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第2章 对称图形——圆单元测试 培优卷
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 下城区校级月考）已知的半径是，则中最长的弦长是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：的半径是，
中最长的弦长直径．
故选．
2．（2023秋 浙江月考）如图，在中，，的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
故选．
3．（2024 镇海区校级二模）已知的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【答案】
【解析】解：的直径为，
的半径为，
点到直线的距离为，
与的位置关系相离．
故选．
4．（2023 金东区一模）如图，在的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，，，分别是小正方形的顶点，则扇形的弧长等于
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：每个小方格都是边长为1的正方形，
由图可知，，且．
由弧长公式可得：扇形的弧长等于．
故选．
5．（2023秋 鄞州区期末）如图，的半径为5，弦，点在弦上，延长交于点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：过作于，
，
的半径为5，
，
，
当和重合时，的最小值是4，的最小值是，
当是圆直径时，的值最大是，
的取值范围是．
故选．
6．（2023秋 海曙区期中）下列语句中正确的有
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不符合题意；
②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故不符合题意；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；故符合题意；
④把这题一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意，
故选．
7．（2023春 义乌市校级期中）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为
A． B． C．3 D．
【答案】
【解析】解：在矩形中，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长，
圆锥的底面圆的半径为，
，
解得．
故选．
8．（2022 兰溪市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知，四边形和都是正方形，点、、共线，点、、在轴上，点，，在以为圆心为半径的圆上，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：设点，则，
根据题意可得，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
解得：，（舍去），
点，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
弧的长．
故选．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 永康市期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点在 圆外 （选填“圆内”，“圆上”，“圆外” ．
【答案】圆外．
【解析】解：点到圆心的距离，
该点在外．
故答案为：圆外．
10．（2024 秦淮区校级模拟）已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积是 ．
【答案】
【解析】解：，
故答案为．
11．（2024 盱眙县校级模拟）《九章算术》第一章“方田”介绍了扇形面积计算方法，其中这样一道题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：有一块扇形状的田，弧长为30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为 120 平方步．
【答案】120．
【解析】解：扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，
这块田的面积（平方步），
故答案为：120．
12．（2024春 丹徒区校级月考）如图，四边形内接于，若，，则 70 ．
【答案】70．
【解析】解：四边形内接于，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：70．
13．（2024 西湖区校级开学）的边，边，的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 5 ．
【答案】5．
【解析】解：，
，
解得：，，
，
是直角三角形，且斜边长为10，
直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，
的外接圆半径为，
故答案为：5．
14．（2024 长兴县模拟）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 1.3 ．
【答案】1.3．
【解析】解：设该门洞的半径的半径为 ，
如图，过点圆心作于点，延长交圆于点，连接，
则，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即该门洞的半径为，
故答案为：1.3．
15．（2024 沛县校级一模）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 2 ．
【答案】2．
【解析】解：如图，连接，，，交于点，过点作于点，设的半径为，则，
六边形是的内接正六边形，
，
，
是正三角形，
，
，
，
，
正六边形的面积为；
由题意可知，是的内接正三角形，
，
，，
，
的面积为；
．
16．（2024 沭阳县校级三模）如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为 ．
【答案】．
【解析】解：设与、分别相切于点、，连接、、、，连接并延长交于，过点作于，过点作于，如图，
则，，
，，，
平分，
，
四边形是矩形，
，，，
，，
平分，，，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，即，
，
，，
，
设的半径为，则，
，，
，
，即，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
是的切线，
，
，
当时，．
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 亭湖区校级月考）如图，正方形内接于，，求证：．
【解析】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，即，
．
18．（2023秋 沭阳县月考）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数．
【解析】解：连接，
，，
，
．
是的外角，
．
，
，
，
．
19．（2022秋 鼓楼区校级月考）如图，在中，，以为直径的与交于点，过作，交的延长线于，垂足为．
求证：直线是的切线．
【解析】证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
直线是的切线．
20．（2023秋 盐都区校级月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为点，则点坐标为 ；
（2）连接、，则的半径长为 ；的度数为 ；的弧长为 ．
【答案】（1）；
（2）；90；．
【解析】解：（1）分别作、的垂直平分线，两直线交于点，
则点即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点的坐标为，
（2）连接，如图，
，，
，
即的半径长为，
，
，
，
则，
，
的弧长．
21．（2023秋 丹徒区月考）在矩形中，，．
（1）若以为圆心，长为半径作（画图），则、、与圆的位置关系是什么？
（2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ．
【答案】（1）点在上，点在外，点在外；
（2）．
【解析】解：（1）如图，连接，
，，
，
的半径为长，
点在上，点在外，点在外；
（2）以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
的半径的取值范围是．
故答案为：．
