浙江省绍兴市高级中学2023-2024学年高二下学期5月模块质量调测数学试卷
一、单项选择题(本大题共12 小题，每小题3分，共36分，每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1．（2024高二下·绍兴月考）已如集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】集合，，则，
故答案为：C
【分析】本题考查并集的概念.并集的概念： 对于两个给定的集合A，B，把所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合(两个集合全部元素加起来的全部元素所组成的集合)叫做并集，记作A∪B， 根据并集的概念可选出答案.
2．（2024高二下·绍兴月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】，
所以函数的定义域为，
故答案为：D
【分析】本题考查函数的定义域.根据根式下的被开方数大于等于0，对数的真数大于0，可列出不等式组，解不等式组可求出函数的定义域.
3．（2024高二下·绍兴月考）若二项式展开式中存在常数项，则正整数可以是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】通项，，
依题意，得，故是2的倍数．
只有选项D符合要求，
故答案为：D．
【分析】本题考查二项式的通项公式.根据二项式展开式的通项公式可得：，根据常数项的指数为0，可列出方程，解方程可求出，即是2的倍数，据此可选出答案．
4．（2024高二下·绍兴月考）已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位：分)服从正态分布N(105，)，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间(90，105)内的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】依题意，，而，
由可得，，
故，
即数学成绩落在区间(90，105)内的概率为.
故答案为：B.
【分析】本题考查正态分布的对称性.根据正态分布的表示可得：，又知，据此可推出，根据正态分布的对称性可得：，进而可得，代入数据可求出答案.
5．（2024高二下·绍兴月考）老师有7本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A．248种 B．168种 C．490种 D．360种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】剩余的4本书分给乙和丙，可以安排和两种情况，
安排时，共有种，
安排时，共有种，
综上，甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有种.
故答案为：C
【分析】本题考查排列组合的实际应用，分类计数原理，根据题意可知：将剩余的4本书分给乙和丙，可以安排和两种情况，利用排列组合可求出每一种情况的种数，再利用分类加法计数原理可求出答案.
6．（2024高二下·绍兴月考）是方程有正实数根的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数零点存在定理
【解析】【解答】由方程有正实数根，则等价于函数有正零点，由二次函数的对称轴为，则函数只能存在一正一负的两个零点，则，解得，
所以，所以是的必要不充分条件，
故答案为：B
【分析】本题考查函数与方程的综合应用，充分条件和必要条件的定义.根据函数零点的定义可得：方程有正实数根，则等价于函数有正零点，根据一元二次方程根的分布情况可列出方程组，解方程组可求出实数a的取值范围，根据充分必要条件的定义可选出答案.
7．（2024高二下·绍兴月考）设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.09 C．0.15 D．0.2
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，
，，
由全概率公式，所求概率为，
故答案为：B
【分析】本题考查全概率的计算公式.以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，利用古典概型的计算公式可求出， 利用全概率的计算公式可求出取得的X光片是次品的概率 .
8．（2024高二下·绍兴月考）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】因为定义域为，
且，
所以函数为奇函数，故图象关于原点成中心对称，故BC错误；
当趋向正无穷时，显然的分子增长快于分母增长，趋向正无穷，故A正确B错误.
故答案为：A
【分析】本题考查函数的图象.先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性判断出函数为奇函数，推断出函数图象关于原点成中心对称，据此可排除B选项和C选项；再根据函数自变量趋向正无穷大时，函数值的变化趋势又可以排除B选项，进而可选出答案.
9．（2024高二下·绍兴月考）现测得某放射性元素的半衰期为1500年(每经过1500年，该元素的存品为原来的一半)，某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量为，据此推测该生物距今约为（ ）
(参考数据：)
A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意得，
两边取对数得．
故答案为：C．
【分析】本题考查对数的运算法则.根据题意可得，对式子两边同时取对数，再利用对数的运算法则进行化简可得：，代入参考数据可求出答案.
10．（2024高二下·绍兴月考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．(，+∞) B．(，+∞)
C．() D．(，+∞)
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】的定义域为，，
所以，故关于对称，
故，
由于均为上的单调递增函数，结合对称性可得函数在上单调递增，所以为单调递增函数，
故，解得，
故答案为：A
【分析】本题考查函数的对称性和函数的单调性.通过计算可得：，利用函数的对称性可推出关于对称，据此可将不等式转化为：，利用指数函数的单调性和一次函数的单调性可推出为单调递增函数，利用函数的单调性可将转化为：，解不等式可求出解集.
11．（2024高二下·绍兴月考）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题可得，，则，
所以
，
当且仅当，即时，取得等号，
故答案为：C.
