河北省石家庄市无极县石家庄实验中学2024-2025学年高二上学期开学模拟检测数学试题
1．（2024高二上·无极开学考）已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为，，，
所以，所以，
设向量与的夹角为，则，
因为，所以．
故答案为：B.
【分析】
首先根据题意得到，再根据向量夹角公式求解即可.
2．（2024高二上·无极开学考）如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量数乘的运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】
根据平面向量的三角形法则和共线定理即可求解
3．（2024高二上·无极开学考）若复数满足（是虚数单位），则的模长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】
所以，所以
故答案为：D.
【分析】
先化简已知条件求出，再求模长即可.
4．（2024高二上·无极开学考）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当∥平面时，( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】连接交于，连接，
∥平面，平面
平面平面，
∥，
故：①
又∥，为的中点，
②
由①②可得：
故答案为：D.
【分析】
连接交于，连接，因为∥平面，平面，平面平面，可得∥，结合已知条件，即可求解.
5．（2024高二上·无极开学考）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为 ，都是白子的概率是 则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件 ，同为黑子为事件 ，同为白子为事件 ，
则 .
故答案为：C
【分析】利用互斥事件和的概率等于概率的和计算结果.
6．（2024高二上·无极开学考）已知三棱锥的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，，当△与的面积之和最大时，三棱锥的体积为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】
∴当时， 取得最大值，此时，，平面AOB，
。
故答案为：B．
【分析】想表示出，分析判断得当时， 取得最大值，利用等积即可得 三棱锥的体积 .
7．（2024高二上·无极开学考）一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．有放回抽样 C．随机抽样 D．系统抽样
【答案】D
【知识点】系统抽样方法
【解析】【解答】问题题目为留下每个班的第 号同学进行问卷调查，即抽取每个班的 号，所以为系统抽样。
故答案为：
【分析】本题是典型的系统抽样法，先分段，再编号，确定第一个样本编号，最后抽取所有样本。
8．（2024高二上·无极开学考）在中，点在边的延长线上，且.若，则点在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】因为
所以，由向量共线定理可知三点共线.
∵，∴，
∴.
又∵，
∴点在线段上，且不与、点重合.
故答案为：B.
【分析】
根据向量共线定理的推论，求得三点共线；再根据，即可判断点的位置.
9．（2024高二上·无极开学考）在中，已知，，，则角的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理得，得，
因为，且，所以或.
故答案为：A、C.
【分析】
根据正弦定理求出，根据可得或.
10．（2024高二上·无极开学考）如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则（ ）
A．平面平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】对于，由正方体的性质，在、上的射影分别为、，
而，，则，，，
又平面
所以面，平面，所以平面平面，故正确；
对于，因为，平面，
所以点到平面的距离为定值，又的面积不变，
所以三棱锥的体积为定值，故正确；
对于，因为，
所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，
因为是等边三角形，
当与线段的两个端点重合时，直线与所成的角最小为，
当与线段的中点重合时，直线与所成的角最大为，
所以所求角的范围是，故错误；
对于，该正四面体的外接球即为正方体外接球，，
故所求球的表面积为，故正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】根据线面垂直、面面垂直判定证明A正确，根据三棱锥体积公式，判断B正确，
利用 异面直线的夹角定义结合点在线段的位置，判断C错误，根据外接球的表面积公式
判断D正确.
11．（2024高二上·无极开学考）某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中正确的是（ ）
A．精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少
B．精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设精准扶贫及新农村建设前，经济收入为，则精准扶贫及新农村建设后，经济收入为；
对于A，精准扶贫及新农村建设前，种植收入为；精准扶贫及新农村建设后，种植收入为；，精准扶贫及新农村建设后，种植收入增加，A错误；
对于B，精准扶贫及新农村建设前，其他收入为；精准扶贫及新农村建设后，其他收入为；，精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上，B正确；
对于C，精准扶贫及新农村建设前，养殖收入为；精准扶贫及新农村建设后，养殖收入为；，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍，C正确；
对于D，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入之和的占比为，超过了总收入的一半，D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】
设精准扶贫及新农村建设前和后的经济收入分别为和，根据饼状图依次验证各项收入是否满足选项中的要求，由此可得结论.
