4.7 相似三角形的性质 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

4.7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形对应线段的性质
基础题目
1.两个相似三角形对应角平分线的比不等于( )
A.相似比 B.对应高的比
C.对应中线的比 D.对应边平方的比
2.两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应中线之比是 ( )
A.1:1 B.1: 2 C.1: 3 D.1:4
3如图，铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长 16 m.当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高 ( )
A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
4.已知△ABC∽△A'B'C',相似比 ,ADA'D'分别是它们的对应边上的高，AD=6cm，则
5.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是 2cm 和 5cm ，求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3c m，那么较长的中线有多长
6图①是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图②是其示意图，其中物距BF=2 m,像距CE=1 m.若像的高度 CD 是0.9 m,则物体的高度 AB 为 ( )
A.1.2 m B.1.5 m C.1.8 m D.2.4 m
7.如图是一个由边长均为1的小正方形组成的网格,△ABC与△A B C 都是格点三角形(顶点在网格交点处),并且△ABC∽△A B C ,则△ABC与△A B C 的对应高的比是 .
8.已知Rt△ABC∽Rt△A B C 且相似比为3:4,若Rt△ABC的最长边长为12cm,则 Rt△A B C 最长边的中线长为 cm.
9.如图,在四边形 ABCD 中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E为 BC的中点,AE与 BD相交于 F,若 BC=4,∠CBD=30°,则DF 的长为 .
10.问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图①. 已知AD是△ABC的角平分线，可证 小慧的证明思路是：如图②，过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点 E,构造相似三角形来证明
尝试证明：
(1)请参照小慧提供的思路，利用图②证明
应用拓展：
(2)如图③,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,D 是边 BC 上一点,连接AD,将△ACD 沿AD 所在直线折叠，点C恰好落在边 AB 上的E 点处,若AC=1,AB=2,求 DE的长.
创新拓展题d
11.一块直角三角形(∠B=90°)木板的一条直角边 AB 为1.5m ,面积为 1.5 m ,要把它加工成一个正方形桌面，小明打算按图①所示方式进行加工，小华准备按图②所示方式进行加工，他们中谁的加工方案得到的桌面面积大
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相似三角形的周长和面积
基础题目
1.若△ABC 与△DEF 相似，相似比为1 ,则△ABC与△DEF 的长比为 ( )
A.1: 3 B.1 : 9 C.3 : 1
2.如图，小明用放大镜观察一个三角形器材，并在纸上画出该三角形器材的示意图，通过测量发现，示意图的边长与实际器材的边长之比为 3：1，则示意图的面积与实际器材的面积之比为 ( )
A.3:1 B.1: 3 C.9 : 1 D.1: 9
3.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应角平分线，若AD= ,则△ABC 与△A'B'C'的面积比是 ( )
A.2:3 B.4 : 9 C.3 : 2 D.9:4
4.已知△ABC∽△DEF,它们的周长之比为 ，则它们的对应高的比及面积比分别为( )
B :1,2:
5.已知△ABC∽△DEF,S△ABC :S△DEF═1 : 16,△ABC 的周长为 5 cm,则△DEF 的周长为 cm.
6.已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为4:9,则△ABC与△DEF的面积比为 .
7.如图,在△ABC中,点 D,E 分别在边 BA,BC上，且 则△DBE 与四边形ADEC的面积的比为 .
8.已知△ABC的三边长分别为6,8,10,和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30,求△A'B'C'的周长.
综合应用题
9.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A,B,C,E,F五个点均在格点上,AB∥DE,AC∥DF,则△ABC与△DEF的面积比为( )
A.5:3 B.3: 5 C.25:9 D.9:25
10.如图,△ABC∽△ADE,S△ABC : S四边形BDEC =1:3,BC 则DE的长为 ( )
A B.2√2 C.3/2 D.
11.如图,△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上),则△ABC与△DEF 的周长比为 ( )
A.1 B.1 : C.1: 3 D.1:4
12.如图,在平行四边形 ABCD中,E,F 是 BC的三等分点，G是 AD的中点，AF，EG交于点 H,则 ( )
A B C D
13.如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠BAC的大小为θ,点 D 为边 BC上的动点(与 B,C不重合)，将AD绕点 A沿顺时针方向旋转θ时点 D 落在 D'处，连接 BD'.给出下列结论：
①△ACD≌△ABD';
②△ACB∽△ADD';
③当 BD=CD 时,△ADD'的面积取得最小值.
其中正确的结论有 (填结论对应的序号).
14.如图,在四边形 ABCD中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，点 E,F,G,H 分别是在四边形 ABCD 的四边上的动点,但E,F,G,H 不与A,B,C,D重合,且EF∥BD∥GH,FG∥AC∥HE.
(1)若对角线AC=BD=a(定值),求证:四边形EFGH的周长是定值；
(2)若AC=m,BD=n,m,n为定值,但m≠n,则四边形EFGH的周长是定值吗 请指出，并说明理由.
