专题 6 证明比例 ( 等积) 式的四种常用方法 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

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专题 6 证明比例 ( 等积) 式的四种常用方法
方法1 三点定型法
1.如图所示,在△ABC中,AB⊥AC,D为 BC的中点. DE⊥BC交AC于点F,交BA延长线于点 E.求证:
2.如图,AB∥CD,AD 与BC相交于点 E,∠A=∠CBD.
(1)求证:
(2)若CD=1,BD=2,AB=3,求 DE的长.
方法 2 等线段代换法
3.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD 于点 E,点 P 是边 AD上一点.若PE⊥EC,求证:AE·AB=DE·AP.
4.已知:如图,等腰三角形 ABC中,AB=AC,AD⊥BC 于 D,CG∥AB,BG分别交 AD,AC于 E,F.求证:
方法3 等比代换法
5.如图所示,已知梯形ABCD中,AB∥DC,AC,BD相交于点O,BE∥AD交AC的延长线于点 E.求证:(
6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D，E 是AC的中点，ED交AB的延长线于点 F.求证:
方法 4 等积过渡法
7.如图,AD 是△ABC 的高,DE⊥AB于 E,DF⊥AC于 F.
求证:AE·AB=AF·AC.
8.如图,CE 是 Rt△ABC斜边AB 上的高,在EC的延长线上任取一点 P，连接 AP，过B 作BG⊥AP于 G,交 CE 于 D,求证:( PE·DE.
专题6 证明比例(等积)式的四种常用方法
1.【证明】∵AB⊥AC,D为BC的中点,
∴∠DAC=∠C.
∵AB⊥AC,DE⊥BC,
∴∠C+∠B=90°,∠E+∠B=90°.
∴∠C=∠E.∴∠DAC=∠E.
又∵∠ADE=∠FDA,∴△DAE∽△DFA.
2.(1)【证明】∵AB∥CD,∴∠A=∠ADC.
又∵∠A=∠CBD,∴∠ADC=∠CBD.
又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CBD.
(2)【解】∵AB∥CD,∴∠EAB=∠EDC,∠EBA=∠ECD.∴△CDE∽△BAE,
设 CE=x,则BE=3x,∴BC=4x.
∵CD =BC·CE,∴1=4x·x,解得 (负值已舍去).
∵△CDE∽△CBD,∴DB=≌.
解得DE=1.
3.【证明】∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠ADC=90°,AB=CD.
∵AE⊥BD,PE⊥EC,
∴∠AED=∠PEC=90°.
∴∠AEP=∠DEC.
∵∠EAD+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠EAP=∠EDC.
∴△AEP∽△DEC.
又∵AB=CD,∴AE·AB=DE·AP.
4.【证明】连接CE，如图所示.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠ABC=∠ACB,AD 是 BC 的垂直平分线.
∴BE=CE.
∴∠EBC=∠ECB.
又∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB,
即∠ABE=∠ACE,
又∵CG∥AB,∴∠ABE=∠CGF.
∴∠CGF=∠FCE.
又∵∠FEC=∠CEG,
∴△CEF∽△GEC.
∴CE:EG=EF:CE,
又∵CE=BE,
5.【证明】∵AB∥CD,
∴∠CDO=∠ABO,∠OCD=∠OAB.
∴△AOB∽△COD.
∵BE∥AD,
∴∠ODA=∠OBE,∠OAD=∠OEB.
∴△AOD∽△EOB.
6.【证明】∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在 Rt△ADC中,点 E 是斜边 AC的中点,
又∵∠1=∠2,∴∠C=∠2.
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠BAD=∠C=∠2.
又∵∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD.
∵∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠C,
∴△ABD∽△CAD.
点技巧当所证比例式中的线段所在两个三角形不相似时，需要找到中间比.
7.【证明】∵AD是△ABC的高,DE⊥AB,
∴∠AED=∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠BAD=∠EAD,∴△AED∽△ADB.
同理可得.
∴AE·AB=AF·AC.
8.【证明】如图.∵∠ACB=90°,CE⊥AB,∴∠ACE+∠BCE=90°,∠CEA=∠CEB=90°。
∴∠ACE+∠CAE=90°.
∴∠CAE=∠BCE.
∴Rt△ACE∽Rt△CBE.
∴CE =AE·BE.
∵BG⊥AP,
又∵∠1=∠2,∴∠P=∠3.
又∵∠DEB=∠AEP,
∴△AEP∽△DEB.
∴PE·DE=AE·BE.