【分析】本题考查基本不等式在求最值中的应用.已知，可变形为：，即：，使用“1”的代换法：先乘以1，再将1进行替换可得：，即：，利用基本不等式可求出最值.
12．（2024高二下·绍兴月考）已知，函数.若存在，使得，则当取最大值时的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为，所以，
依题意，
因为存在，使得，
所以，即有解，
因为，则，
所以有解，所以，
因为，所以，所以，
所以的最大值为.
此时，当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，
故答案为：C.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的最值.先求出导函数，根据导函数计算可得：，再根据，利用参变量分离法可推出：不等式有解，转化为：，利用二次函数的性质可求出的最大值，将的最大值代入函数的解析式，再利用二次函数的性质可求出的最小值.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分)
13．（2024高二下·绍兴月考）已知，则下列选项中能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】A，由可得，A错误，
B，由可得，B错误，
C，由可得，C错误，
D，由可得，D正确，
故答案为：BD.
【分析】本题考查不等式的性质.根据正数取倒数，正数越大，倒数值越小，据此可判断A选项和B选项；根据正数的倒数依然为正数，负数的倒数为负数，据此可判断B选项；根据负数取倒数，负数越小，倒数值越大，据此可判断D选项.
14．（2024高二下·绍兴月考）不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球导色”，事件C=“至少有一红球"，则（ ）
A． B．
C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】A，随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含个样本点，
随机事件包含的样本点的个数为，所以，A错误；
B，随机事件包含的样本点的个数为，所以，B正确，
C，事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件为互斥事件，
又，即事件为必然事件，所以事件与事件是对立事件，C正确；
D，随机事件包含的样本点的个数为，所以，
随机事件为不可能事件，所以，所以，
所以事件与事件不是相互独立事件，D错误，
故答案为：BC.
【分析】本题考查古典概型的计算公式，对立事件的概念，相互独立事件的定义.先求出取出2个球的样本空间含样本点个数，再求出包含的样本点的个数，利用古典概型的计算公式可求出，据此可判断A选项；再求出包含的样本点的个数，利用古典概型的计算公式可求出，据此可判断B选项；根据题意可得事件与事件不可能同时发生，再根据，利用对立事件的概念可判断C选项；先求出包含的样本点的个数，利用古典概型的计算公式可求出，根据题意可得，进而可得，利用相互独立事件的定义可判断D选项.
15．（2024高二下·绍兴月考）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ）.
A．若任意选择三门课程，则选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，则选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，则选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为
【答案】A,B,D
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：对于A：若任意选择三门课程，则选法种数为，故A错误；
对于B：物理、化学都选，则有种选法，若只选物理、化学中的一门，则有种选法，所以物理、化学至少选一门，则有种选法，故B错误；
对于C：物理、历史不能同时选的反面是物理、历史同时选，故有种选法，故C正确；
对于D：物理、化学都选，则有种选法，若选物理不选化学，则有种选法，若选化学不选物理，
则有种选法，一共20种不同选法，故D错误.
故答案为：A，B，D.
【分析】由组合的定义可判断选项A，物理、化学至少选一门包含两种情况，分类讨论可判断B，由间接法可判断选项C，物理、化学至少选一门，物理、历史不能同时选，包含三种情况，讨论可判断选项D.
16．（2024高二下·绍兴月考）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，.下列说法正确的是（ ）
A．3是函数的一个周期
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】A，因为，所以，所以3是函数的一个周期，A正确；
B，因为，为奇函数，所以，
所以，点是函数图象的对称中心，B错误；
C，因为，为奇函数，所以，
所以.
又因为，所以，
所以，
所以，函数是偶函数，C正确；
D，由C知，函数是偶函数，所以.
又3是函数的一个周期，
所以，，，
所以，，
所以，，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题考查函数的对称性，函数的奇偶性，函数的周期性.根据，可推出，进而可推出的周期，判断A选项；根据为奇函数，可得，据此推出函数的对称中心，判断B选项；结合和可推出，进而可判断函数的奇偶性，判断C选项；利用函数的周期性和奇偶性可得，利用周期性可计算式子的值，判断D选项.
三、填空题(本大题共4小题，共16分)
17．（2024高二下·绍兴月考）已知是幂函数，且满足：①；②在上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数 .
【答案】（答案不唯一）(形如，为正奇数，为正偶数，均可)
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为是幂函数，且在上单调递增，
故可设，（，互质），
又，所以为奇数，为偶数，
故为符合条件的一个函数，
故答案为：(形如，为正奇数，为正偶数，均可).
