6.2反比例函数的图象与性质 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

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反比例函数的图象与性质
[时间: 60分钟 分值:100分]
一、选择题 (每题4分，共32分)
1.反比例函数 的图象一定经过的点是 ( )
A.(-3,2) B.(2,-3)
C.(-2,-4) D.(2,3)
2.关于反比例函数 下列说法中不正确的是 ( )
A.点(-2,1)在它的图象上
B.此函数图象关于直线y=-x对称
C.当x>-1时,y>2
D.此函数图象既是轴对称图形，又是中心对称图形
3.已知点M(-4,a-2),N(-2,a),P(2，a)在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是 ( )
4.已知点A(x ,y ),B(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，且、 ，则下列结论一定正确的是 ( )
5.若 ab<0,则正比例函数y= ax与反比例函数 在同一坐标系中的图象可能是 ( )
6.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P(4a,a)是反比例函数 的图象与正方形一边的一个交点，若图中阴影部分的面积等于 16，则k的值为 ( )
A.16 B.1 C.4 D.-16
7.如图,A,B是双曲线 (x>0)上的两点,过点A作AC⊥x轴,垂足为点 C,交 OB于点D,若△ADO的面积为1.5,D为OB 的中点，则 k的值为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.7.5
8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P(m,1),Q(1,m)(m>0且m≠1),过点P，Q的直线与两坐标轴交于A，B两点，连接OP，OQ，则下列结论中成立的有 ( )
①点 P，Q在反比例函数 的图象上；
②△AOB为等腰直角三角形；
③0°<∠POQ<90°;
④∠POQ的度数随m 的增大而增大.
A.②③④ B.①③④
C.①②④ D.①②③
二、填空题(每题5分，共20分)
9.在反比例函数 的图象上，若函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 .
10.在同一直角坐标系中，正比例函数 y=k x 的图象与反比例函数 的图象有公共点，则k k 0(填“>”“<”或“=”).
11.如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 (其中 0)相交于A(—2,3),B(m,—2)两点,过点 B作 BP ∥x 轴,交 y 轴于点 P,连接 AP,则△ABP的面积是 .
12如图,点 A(2,2)在双曲线 (x>0)上，将直线 OA向上平移若干个单位长度交 y 轴于点 B，交双曲线于点 C.若BC=2,则点 C的坐标是 .
三、解答题 ( 共48分)
13.(14 分)如图,反比例函数 为常数，k≠0)的图象与正比例函数.y= mx(m为常数,m≠0)的图象交于 A(1,2),B两点.
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)若y轴上有一点C(0,n),△ABC 的面积为4，求点 C的坐标.
14.(14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数 的图象交于点 C,连接 OC.已知点B(0,4),△BOC的面积是 2.
(1)求b,k的值;
(2)求△AOC的面积.
15.(20 分)如图，正比例函数y=4x的图象与反比例函数 的图象交于点 A(a,4),点 B在反比例函数 0)的图象上,连接AB,过点 B 作 BC⊥x轴于点 C(2,0).
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D在第一象限内，且以 A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 D 的坐标.
一、 1. D 2. C
3. B 【点拨】由点 N(-2,a),P(2,a)在同一个函数图象上,可知N,P 关于y 轴对称,∴选项 A,C 错误.由点M(-4,a-2),N(-2,a)在同一个函数图象上,可知当x=-4时对应的函数值小于当x=-2时对应的函数值，∴选项 D错误,选项 B 正确.故选 B.
4. C 【点拨】∵6>0,
∴反比例函数 的图象位于第一、三象限内.
∴点 A位于第三象限内，点B位于第一象限内.
∴y <0,y >0.
故选 C.
5. B
点方法确定同一直角坐标系中两个函数的大致图象，通常有两种解题方法：
①分类讨论法：按系数的正负进行讨论；
②逐项排除法：先假定选项中某一个函数图象正确，然后判断另一个函数图象是否合理.
