4.2 平行线分线段成比例同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

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4.2 平行线分线段成比例
基础题目
1.如图,AD∥BE∥CF,直线l ，l 与这三条平行线分别交于点 A，B，C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
2如图,DE∥BC,在下列比例式中，不能成立的是 ( )
3. 如图是某景区大门部分截面图，已知AD∥BE∥CF,AC=16 m,当DF: DE=4:3时,则AB的长是 ( )
A.10 m B.11 m C.12 m D.13 m
4.如图,若 DE∥AC,DF∥ 则 DF 的长为 ( )
A.2 B.5 C.6 D.15
5.如图,直线l ∥l ∥l ,直线a,b与l ,l ,l 分别交于点A,B,C和点 D,E,F,若AB:BC=1:2,DE=2,则EF的长为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
综合应用题
6.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC=3,BC=1.点 D 在 AB 边上,点 E 在 CB 的延长线上.已知AD=1,BE=1,连接ED并延长交AC于点 F，则线段AF 的长为 ( )
A B C D.1
7.如图,在△ABC中,D 是BC边上的中点,AF: FD=1:2,BF的延长线交 AC于点 E,则AE: CE 的值为 ( )
A B C D
8如图是一架梯子的示意图，其中 ,且 AB=BC=CD，为使其更稳固，在A，D 间加绑一条安全绳(线段 AD ),量得 AE=0.4 m,则
9.在△ABC中,AB=6,AC=9,点 D在边 AB所在的直线上,且 AD=2,过点 D 作 DE∥BC交边AC 所在直线于点 E,则 CE 的长为 .
10.如图,已知AC∥FE∥BD,求证:
11. 如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,动点 P 从点 B出发,以每秒2个单位长度的速度，沿射线 BC方向运动，动点 Q从点 C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动.点P和点Q同时出发，当点 Q到达点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t秒(t>0).
(1)用含 t的代数式表示线段CP 的长；
(2)当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值，
创新拓展题
12.一般地，有如下基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应
线段成比例.
【问题原型】如图①,在矩形 ABCD 中,点 E为边 AB 的中点,过点 E 作 EF ∥AD 交边DC 于点F,点 P,Q分别在矩形的边AD,BC上,连接PQ交EF于点M.求证:PM=QM.【结论应用】在【问题原型】的基础上，点R 在边BC 上(不与点Q重合),连接PR 交EF 于点 N.
(1)如图②,若MN=4,则线段QR 的长为 ;
(2)当点 Q 与点B 重合,点R 与点 C 重合时,如图③,若BC=10,且△PMN周长的最小值为12,则边AB的长为 .
2 平行线分线段成比例
1. C 2. B 3. C 4. C 5. C
6. B 【点拨】取 CF的中点G,连接 BG.
∵BC=1,BE=1,
∴点 B为EC 的中点.
∴BG是△CEF的中位线.
∴BG∥EF.
∴CG=FG=2AF.
∴AC=AF+FG+CG=5AF=3.
7. C 【点拨】如图,过点 D作 DM∥BE,交 AC于点 M.
∵D 是 BC 边上的中点,
∴BD=CD.
∵DM∥BE,
∴CE=EM+CM=2EM.
8.1.2 【点拨】
又∵AE=0.4m ,
9.6或12 【点拨】如图①,当点 D 在边AB 上时,∵AB=6,AC=9,AD=2,∴BD=4.∵DE∥BC,.. BB=≌C,即 解得CE=6;如图②,当点 D 在边 BA 的延长线上时,∵AB=6,AC=9,AD=2,
∴BD=8.∵DE∥BC,
即 解得 CE=12.
综上所述，CE的长为6或12.
10.【证明】∵AC∥EF,
∵FE∥BD,
①+②,得 即
11.【解】(1)∵四边形ABCD为矩形,AB=5,BC=4,∴CD=AB=5,AD=BC=4,AD∥BC.
∵点Q在CD上运动，运动的速度为每秒1个单位长度，
且点 Q到达点D 时停止运动，
∴点Q从点C运动到点D 所用的时间为5÷1=5(秒)，且 CQ=t.
∴0∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，运动时间为l秒(t>0),
∴BP=2t.
①当0②当2(2)当PQ与矩形ABCD 的对角平行时，有以下两种情况：①当 PQ∥BD时,此时点 P 在线段BC 上,如图①,
则0根据平行线分线段成比例定理，得CP：CB=CQ：CD，即(4-2t):4=t:5,解得
②当PQ∥AC时,此时点 P在BC 的延长线上,设 PQ的延长线交AD 于点M，如图②，
则2∵AD∥BC,PQ∥AC,
∴四边形 ACPM为平行四边形.
∴AM=CP=2t-4.
根据平行线分线段成比例定理，得AM：AD=CQ：CD.即(2t-4):4=t:5,解得
综上所述，当PQ与矩形的对角线平行时，t的值 或
12.【问题原型】【证明】∵点E为边AB 的中点,
∴AE=BE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∵EF∥AD,∴AD∥EF∥BC.
∴PM=QM.
【结论应用】(1)8
(2) 【点拨】如图所示
作点 C 关于 AD 的对称点 G，连接PG,BG,∴PG=PC.
∴PB+PC=PB+PG≥BG.
∴当点 P 在BG 上时,PB+PC取得最小值.
又∵PD∥BC,D是CG的中点,∴点 P是BG 的中点.
∴PB=PG=PC,易证P是AD的中点.
即当 P是AD的中点时，△PBC的周长取得最小值.
根据(1)的结论得出 MN 是△PQR 的中位线.
又∵BC=10,且△PMN周长的最小值为12,
易得△PBC 的周长为 24.
∴PB+PC=24-10=14.
∴PB=7.