【分析】本题考查幂函数的概念，幂函数的单调性.根据函数是幂函数，再结合函数的单调性可设，（，互质），再根据为偶函数，可得，据此找出答案.
18．（2024高二下·绍兴月考）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示，成绩不低于85分的人数有 人.
【答案】9
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】由频率分布直方图的频率和为1，可得：，解得：.
故成绩不低于85分的人的频率为，
所以成绩不低于85分的人数有.
故答案为：9.
【分析】本题考查频率分布直方图.根据频率分布直方图中各组频率之和等于1，可列出方程，解方程可求出的值，再求出成绩不低于85分的人的频率，据此可求出成绩不低于85分的人数.
19．（2024高二下·绍兴月考）已知实数 ， ， ，则 的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：实数 ， ， ，
则 ，
当且仅当 ， 时，取等号，
的最小值为：3．
故答案为：3．
【分析】根据题意首先整理化简原式，再由基本不等式计算出最小值即可。
20．（2024高二下·绍兴月考）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意得有三个不同的解，
当时，不合题意，
当时，即有三个不同的解，
令，则，
当或时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，当时，恒成立，
故的图象如下：
要想有三个不同的解，则，实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】本题考查函数的零点.根据函数零点的定义可得：有三个不同的解，分两种情况：当时；当时；进行讨论，当时；参变分离可将问题转化为：有三个不同的解，构造，求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而求出极值，据此可画出函数的图象，观察函数图象可求出实数的取值范围.
四、解答题(本大题共3小题，共32分)
21．（2024高二下·绍兴月考）已知
（1）求展开式第3项的二项式系数；
（2）求的值.
【答案】（1）由二次项展开的通项公式为，
∴第3项的二项式系数为；
（2）令，
令=1，
∴.
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】本题考查二项式的通项，二项式系数.（1）先利用二项展开式的通项公式进行计算可得：，第三项k=2，代入通项公式进行计算可求出第3项的二项式系数；
（2）采用赋值先令，可求出的值，再令，可求出，进而可求出式子的值.
（1）由二次项展开的通项公式为，
∴第3项的二项式系数为；
（2）令，
令=1，
∴.
22．（2024高二下·绍兴月考）为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列．
【答案】（1）比赛结束时，
恰好打了6局，甲获胜的概率为，
恰好打了6局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为；
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
2 3 4 5
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】本题考查二项分布，离散型随机变量的分布列.（1）比赛恰好打了6局的情况有两种：恰好打了6局，甲获胜；恰好打了6局，乙获胜；利用二项分布的概率计算公式依次求出每种情况的概率，进而可求出比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）根据题意可得X的可能取值为2，3，4，5，利用二项分布的概率计算公式依次求出对应的概率，据此可列出X的分布列.
（1）比赛结束时，
恰好打了6局，甲获胜的概率为，
恰好打了6局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为；
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
2 3 4 5
23．（2024高二下·绍兴月考）已知函数，．
（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）函数为奇函数．当时，，，
∴，
∴函数为奇函数；
（2），
当时，的对称轴为：；
当时，的对称轴为：；
∴当时，在上是增函数，
即时，函数在上是增函数；
（3）方程的解即为方程的解．
①当时，函数在上是增函数，
∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根；
②当时，即，
∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，
∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，即，
∵，∴．
设，
∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，
∴，又可证在上单调增．
∴，∴；
③当时，即，
∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，
∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；
即，∵∴，
设
∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，
∴，又可证在上单调减，∴
∴；
综上：．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性，函数与方程的综合应用.
（1）当a=0时，先求出函数的定义域，再求出，根据函数的奇偶性定义可求出函数的奇偶性；
（2）先将函数的解析式取绝对值可得：，再分段，利用二次函数的性质可判断出函数的单调性，据此可求出实数a的取值范围；
（3）根据题意可将问题转化为：方程的解，分三种情况：①当时；②当时；③当时；利用函数的单调性判断方程是否有三个不相等的实数根，进而可求出实数的取值范围．
1 / 1浙江省绍兴市高级中学2023-2024学年高二下学期5月模块质量调测数学试卷
一、单项选择题(本大题共12 小题，每小题3分，共36分，每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1．（2024高二下·绍兴月考）已如集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·绍兴月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·绍兴月考）若二项式展开式中存在常数项，则正整数可以是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
4．（2024高二下·绍兴月考）已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位：分)服从正态分布N(105，)，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间(90，105)内的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
5．（2024高二下·绍兴月考）老师有7本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A．248种 B．168种 C．490种 D．360种
6．（2024高二下·绍兴月考）是方程有正实数根的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高二下·绍兴月考）设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.09 C．0.15 D．0.2
8．（2024高二下·绍兴月考）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·绍兴月考）现测得某放射性元素的半衰期为1500年(每经过1500年，该元素的存品为原来的一半)，某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量为，据此推测该生物距今约为（ ）
(参考数据：)
A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年
10．（2024高二下·绍兴月考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．(，+∞) B．(，+∞)
C．() D．(，+∞)
11．（2024高二下·绍兴月考）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高二下·绍兴月考）已知，函数.若存在，使得，则当取最大值时的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分)
13．（2024高二下·绍兴月考）已知，则下列选项中能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024高二下·绍兴月考）不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球导色”，事件C=“至少有一红球"，则（ ）
A． B．
C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件
15．（2024高二下·绍兴月考）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ）.
