4.8 图形的位似 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

4.8 图形的位似
位似图形及其性质与画法
基础题目
1.下列说法不正确的是 ( )
A.位似图形一定是相似图形
B.相似图形不一定是位似图形
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
D.位似图形中每对对应点所在的直线必相互平行
2.下列各组的两个图形中，是位似图形的有 ( )
A.2组 B.3组 C.4 组 D.1 组
3.如图,△ABC与△DEF 位似,点O是它们的位似中心,且相似比为 1 ∶2,则△ABC 与△DEF 的周长之比是 ( )
A.1: 2
B.1 :4
C.1: 3
D.1:9
4.图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是 ( )
A.点M B.点 N C.点 O D.点 P
5.如图,△DEF 是 由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心,D,E,F 分别是 OA,OB,OC的中点,则△DEF与△ABC的面积比是 ( )
A.1:2 B.1 : 4 C.1 :5 D.1: 6
6.如图,已知△ABC,任取一点O,连接AO,BO,CO,取它们的中点D,E,F,并顺次连接，得到△DEF.
下列结论：
①△ABC与△DEF是位似图形;
②△ABC与△DEF是相似图形;
③△ABC与△DEF 的周长比为1∶2﹔
④△ABC与△DEF的面积比为4: 1.
其中结论正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如图，以点 P 为位似中心画△ABC的位似图形△DEF,使△ABC 与△DEF 的相似比为1:2,并写出△ABC与△DEF 的面积比和周长比.(在点 P 右侧作图即可)
综合应用题
8.如图,已知△DEO 与△ABO 是位似图形,△OEF 与△OBC 是位似图形.若 OD=3,OF=4,OC=6,则OA的长为 ( )
A.2
B.4.5
C.6
D.8
9若△ABC与△A'B'C'关于点 O位似,其相似比是1:3,AO=5cm ,则对应点A,A'之间的距离是 .
10.如图所示的网格中，△ABC的位似图形是
11.如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似中心为点O,且OD=3OA,若△ABC的面积为3，则阴影部分的面积是 .
12.如图,在8×11的网格图中,△ABC与△A B C 是位似图形.
(1)在网格图中建立平面直角坐标系，使得点 A的坐标为(--1,6),点 C 的坐标为(2,3),写出点 B的坐标；
(2)以点 A为位似中心，在网格图中作△AB C ，使△AB C 和△ABC位似,且相似比为1: 2;
(3)在图上标出△ABC与△A B C 的位似中心P，并写出点 P 的坐标.
创新拓展题
13.如图,正三角形 ABC 的边长为
(1)如图①,正方形 EFPN 的顶点E,F在边AB上，顶点 N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点 A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形 E'F'P'N',且使正方形 E'F'P'N'的面积最大(不要求写作法)；
(2)求(1)中作出的正方形 E'F'P'N'的边长;
(3)如图②，在正三角形 ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH,使得 DE,EF在边AB 上,点 P,N分别在边CB,CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由.
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平面直角坐标系中的位似变换
基础题目
1.如图，线段 AB两个端点的坐标分别为A(2，2)，B(3，1)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段 AB 扩大为原来的2倍后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为 ( )
A.(3,1) B.(3,3)
C.(4,4) D.(4,1)
2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为 1 : 3,点 A,B,E在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为3，则 D点坐标|为 ( )
A. ,1 B. ,1 c. D.
3.如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE,记△AOB 与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )
A.(0,0),2 B.(2,2)
C.(2,2),2 D.(2,2),3
4.如图,△OAB与△OCD 是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1 ﹔ 2，∠OCD=90°,CO=CD.若 B(1,0),则点 C的坐标为 ( )
A.(1,2) B.(1,1)
D.(2,1)
5.如图，以点 D为位似中心，作△ABC的一个位似三角形 A B C ,A,B,C的对应点分别为A ,B ,C ,DA 与 DA 的比值为k,若两个三角形的顶点及点D均在格点上，则k的值和点C 的坐标分别为 ( )
A.2,(2,8) B.4,(2,8)
C.2,(2,4) D.2,(4,4)
6如图，在平面直角坐标系中,已知△ABC与△DEF位似,原点 O是位似中心： 若AB=1.5,则 DE= .
