浙江省宁波市奉化中学2024-2025学年高一上学期分班考试数学试卷
1．（2024高一上·奉化开学考）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·奉化开学考）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一上·奉化开学考）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
4．（2024高一上·奉化开学考）已知 ，且 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一上·奉化开学考）已知集合，，定义集合
，则中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
6．（2024高一上·奉化开学考）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数 成为狄利克雷函数，则关于 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 是偶函数
C．任意一个非零有理数 ， 对任意 恒成立
D．存在三个点 ，使得 为等边三角形
7．（2024高一上·奉化开学考）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是减函数
8．（2024高一上·奉化开学考），则的最小值为 .
9．（2024高一上·奉化开学考）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒。为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元。每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 。
10．（2024高一上·奉化开学考）已知集合，集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数的单调性.先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性可推出单调递增，再根据二次函数的性质和分界点的大小关系可列出不等式组，解不等式组可求出a的取值范围.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件．
故选：B．
【分析】
根据必要不充分条件的定义即可求解.
3．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意，若不等式在上恒成立，则必须满足，
即，由，
两式相加得出
再由两式相加得出
结合（4），(5)两式可知a=-6，代入不等式组得出解得b=7，
经检验，当a=-6，b=7时，
则在上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对(a，b)为：(-6，7)，共一个。
故答案为：B.
【分析】由题意有通过分析得出a=-6，b=7是满足题意的唯一的解，再结合检验法得出满足要求的有序数对的个数.
4．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式；平均值不等式
【解析】【解答】解：①已知 ， ，且 ，所以 ，则 ，故 错误．②利用分析法：要证 ，只需证明 即可，即 ，由于 ， ，且 ，所以： ， ，故 正确．③ ，故 错误．④由于 ， ，且 ，
利用分析法：要证 成立，只需对关系式进行平方，整理得 ，即 ，故 ，当且仅当 时，等号成立．故 错误．
故答案为：B．
【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用，求出结果，即可得到答案。
5．【答案】C
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；不等式
【解析】 【解答】由题意知，，，所以由新定义集合可知，或.当，，，所以此时中元素的个数有；个；当时，，，这种情形下和第一种情况下除的值取或外均相同，既此时有，由分类计数原理知，中元素的个数为个，故应选C.
【分析】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.
6．【答案】A,B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】 ， 正确；
，偶函数， 正确；
， 正确；
易知 三点构成等边三角形， 正确；
故答案为：ABCD
【分析】依次判断每个选项： ，故 ；判断 ，为偶函数；判断 ；取 为等边三角形，得到答案.
7．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】因为，
令，，可得，
又因为，则，即，
令，，可得，
即，
且，，可得，即，故A正确；
令，则有，
即，可知函数是奇函数，
可得，可知函数是减函数，
对，令，有，
故B正确、C错误、D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意利用赋值法，令，可得，令，可得，即可判断A；令，可得，进而可得，结合函数性质分析判断BCD.
8．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】，则，即，
设，则，
，其中是辅助角，且，
当时，原式取得最小值为.
故答案为：.
【分析】
将转化为，设，利用二倍角公式、两角和差正弦公式进行三角恒等变换化简，结合三角函数性质即可求解.
9．【答案】130；15
【知识点】函数的值
【解析】 【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，
140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；
②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，
根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，
故实际付款（120-x）元，此时李明得到 ，
故 ，解得 ；
故最大值为15.
故答案为①130；②15.
【分析】①根据已知，直接计算即可；
②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.
10．【答案】解：（1）由题可知，当时，则，
或，
则，
所以.
（2）由题可知，是的必要不充分条件，则，
当时，，解得：；
当时，或，
解得：或；
综上所得：或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）将 代入求出集合A、B，根据并集、补集定义即可求解.
（2）根据若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；利用子集定义讨论当、时，分别列出方程或方程组，解出即可.
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1．（2024高一上·奉化开学考）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数的单调性.先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性可推出单调递增，再根据二次函数的性质和分界点的大小关系可列出不等式组，解不等式组可求出a的取值范围.
2．（2024高一上·奉化开学考）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件．
故选：B．
【分析】
根据必要不充分条件的定义即可求解.
3．（2024高一上·奉化开学考）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意，若不等式在上恒成立，则必须满足，
即，由，
两式相加得出
再由两式相加得出
结合（4），(5)两式可知a=-6，代入不等式组得出解得b=7，
经检验，当a=-6，b=7时，
则在上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对(a，b)为：(-6，7)，共一个。
故答案为：B.
【分析】由题意有通过分析得出a=-6，b=7是满足题意的唯一的解，再结合检验法得出满足要求的有序数对的个数.
4．（2024高一上·奉化开学考）已知 ，且 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式；平均值不等式
【解析】【解答】解：①已知 ， ，且 ，所以 ，则 ，故 错误．②利用分析法：要证 ，只需证明 即可，即 ，由于 ， ，且 ，所以： ， ，故 正确．③ ，故 错误．④由于 ， ，且 ，
利用分析法：要证 成立，只需对关系式进行平方，整理得 ，即 ，故 ，当且仅当 时，等号成立．故 错误．
故答案为：B．
【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用，求出结果，即可得到答案。
5．（2024高一上·奉化开学考）已知集合，，定义集合
，则中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；不等式
【解析】 【解答】由题意知，，，所以由新定义集合可知，或.当，，，所以此时中元素的个数有；个；当时，，，这种情形下和第一种情况下除的值取或外均相同，既此时有，由分类计数原理知，中元素的个数为个，故应选C.
【分析】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.
6．（2024高一上·奉化开学考）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数 成为狄利克雷函数，则关于 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 是偶函数
C．任意一个非零有理数 ， 对任意 恒成立
D．存在三个点 ，使得 为等边三角形
【答案】A,B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】 ， 正确；
，偶函数， 正确；
， 正确；
易知 三点构成等边三角形， 正确；
故答案为：ABCD
【分析】依次判断每个选项： ，故 ；判断 ，为偶函数；判断 ；取 为等边三角形，得到答案.
7．（2024高一上·奉化开学考）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是减函数
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】因为，
令，，可得，
又因为，则，即，
令，，可得，
即，
且，，可得，即，故A正确；
令，则有，
即，可知函数是奇函数，
可得，可知函数是减函数，
对，令，有，
故B正确、C错误、D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意利用赋值法，令，可得，令，可得，即可判断A；令，可得，进而可得，结合函数性质分析判断BCD.
8．（2024高一上·奉化开学考），则的最小值为 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】，则，即，
设，则，
，其中是辅助角，且，
当时，原式取得最小值为.
故答案为：.
【分析】
将转化为，设，利用二倍角公式、两角和差正弦公式进行三角恒等变换化简，结合三角函数性质即可求解.
9．（2024高一上·奉化开学考）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒。为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元。每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 。
【答案】130；15
【知识点】函数的值
【解析】 【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，
140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；
②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，
根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，
故实际付款（120-x）元，此时李明得到 ，
故 ，解得 ；
故最大值为15.
故答案为①130；②15.
【分析】①根据已知，直接计算即可；
②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.
10．（2024高一上·奉化开学考）已知集合，集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）由题可知，当时，则，
或，
则，
所以.
（2）由题可知，是的必要不充分条件，则，
当时，，解得：；
当时，或，
解得：或；
综上所得：或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）将 代入求出集合A、B，根据并集、补集定义即可求解.
（2）根据若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；利用子集定义讨论当、时，分别列出方程或方程组，解出即可.
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