12．（2024高二上·无极开学考）设向量，且⊥，则向量的模为
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】向量，
由⊥得=0即
解得x=-3，则
所以|，
故答案为：.
【分析】
由两个向量垂直可得x值，即得到，由向量的模的公式计算即可求解.
13．（2024高二上·无极开学考）下列数据的70%分位数为 ．
20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22.
【答案】28
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】将这12个数据按从左向右，由小到大的顺序排列：
，
因为不是整数，所以第个数是分位数.
故答案为：.
【分析】
根据求百分位数的步骤求解即可得结果.
14．（2024高二上·无极开学考）如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量加法运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】.
故答案为：.
【分析】
根据向量加法法则结合基本不等式，即可求解.
15．（2024高二上·无极开学考）已知向量，满足.
（1）若，求的值；
（2）若的夹角为，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）解：因为，所以或，
当时，，
当，
所以的值为.
（2）解：因为，
所以.
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量平行，分类讨论同向或反向即可求解；
（2）分别求出向量与的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案.
（1）因为，所以或，
当时，，
当，
所以的值为.
（2）因为，
所以.
16．（2024高二上·无极开学考）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶1.5元的价格当天全部处理完.据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数 2 14 34 27 9 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），若该超市在六月份每天的进货量均为450瓶，写出的所有可能值，并估计大于零的概率.
【答案】解：（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于，
由表格数据知，最高气温低于的频率为，
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于，则；
若最高气温位于区间（单位：），
则，
若最高气温低于，则，
所以的所有可能值为1350，525，，
若大于零，则当且仅当最高气温不低于，
由表格数据知，最高气温不低于的频率为，
因此大于零的概率的估计值为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）当且仅当最高气温低于时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表格数据求解即可；
（2）分别讨论最高气温不低于，最高气温位于区间（单位：），最高气温低于的情况，进而求解；基于此，若大于零，则当且仅当最高气温不低于，进而求解即可
17．（2024高二上·无极开学考）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点D是AB的中点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】解：（1）平面，面，．
，，，． 又，
平面，而平面，．
（2）因为侧面是平行四边形，所以
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】
（1）利用线面垂直判定和性质即可证明.
（2）利用，结合棱锥体积公式，计算即可求解.
18．（2024高二上·无极开学考）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，因为，所以.
（2）解：由余弦定理得，所以，即，
当且仅当时，等号成立，所以，
即当为正三角形时，面积最大值为.
（3）解：由正弦定理得
，
其中为锐角，且，所以，
又因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，
所以，即，
故的取值范围为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互化得，再利用余弦定理求解即可；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求得，然后利用面积公式求解即可；
（3）根据正弦定理结合两角和差公式化简得，然后结合锐角三角形性质，根据正弦函数的性质求解范围即可.
（1）因为，
所以由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，因为，所以.
（2）由余弦定理得，所以，即，
当且仅当时，等号成立，所以，
即当为正三角形时，面积最大值为.
（3）由正弦定理得
，
其中为锐角，且，所以，
又因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，
所以，即，
故的取值范围为.
19．（2024高二上·无极开学考）如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？最省材料为多少？
【答案】解：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，
则必须有V圆锥≥V半球，而V半球＝×πr3＝×π×43，
V圆锥＝Sh＝πr2h＝π×42×h，
则有π×42×h≥×π×43，解得h≥8．
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝，
所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料．
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】
将圆锥和球的体积公式代入V圆锥≥V半球，解出h，再利用圆锥侧面积公式计算即可.