A．若任意选择三门课程，则选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，则选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，则选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为
16．（2024高二下·绍兴月考）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，.下列说法正确的是（ ）
A．3是函数的一个周期
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．
三、填空题(本大题共4小题，共16分)
17．（2024高二下·绍兴月考）已知是幂函数，且满足：①；②在上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数 .
18．（2024高二下·绍兴月考）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示，成绩不低于85分的人数有 人.
19．（2024高二下·绍兴月考）已知实数 ， ， ，则 的最小值为 ．
20．（2024高二下·绍兴月考）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题(本大题共3小题，共32分)
21．（2024高二下·绍兴月考）已知
（1）求展开式第3项的二项式系数；
（2）求的值.
22．（2024高二下·绍兴月考）为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列．
23．（2024高二下·绍兴月考）已知函数，．
（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】集合，，则，
故答案为：C
【分析】本题考查并集的概念.并集的概念： 对于两个给定的集合A，B，把所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合(两个集合全部元素加起来的全部元素所组成的集合)叫做并集，记作A∪B， 根据并集的概念可选出答案.
2．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】，
所以函数的定义域为，
故答案为：D
【分析】本题考查函数的定义域.根据根式下的被开方数大于等于0，对数的真数大于0，可列出不等式组，解不等式组可求出函数的定义域.
3．【答案】D
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】通项，，
依题意，得，故是2的倍数．
只有选项D符合要求，
故答案为：D．
【分析】本题考查二项式的通项公式.根据二项式展开式的通项公式可得：，根据常数项的指数为0，可列出方程，解方程可求出，即是2的倍数，据此可选出答案．
4．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】依题意，，而，
由可得，，
故，
即数学成绩落在区间(90，105)内的概率为.
故答案为：B.
【分析】本题考查正态分布的对称性.根据正态分布的表示可得：，又知，据此可推出，根据正态分布的对称性可得：，进而可得，代入数据可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】剩余的4本书分给乙和丙，可以安排和两种情况，
安排时，共有种，
安排时，共有种，
综上，甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有种.
故答案为：C
【分析】本题考查排列组合的实际应用，分类计数原理，根据题意可知：将剩余的4本书分给乙和丙，可以安排和两种情况，利用排列组合可求出每一种情况的种数，再利用分类加法计数原理可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数零点存在定理
【解析】【解答】由方程有正实数根，则等价于函数有正零点，由二次函数的对称轴为，则函数只能存在一正一负的两个零点，则，解得，
所以，所以是的必要不充分条件，
故答案为：B
【分析】本题考查函数与方程的综合应用，充分条件和必要条件的定义.根据函数零点的定义可得：方程有正实数根，则等价于函数有正零点，根据一元二次方程根的分布情况可列出方程组，解方程组可求出实数a的取值范围，根据充分必要条件的定义可选出答案.
7．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，
，，
由全概率公式，所求概率为，
故答案为：B
【分析】本题考查全概率的计算公式.以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，利用古典概型的计算公式可求出， 利用全概率的计算公式可求出取得的X光片是次品的概率 .
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】因为定义域为，
且，
所以函数为奇函数，故图象关于原点成中心对称，故BC错误；
当趋向正无穷时，显然的分子增长快于分母增长，趋向正无穷，故A正确B错误.
故答案为：A
【分析】本题考查函数的图象.先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性判断出函数为奇函数，推断出函数图象关于原点成中心对称，据此可排除B选项和C选项；再根据函数自变量趋向正无穷大时，函数值的变化趋势又可以排除B选项，进而可选出答案.