6. C 【点拨】易知四边形OABC是正方形，由反比例函数图象的中心对称性知正方形OABC的面积=16.∵P(4a，a),∴易得AB=OA=4a.∴4a×4a=16,解得a=1(负值已舍去).∴点 P的坐标为(4,1).把 P(4,1)的坐标代入 得 k=4.故选 C.
7. B 【点拨】如图,过点 B作BE⊥x轴,垂足为点 E,
∴易知AC∥BE.
∵A，B是双曲线 上的两点,AC⊥x轴,
由AC∥BE,易得△OCD∽△OEB.
∵D是OB的中点,
∴|k|=4,∴k=±4.由题意知k>0,∴k=4,故选 B.
8. D 【点拨】∵点 P(m,1),Q(1,m)(m>0且m≠1),且m·1=1·m=m,
∴点 P，Q在反比例函数 的图象上.故①正确.
设直线 PQ的表达式为y= kx+b,则 解得 直线 PQ的表达式为、y=-x+m+1.当y=0时,x=m+1;当x=0时,y=m+1.
∴OA=BO.
又∵∠AOB=90°,∴△AOB为等腰直角三角形.故②正确.
∵点 P(m,1),Q(1,m)(m>0且m≠1),
∴点 P，Q都在第一象限内，且点 P，Q不重合.
∴0°<∠POQ<90°.故③正确.
易得直线OP 的表达式为 直线 OQ的表达式为y= mx，∴根据函数图象可知：
当01时，∠POQ的度数随m的增大而增大.故④错误.故选 D.
二、9. m<3
10.> 【点拨】∵正比例函数 y=k x的图象与反比例函数 的图象有公共点，∴k 与k 同号.
11 【点拨】∵直 与双曲线 (其中 的图象相交于A(-2,3),B(m,-2)两点,∴k =(-2)×3=-2m.∴m=3.
∴B(3,-2).
又∵BP∥x轴,∴BP=3.
12. , 【点拨】∵点 A(2,2)在双曲线 (x>0)的图象上,
∴双曲线的表达式为
如图,作 AD⊥x轴,CH⊥x轴,BG⊥CH,垂足分别为D,H,G.
∵A(2,2),∴OD=2,AD=2.
∴AD=OD.
∴易知∠AOD=45°.
∴∠AOB=45°.
又易知∠OBG=90°,∴∠CBG=135°-90°=45°.
∴∠BCG=∠CBG=45°.
∴BG=CG.
∵BC=2,
∴在 Rt△BCG中,由勾股定理得
∴点C的横坐标
又∵点C在双曲线 上,∴C ,2/2)
三、13.【解】(1)将点 A(1,2)的坐标代入 得k=2,∴反比例函数的表达式为
将点 A(1,2)的坐标代入y= mx,得m=2,
∴正比例函数的表达式为 y=2x.
(2)解方程组 导
∴点B的坐标为(-1,-2).
过点 A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F.
∵A(1,2),B(-1,-2),C(0,n),
∴AE=BF=1,OC=|n|.
即|n|×1+|n|×1=8.
∴|n|=4.∴n=±4.
∴点C的坐标为(0,4)或(0,-4).
14.【解】(1)∵一次函数y=2x+b的图象与y 轴交于点B(0,4),∴b=4,OB=4.
∴一次函数的表达式为y=2x+4.
设点 C(m,n).∵△BOC的面积是 2,
解得m=1.
∵点C在一次函数的图象上，
∴n=2m+4=2×1+4=6.
∴点 C的坐标为(1,6).
把点C(1，6)的坐标代入 得k=6.
在y=2x+4中,当y=0时,x=-2,∴点A(-2,0).
∴OA=2.
15.【解】(1)∵正比例函数 y=4x的图象与反比例函数 的图象交于点A(a,4),
∴4a=4,解得a=1.
∴A(1,4).
把A(1，4)的坐标代入 得4=k ,∴k=4.
∴反比例函数的表达式是
(2)点 D 的坐标是(1,2)或(1,6).