1 / 1河北省石家庄市无极县石家庄实验中学2024-2025学年高二上学期开学模拟检测数学试题
1．（2024高二上·无极开学考）已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·无极开学考）如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二上·无极开学考）若复数满足（是虚数单位），则的模长等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·无极开学考）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当∥平面时，( )
A． B． C． D．
5．（2024高二上·无极开学考）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为 ，都是白子的概率是 则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A． B． C． D．1
6．（2024高二上·无极开学考）已知三棱锥的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，，当△与的面积之和最大时，三棱锥的体积为
A． B． C． D．
7．（2024高二上·无极开学考）一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．有放回抽样 C．随机抽样 D．系统抽样
8．（2024高二上·无极开学考）在中，点在边的延长线上，且.若，则点在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
9．（2024高二上·无极开学考）在中，已知，，，则角的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二上·无极开学考）如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则（ ）
A．平面平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
11．（2024高二上·无极开学考）某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中正确的是（ ）
A．精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少
B．精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
12．（2024高二上·无极开学考）设向量，且⊥，则向量的模为
13．（2024高二上·无极开学考）下列数据的70%分位数为 ．
20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22.
14．（2024高二上·无极开学考）如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为 .
15．（2024高二上·无极开学考）已知向量，满足.
（1）若，求的值；
（2）若的夹角为，求与夹角的余弦值.
16．（2024高二上·无极开学考）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶1.5元的价格当天全部处理完.据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
天数 2 14 34 27 9 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），若该超市在六月份每天的进货量均为450瓶，写出的所有可能值，并估计大于零的概率.
17．（2024高二上·无极开学考）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点D是AB的中点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
18．（2024高二上·无极开学考）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围.
19．（2024高二上·无极开学考）如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？最省材料为多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为，，，
所以，所以，
设向量与的夹角为，则，
因为，所以．
故答案为：B.
【分析】
首先根据题意得到，再根据向量夹角公式求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量数乘的运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】
根据平面向量的三角形法则和共线定理即可求解
3．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】
所以，所以
故答案为：D.
【分析】
先化简已知条件求出，再求模长即可.
4．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】连接交于，连接，
∥平面，平面
平面平面，
∥，
故：①
又∥，为的中点，
②
由①②可得：
故答案为：D.
【分析】
连接交于，连接，因为∥平面，平面，平面平面，可得∥，结合已知条件，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件 ，同为黑子为事件 ，同为白子为事件 ，
则 .
故答案为：C
【分析】利用互斥事件和的概率等于概率的和计算结果.
6．【答案】B
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】
∴当时， 取得最大值，此时，，平面AOB，
。
故答案为：B．
【分析】想表示出，分析判断得当时， 取得最大值，利用等积即可得 三棱锥的体积 .
7．【答案】D
【知识点】系统抽样方法
【解析】【解答】问题题目为留下每个班的第 号同学进行问卷调查，即抽取每个班的 号，所以为系统抽样。
故答案为：
【分析】本题是典型的系统抽样法，先分段，再编号，确定第一个样本编号，最后抽取所有样本。
8．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】因为
所以，由向量共线定理可知三点共线.
∵，∴，
∴.
又∵，
∴点在线段上，且不与、点重合.
故答案为：B.
【分析】
根据向量共线定理的推论，求得三点共线；再根据，即可判断点的位置.
9．【答案】A,C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理得，得，
因为，且，所以或.
故答案为：A、C.
【分析】
根据正弦定理求出，根据可得或.
10．【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】对于，由正方体的性质，在、上的射影分别为、，
而，，则，，，
又平面
所以面，平面，所以平面平面，故正确；
对于，因为，平面，
所以点到平面的距离为定值，又的面积不变，
所以三棱锥的体积为定值，故正确；
对于，因为，
所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，
因为是等边三角形，
当与线段的两个端点重合时，直线与所成的角最小为，
当与线段的中点重合时，直线与所成的角最大为，
所以所求角的范围是，故错误；
对于，该正四面体的外接球即为正方体外接球，，
故所求球的表面积为，故正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】根据线面垂直、面面垂直判定证明A正确，根据三棱锥体积公式，判断B正确，
利用 异面直线的夹角定义结合点在线段的位置，判断C错误，根据外接球的表面积公式
判断D正确.