22．（2023秋 海安市期末）如图，是的直径，是弦，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【解析】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：，，，，
，，，
，，
，，
，
，，
阴影部分的面积为：．
23．（2023秋 亭湖区校级期中）如图，在给定的圆上依次取点，，，．连结，，．设，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【解析】（1）证明：，
，
（两边都减去，
，
由圆周角定理得：，，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，
，
，
，
，
的度数是，
，
，
的度数是．
24．（2023秋 宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
（1）求阴影部分面积；
（2）用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【解析】解：（1）连接，，
，
是圆的直径，
点、、三点共线，
，
又，
，
圆的直径为2，
则，
故．
；
（2）的长，
则，
解得：．
故该圆锥的底面圆的半径是．
25．（2024 工业园区校级二模）如图，在中，点为边上的一个动点，以为直径的交于点，过点作，交于点．连接、，若是的切线．
（1）求证：；
（2）若，，，求直径的长．
【解析】（1）证明：，
，
，
，
又，
是圆的直径，
，
，
；
（2）连接，并延长和相交于，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
又，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
，
在中，设，
则，，，
，
，
，
即．
26．（2022秋 宿城区期中）如图，，是的高，，相交于点，是的中点，是的外接圆．
（1）点，，，是否在以点为圆心的同一个圆上？请说明理由．
（2）若，，求外接圆的半径长．
【解析】解：（1）点，，，在以点为圆心的同一个圆上，
理由：连接，，
，，
，
是的中点，
，，
，
点，，，在以点为圆心的同一个圆上；
（2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，，
，是的高，，相交于点，
，
是的直径，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
，
外接圆的半径长为5．
27．（2022秋 鼓楼区校级月考）在中，，设，，．是的内切圆，分别与的延长线、的延长线以及直线均只有一个公共点，的半径为，的半径为．
（1）当时，，时， 2 ， ．
（2）如图①，，则 ， （用含有、、的代数式表示）；并求出的面积（用含有、的代数式表示）
（3）如图②，，求出的面积（用含有、的代数式表示）．
【解析】解：（1），，，
，
如图①，设点，，分别是的切点，
连接，，，连接，，，
，
，
，
由已知，四边形为正方形，
，
由切线长定理可知，，，
；
故答案为：2，12；
（2）如图①，由切线的性质可知：
，，，
，
设的面积为，周长为，
同（1），根据面积法可知，
，
．
故答案为：，，
（3）如图②，
连接，由切线长定理得：
，
，，
平分，
，
，
，
．
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第2章 对称图形——圆单元测试 培优卷
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 下城区校级月考）已知的半径是，则中最长的弦长是
A． B． C． D．
2．（2023秋 浙江月考）如图，在中，，的度数是
A． B． C． D．
3．（2024 镇海区校级二模）已知的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
4．（2023 金东区一模）如图，在的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，，，分别是小正方形的顶点，则扇形的弧长等于
A． B． C． D．
5．（2023秋 鄞州区期末）如图，的半径为5，弦，点在弦上，延长交于点，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2023秋 海曙区期中）下列语句中正确的有
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023春 义乌市校级期中）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为
A． B． C．3 D．
8．（2022 兰溪市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知，四边形和都是正方形，点、、共线，点、、在轴上，点，，在以为圆心为半径的圆上，则的长为
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 永康市期末）已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点在 （选填“圆内”，“圆上”，“圆外” ．
10．（2024 秦淮区校级模拟）已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积是 ．
11．（2024 盱眙县校级模拟）《九章算术》第一章“方田”介绍了扇形面积计算方法，其中这样一道题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：有一块扇形状的田，弧长为30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为 平方步．
12．（2024春 丹徒区校级月考）如图，四边形内接于，若，，则
．
13．（2024 西湖区校级开学）的边，边，的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 ．
14．（2024 长兴县模拟）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 ．
15．（2024 沛县校级一模）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．
16．（2024 沭阳县校级三模）如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 亭湖区校级月考）如图，正方形内接于，，求证：．
18．（2023秋 沭阳县月考）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数．
19．（2022秋 鼓楼区校级月考）如图，在中，，以为直径的与交于点，过作，交的延长线于，垂足为．
求证：直线是的切线．
20．（2023秋 盐都区校级月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为点，则点坐标为 ；
（2）连接、，则的半径长为 ；的度数为 ；的弧长为 ．
21．（2023秋 丹徒区月考）在矩形中，，．
（1）若以为圆心，长为半径作（画图），则、、与圆的位置关系是什么？
（2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ．
22．（2023秋 海安市期末）如图，是的直径，是弦，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
23．（2023秋 亭湖区校级期中）如图，在给定的圆上依次取点，，，．连结，，．设，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
24．（2023秋 宿迁期末）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
（1）求阴影部分面积；
（2）用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
25．（2024 工业园区校级二模）如图，在中，点为边上的一个动点，以为直径的交于点，过点作，交于点．连接、，若是的切线．
（1）求证：；
（2）若，，，求直径的长．
26．（2022秋 宿城区期中）如图，，是的高，，相交于点，是的中点，是的外接圆．
（1）点，，，是否在以点为圆心的同一个圆上？请说明理由．
（2）若，，求外接圆的半径长．
27．（2022秋 鼓楼区校级月考）在中，，设，，．是的内切圆，分别与的延长线、的延长线以及直线均只有一个公共点，的半径为，的半径为．
（1）当时，，时， ， ．
（2）如图①，，则 ， （用含有、、的代数式表示）；并求出的面积（用含有、的代数式表示）
（3）如图②，，求出的面积（用含有、的代数式表示）．
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