断A；设直线PQ的方程为y=kx+1，与抛物线方程，再利用韦达定理和斜率公式可判断B；利用两点间的距离公式和基本不等式求出的取值范围，可判断C；根据的外接圆与准线l相切，求出该圆心的纵坐标，即可求出其半径，进而求出面积，可判断D.
12．【答案】1200
【知识点】分类加法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【解答】 解：根据题意，分2步进行分析：
(1)将除甲乙之外的5人全排列，有种情况，
(2)将甲乙看成一个整体，安排五人的空位中，
若安排在中间的空位中， 有种情况，
若安排在两端， 有2种情况，
则甲乙共有2+8=10种安排方法，
故有120x10=1200种不同的排列方式.
故答案为：1200.
【分析】 直接利用分步计数原理和排列即可求解.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；双曲线的简单性质；辅助角公式
【解析】【解答】解： 设双曲线的右焦点为，连接，，
由双曲线的对称性可知四边形为矩形，且，
所以，
，
由双曲线的定义知，，而，
所以双曲线的离心率为
，
故答案为：.
【分析】由题意设双曲线的右焦点为，根据双曲线的对称性可知四边形为矩形，且， 结合双曲线的离心率与三角恒等变换计算， 即可求解.
14．【答案】
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，如图所示，
由平面平面，平面平面，平面，
则平面，而平面，于是，，
又因为平面，因此平面，而平面，
则，为二面角的平面角，
在中，，则，
则，
在中，，
则，
在平面内，过点作交直线于点，如图所示，
则点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，
显然，
又因为，因此，
又因为，则∽，
于是，又因为，
则，解得，
当直线与圆相切时，则最大，最小，
，
所以，二面角的平面角的正切值的最小值为.
故填：.
【分析】根据给定条件和面面垂直的性质定理得出线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而由二面角的定义得出二面角的平面角，再借助余弦定理和三角函数的定义得出，在平面内，利用圆的性质和相似三角形对应边成比例、直线与圆相切的位置关系求出最大时的的最小值，从而得出二面角的平面角的正切值的最小值 .
15．【答案】（1）解：在中，由，得，
由正弦定理得，
则，而，因此，又，
所以.
（2）解：由（1）及余弦定理得：，即，
解得或，当时，，
当时，，
所以的面积为或.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理将边化为角，再结合正弦的和角公式即可求解；
（2）利用余弦定理可得c的边的大小，进而可得三角形的面积的值.
16．【答案】（1）解：依题意，，由为正三角形，得半焦距，因此，
所以椭圆的方程为.
（2）解：已知如图所示：
令直线与直线交于点，依题意，垂直平分线段，则，
直线的斜率为，方程为，即，设，
由消去y得：，则，
因此，
所以的面积.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)直接根据椭圆的定义及正三角形的性质易得a，b，c的值，从而可得椭圆C的方程；
(2)根据已知条件求出直线DE的方程，将其与椭圆方程联立， 可得根与系数的关系， 利用弦长公式可得，利用点到直线的距离公式可得点A到直线DE的距离，利用面积公式即可得解.
17．【答案】（1）证明：因为四边形是菱形，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，因为平面，
所以，平面平面
（2）解：过点作，垂足为，在中，，
所以，因为，
所以，设，
以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，令，得
设二面角的大小为，易得为锐角，
则，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据给定条件和菱形的性质得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再结合线面垂直证出面面垂直.
（2）利用已知条件和余弦定理和三角形的面积公式、勾股定理，则以直线分别为轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量和平面的法向量，再由数量积求夹角公式和角的取值范围，进而得出二面角的余弦值.
（1）因为四边形是菱形，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
因为平面，平面平面
（2）过点作，垂足为，
在中，，
所以，因为，
所以，设，
以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，令，得
设二面角的大小为，易得为锐角，
则，所以二面角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：设表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则表示第一天中午选择苹果百合汤.
根据题意得，
（2）解：设表示第天中午选择冰糖雪梨汤，则，
根据题意得，
由全概率公式得
，即，
不妨设，即，
所以，解得，
则，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（3）解：由（2）得，.
由题意，只需，即，
则，即.
显然必为奇数，偶数不成立.
当时，有.
当时，显然成立.
当时，，所以当时不成立.
因为单调递减，所以也不成立.
综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.
【知识点】数列与不等式的综合；全概率公式；数列的通项公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则表示第一天中午选择苹果百合汤，利用条件概率公式计算即可；
（2）设表示第天中午选择冰糖雪梨汤，则，利用全概率公式列式，再利用构造法证明即可；
（3）由（2）求出数列的通项公式，再分奇偶解不等式求解即可.
19．【答案】（1）解：，则，
当时，，函数在R上单调递增；
当时，令，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：因为方程有两个不等的根，且，
由（1）知，，
令，
则
，
所以函数在上单调递增，
所以
，
又在上单调递增，
所以，又，
所以，所以，
又，所以.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）直接求导，然后对a分情况讨论即可求解；
（2）根据方程有两个不等的根，且，然后令，求导即可证明.
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