11．【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设精准扶贫及新农村建设前，经济收入为，则精准扶贫及新农村建设后，经济收入为；
对于A，精准扶贫及新农村建设前，种植收入为；精准扶贫及新农村建设后，种植收入为；，精准扶贫及新农村建设后，种植收入增加，A错误；
对于B，精准扶贫及新农村建设前，其他收入为；精准扶贫及新农村建设后，其他收入为；，精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上，B正确；
对于C，精准扶贫及新农村建设前，养殖收入为；精准扶贫及新农村建设后，养殖收入为；，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍，C正确；
对于D，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入之和的占比为，超过了总收入的一半，D正确.
故答案为：B、C、D.
【分析】
设精准扶贫及新农村建设前和后的经济收入分别为和，根据饼状图依次验证各项收入是否满足选项中的要求，由此可得结论.
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】向量，
由⊥得=0即
解得x=-3，则
所以|，
故答案为：.
【分析】
由两个向量垂直可得x值，即得到，由向量的模的公式计算即可求解.
13．【答案】28
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】将这12个数据按从左向右，由小到大的顺序排列：
，
因为不是整数，所以第个数是分位数.
故答案为：.
【分析】
根据求百分位数的步骤求解即可得结果.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量加法运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】.
故答案为：.
【分析】
根据向量加法法则结合基本不等式，即可求解.
15．【答案】（1）解：因为，所以或，
当时，，
当，
所以的值为.
（2）解：因为，
所以.
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量平行，分类讨论同向或反向即可求解；
（2）分别求出向量与的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案.
（1）因为，所以或，
当时，，
当，
所以的值为.
（2）因为，
所以.
16．【答案】解：（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于，
由表格数据知，最高气温低于的频率为，
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于，则；
若最高气温位于区间（单位：），
则，
若最高气温低于，则，
所以的所有可能值为1350，525，，
若大于零，则当且仅当最高气温不低于，
由表格数据知，最高气温不低于的频率为，
因此大于零的概率的估计值为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）当且仅当最高气温低于时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表格数据求解即可；
（2）分别讨论最高气温不低于，最高气温位于区间（单位：），最高气温低于的情况，进而求解；基于此，若大于零，则当且仅当最高气温不低于，进而求解即可
17．【答案】解：（1）平面，面，．
，，，． 又，
平面，而平面，．
（2）因为侧面是平行四边形，所以
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】
（1）利用线面垂直判定和性质即可证明.
（2）利用，结合棱锥体积公式，计算即可求解.
18．【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，因为，所以.
（2）解：由余弦定理得，所以，即，
当且仅当时，等号成立，所以，
即当为正三角形时，面积最大值为.
（3）解：由正弦定理得
，
其中为锐角，且，所以，
又因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，
所以，即，
故的取值范围为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互化得，再利用余弦定理求解即可；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求得，然后利用面积公式求解即可；
（3）根据正弦定理结合两角和差公式化简得，然后结合锐角三角形性质，根据正弦函数的性质求解范围即可.
（1）因为，
所以由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，因为，所以.
（2）由余弦定理得，所以，即，
当且仅当时，等号成立，所以，
即当为正三角形时，面积最大值为.
（3）由正弦定理得
，
其中为锐角，且，所以，
又因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，
所以，即，
故的取值范围为.
19．【答案】解：要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，
则必须有V圆锥≥V半球，而V半球＝×πr3＝×π×43，
V圆锥＝Sh＝πr2h＝π×42×h，
则有π×42×h≥×π×43，解得h≥8．
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝，
所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料．
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】
将圆锥和球的体积公式代入V圆锥≥V半球，解出h，再利用圆锥侧面积公式计算即可.
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