7.如图，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A B C ,点 C 的坐标是 ;
(2)以点 B为位似中心，在网格内画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似,且相似比为2:1,点 C 的坐标是 .
综合应用题
8在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大,得到△A'B'C',若点 A和它对应点 A'的坐标分别为(2，5)，(—6,—15),则△A'B'C'与△ABC的相似比为 ( )
A. -3 B.3 C
9.如图,△ABC中,A,B两个顶点在 x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点 C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC的各边放大到原来的2倍，设点 B的横坐标是a，则点 B 的对应点B'的横坐标是( )
A.-2a+3
B.-2a+1
C.-2a+2
D. -2a-2
10.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是 1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上.
(1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC的各边放大为原来的 2 倍后的位似图形△A B C ;
(2)已知△ABC的面积为a,则△A B C 的面积是 .
11.如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)以原点O为对称中心，画出△ABC的中心对称图形△DEF.
(2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC 的位似三角形△HMN,△ABC 与△HMN的相似比
(3)△HMN的面积= .
创新拓展题
12.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).
(1)请在图中画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A B C ;
(2)以点 O为位似中心，将△ABC的各边缩小为原来 ,得到△A B C ,请在图中y轴右画出△A B C .
8 图形的位似
第1课时 位似图形及其性质与画法
1. D 2. B 3. A 4. D 5. B 6. C
7.【解】所画图形如图所示.
△ABC与△DEF的面积比和周长比分别是1:4和1:2.
8. B 【点拨】∵△DEO与△ABO是位似图形,
∵△OEF与△OBC是位似图形,
∵OD=3,OF=4,OC=6,
∴OA=4.5.
故选 B.
9.20cm或10cm 【点拨】∵△ABC和△A'B'C'关于点O位似,且相似比为1:3,AO=5cm,
当△ABC与△A'B'C'在点O的异侧时, 20cm;当△ABC与△A'B'C'在点O 的同侧时, A'O-AO=10 cm.
10.△NMP
11.24 【点拨
易知
∵△ABC的面积为3,∴△DEF的面积为27.
∴阴影部分的面积是27-3=24.
12.【解】(1)坐标系如图,则点 B的坐标为(-5,2).
(2)如图,△AB C 为所作三角形.
(3)如图,点 P 为所作,点 P 的坐标为(1,2).
13.【解】(1)如图①,正方形 E'F'P'N'即为所求.
(2)如图①,设正方形 E'F'P'N'的边长为x.
∵△ABC为正三角形,
∴易得
即
∴正方形 E'F'P'N'的边长为
(3)这两个正方形面积和的最大值是 ，最小值
理由如下：
如图②,连接NE,EP,PN,则∠NEP=90°.
设正方形 DEMN、正方形 EFPH的边长分别为m,n(m≥n),它们的面积和为 S,则
如图②,延长 PH交ND 于点G,则 PG⊥ND.
在 Rt△PGN中,
易得
化简得m+n=3.
①当 即m=n时,S最小,
②当 最大时，S最大，
即当m最大且n最小时，S最大.
由(2)知,
综上所述，这两个正方形面积和的最大值是 最小值
第2课时 平面直角坐标系中的位似变换
1. C 2. B 3. C 4. B 5. A 6.4.5
7.【解】(1)如图所示,△A B C 即为所求.(2,-2)
(2)如图所示,△A B C 即为所求.(1,0)
8. B 【点拨】∵把△ABC以原点O 为位似中心放大，得到△A'B'C',∴△ABC∽△A'B'C'.
∵点A和它对应点A'的坐标分别为(2,5),(—6,—15),
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为3.故选 B.
9. A 【点拨】设点 B'的横坐标为x,则 B',C之间的水平距离为-x+1.∵把△ABC的各边放大到原来的2倍得到△A'B'C,B,C之间的水平距离为a-1,∴2(a-1)=-x+1,解得x=-2a+3.故选 A.
10.【解】(1)如图,△A B C 为所作.
(2)4a
11.【解】(1)如图,△DEF为所作.
(2)如图,△HMN为所作.
(3)10
12.【解】(1)如图所示,△A B C 为所求.
(2)如图所示,△A B C 为所求.