4.6 利用相似三角形测高 同步练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

4.6 利用相似三角形测高
基础题目
1如图①，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b.中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”.其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度.如图②，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点 C，使视线通过“矩”的另一端E,测得BD=8m,AB=1.6m .若“矩”的边EF=a=30cm,边AF=b=60 cm,则树高CD为 ( )
A.4 m B.5. 3m C.5.6 m D.16 m
2.我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何”，它的题意是：如图，AB=DE=5尺,BF=0.4尺,问井深BD是 ( )
A.1.25尺 B.56.5 尺
C.6.25尺 D.57.5尺
3.如图，雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，在他前面2m远处有一块小积水，他看到了旗杆的倒影，若旗杆底端到积水处的距离为40 m，该学生的眼部高度为1.5m，则旗杆的高度是 m.
4.据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图,如果木杆 EF 长2m ,它的影长 FD为3m,测得 OA 为201 m,求金字塔的高度 BO.
5.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度 DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角=反射角).
综合应用题
6.如图,线段 AB,EF,CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上，测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3 m，则楼房的高度是 ( )
A.25 m
B.26.5 m
C.50 m
D.51.5m
7.如图所示,AD,BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在 P 处，小亮站在Q处，小明在路灯 BC下的影长为2m，已知小明身高 1.8 m,路灯 BC 高 9 m.小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯 DA 的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯 BC的正下方.
(1)计算小亮在路灯AD下的影长；
(2)计算路灯 AD 的高.
创新拓展题(
8.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.测量方案与数据如表：
课题 测量学校旗杆的高度
测量工具 皮尺、标杆等
测量方案示意图
说明 A, E, C三点共线, D, F, B三点 共线, CD, EF, AB均垂直于AC
测量数据 标杆EF=2.05 m, 小明的身高CD=1.65 m, CE=1m, AE=21m
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请根据方案及其数据求出学校旗杆的高度AB.
6 利用相似三角形测高
1. C 2. D 3.30
4.【解】∵BA∥ED,
∴∠BAO=∠EDF.
又∵∠AOB=∠DFE=90°,
∴△ABO∽△DEF.
∴BO:EF=OA: FD.
∴BO:2=201;3.
∴BO=134 m.
5.【解】∵∠FEB=∠FED,FE⊥AC,
∴∠BEA=∠DEC.
又∵∠BAE=∠DCE=90°,
∴△BAE∽△DCE.
∵CE=2.5米,DC=1.6米,AE=20米,
∴AB= .25.∴AB=12.8米.
∴大楼AB 的高度为12.8米.
6. B 【点拨】由题意知 BF=AG=1.2m ,BD=AH=20m,AB=FG=DH=1.5m,EF=3m,
∴EG=EF-FG=3-1.5=1.5(m).
易得 EG∥CH,
∴∠AGE=∠AHC,∠AEG=∠ACH.
∴△AEG∽△ACH.
∴CH=25 m.
∴CD=CH+DH=25+1.5=26.5(m).
故选 B.
7.【解】(1)∵EP⊥AB,CB⊥AB,
∴∠EPA=∠CBA=90°.
又∵∠EAP=∠CAB,
∴△EAP∽△CAB.
∴AB=10 m.
∴BQ=10-2-6.5=1.5(m).
故小亮在路灯 AD下的影长为1.5m .
(2)∵FQ⊥AB,DA⊥AB,
∴∠FQB=∠DAB=90°.
又∵∠FBQ=∠DBA,
∴△BFQ∽△BDA.
∴DA=12m.
故路灯 AD的高为12 m.
8.【解】如图,过 D作DM⊥AB于M,交EF于N.
又∵DC⊥AC,FE⊥AC,AB⊥AC,∴EF∥AB,易得四边形CDNE,四边形 AMNE 是矩形.
∴DN=CE=1m,MN=AE=21m,NE=AM=CD=1.65 m.
∴FN=FE-EN=2.05-1.65=0.4(m),DM=DN+MN=1+21=22(m).
∵FN∥BM,
∴∠FND=∠BMD,∠NFD=∠MBD.
∴△DFN∽△DBM.
∴FN: BM=DN: DM. ∴0.4 : BM=1 : 22.
∴MB=8.8 m.
∴AB=AM+MB=8.8+1.65=10.45(m),故学校旗杆的高度AB 是 10.45 m.