创新拓展题
15.新视用探究题探究:如图,DE∥BC,FG∥AB,MN∥AC,且 DE,FG,MN交于点 P,若设 S,S与 S ,S ,S 之间有什么结论 猜想并加以论证.
第1课时 相似三角形对应线段的性质
1. D 2. B 3. D 4.8
5.【解】∵两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm 和5cm ,
∴两个相似三角形的相似比为 2∶5.
∴两个相似三角形的对应中线的比为2：5.
设较长的中线是x cm，则
解得x=7.5,
∴较长的中线的长为7.5cm.
6. C 7 :1 8.8
【点拨】如图,连接 DE. 在 Rt△BDC 中,BC=4,。∠DBC=30°,∴易得.
∵∠BDC=90°,点 E是 BC的中点,
∴∠BDE=∠DBC.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°.
∴∠ABD=∠BDE.∴DE∥AB.
∴∠BAF=∠DEF.
∴△DEF∽△BAF.
易得
解得
10.(1)【证明】∵CE∥AB,
∴∠E=∠DAB,∠B=∠ECD.
∴△CED∽△BAD.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAB=∠CAD.
又∵∠E=∠DAB,
∴∠E=∠CAD.
∴CE=CA.
(2)【解】∵将△ACD沿AD所在直线折叠,点 C恰好落在边AB 上的E 点处,
∴∠CAD=∠BAD,CD=DE.
由(1)可知
又∵AC=1,AB=2,
∵∠BAC=90°,
11.【解
∴BC=2 m.
小明的方案中：
设正方形 BFED的边长为 xm,
则CD=(2-x)m.
由题意得∠CDE=∠B.
又∵∠C=∠C,
∴△CDE∽△CBA.
即 解得
小华的方案中：
设正方形 DEFG的边长为 ym,由题意知DE∥AC.如图,过点 B作AC 边上的高BH,交 DE于点M,则BM⊥DE.由勾股定理得.
由
得
∵DE∥AC,
∴∠BDE=∠A,∠BED=∠C.
∴△BDE∽△BAC.
即 解得
∵x>y>0,
∴小明的加工方案得到的桌面面积大.
第2课时 相似三角形的周长和面积
1. D 2. C 3. B 4. B 5.20 6.16:81
7.4:21 【点拨】先由 得 又∵∠B=∠B,∴△DBE∽△ABC.进而可得相似比 面积比为 从而可得 4:21.
8.【解】∵△ABC的三边长分别为6,8,10,
∴△ABC的周长为6+8+10=24..
∵和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30,
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为10:30=1:3.
∴△A'B'C'的周长为 72.
9. C 【点拨】∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=∠DEF,∠C=∠DFE.
∴△ABC∽△DEF.
∴△ABC与△DEF的面积比 故选 C.
10. B 【点拨】
∵△ABC∽△ADE,
故选 B.
11. A 【点拨】设正方形的边长为1.
由勾股定理得
∵DF=2,AB=2,
∴△ABC∽△DEF.
故选 A.
12. D 【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠GAH=∠EFH,∠AGH=∠FEH.
∴△FEH∽△AGH,
∵E,F 是BC的三等分点,G是AD 的中点,
即
故选 D.
13. ①②③ 【点拨】由题意可知AC=AB,AD=AD',∠DAD=θ=∠CAB,∴∠CAD=∠BAD'.
∴△ACD≌△ABD',故①正确;
∵AC=AB,AD=AD',
又∵∠BAC=∠D'AD,
∴△ACB∽△ADD',故②正确;
∵△ACB∽△ADD',
∵当AD⊥BC时,AD的值最小,∴此时△ADD'的面积取得最小值.
又∵AB=AC,
∴BD=CD.
∴当BD=CD时,△ADD'的面积取得最小值,故③正确.
14.【解】(1)∵EF∥BD∥GH,FG∥AC∥HE,
∴四边形 EFGH是平行四边形.
∴EH=GF,EF=GH.
设GH为x,GF为y,AH=p,BH=q.
∵GH∥BD,
即
∵HE∥AC,
即
故四边形 EFGH的周长=2(x+y)=2a,是定值.
(2)不是定值.理由:∵AC=m,BD=n,
∵H是AB上的动点,∴B/s是是变量.
又∵m,n为定值.
∴x+y随P/g的变化而变化.
∴x+y不能确定，即四边形 EFGH的周长不是定值.
15. 【解】猜想:
证明:∵MN∥AC,∴∠DMP=∠BAC.
∵DE∥BC,∴∠MDP=∠ABC.
∴△PDM∽△CBA.
∵DE∥BC,FG∥AB,
∴四边形 DPGB 是平行四边形.
∴PD=BG.
同理
由△PDM∽△CBA得
即
同理