9．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意得，
两边取对数得．
故答案为：C．
【分析】本题考查对数的运算法则.根据题意可得，对式子两边同时取对数，再利用对数的运算法则进行化简可得：，代入参考数据可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】的定义域为，，
所以，故关于对称，
故，
由于均为上的单调递增函数，结合对称性可得函数在上单调递增，所以为单调递增函数，
故，解得，
故答案为：A
【分析】本题考查函数的对称性和函数的单调性.通过计算可得：，利用函数的对称性可推出关于对称，据此可将不等式转化为：，利用指数函数的单调性和一次函数的单调性可推出为单调递增函数，利用函数的单调性可将转化为：，解不等式可求出解集.
11．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题可得，，则，
所以
，
当且仅当，即时，取得等号，
故答案为：C.
【分析】本题考查基本不等式在求最值中的应用.已知，可变形为：，即：，使用“1”的代换法：先乘以1，再将1进行替换可得：，即：，利用基本不等式可求出最值.
12．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为，所以，
依题意，
因为存在，使得，
所以，即有解，
因为，则，
所以有解，所以，
因为，所以，所以，
所以的最大值为.
此时，当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，
故答案为：C.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的最值.先求出导函数，根据导函数计算可得：，再根据，利用参变量分离法可推出：不等式有解，转化为：，利用二次函数的性质可求出的最大值，将的最大值代入函数的解析式，再利用二次函数的性质可求出的最小值.
13．【答案】B,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】A，由可得，A错误，
B，由可得，B错误，
C，由可得，C错误，
D，由可得，D正确，
故答案为：BD.
【分析】本题考查不等式的性质.根据正数取倒数，正数越大，倒数值越小，据此可判断A选项和B选项；根据正数的倒数依然为正数，负数的倒数为负数，据此可判断B选项；根据负数取倒数，负数越小，倒数值越大，据此可判断D选项.
14．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】A，随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含个样本点，
随机事件包含的样本点的个数为，所以，A错误；
B，随机事件包含的样本点的个数为，所以，B正确，
C，事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件为互斥事件，
又，即事件为必然事件，所以事件与事件是对立事件，C正确；
D，随机事件包含的样本点的个数为，所以，
随机事件为不可能事件，所以，所以，
所以事件与事件不是相互独立事件，D错误，
故答案为：BC.
【分析】本题考查古典概型的计算公式，对立事件的概念，相互独立事件的定义.先求出取出2个球的样本空间含样本点个数，再求出包含的样本点的个数，利用古典概型的计算公式可求出，据此可判断A选项；再求出包含的样本点的个数，利用古典概型的计算公式可求出，据此可判断B选项；根据题意可得事件与事件不可能同时发生，再根据，利用对立事件的概念可判断C选项；先求出包含的样本点的个数，利用古典概型的计算公式可求出，根据题意可得，进而可得，利用相互独立事件的定义可判断D选项.
15．【答案】A,B,D
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：对于A：若任意选择三门课程，则选法种数为，故A错误；
对于B：物理、化学都选，则有种选法，若只选物理、化学中的一门，则有种选法，所以物理、化学至少选一门，则有种选法，故B错误；
对于C：物理、历史不能同时选的反面是物理、历史同时选，故有种选法，故C正确；
对于D：物理、化学都选，则有种选法，若选物理不选化学，则有种选法，若选化学不选物理，
则有种选法，一共20种不同选法，故D错误.
故答案为：A，B，D.
【分析】由组合的定义可判断选项A，物理、化学至少选一门包含两种情况，分类讨论可判断B，由间接法可判断选项C，物理、化学至少选一门，物理、历史不能同时选，包含三种情况，讨论可判断选项D.
16．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】A，因为，所以，所以3是函数的一个周期，A正确；
B，因为，为奇函数，所以，
所以，点是函数图象的对称中心，B错误；
C，因为，为奇函数，所以，
所以.
又因为，所以，
所以，
所以，函数是偶函数，C正确；
D，由C知，函数是偶函数，所以.
又3是函数的一个周期，
所以，，，
所以，，
所以，，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题考查函数的对称性，函数的奇偶性，函数的周期性.根据，可推出，进而可推出的周期，判断A选项；根据为奇函数，可得，据此推出函数的对称中心，判断B选项；结合和可推出，进而可判断函数的奇偶性，判断C选项；利用函数的周期性和奇偶性可得，利用周期性可计算式子的值，判断D选项.
17．【答案】（答案不唯一）(形如，为正奇数，为正偶数，均可)
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为是幂函数，且在上单调递增，
故可设，（，互质），
又，所以为奇数，为偶数，
故为符合条件的一个函数，
故答案为：(形如，为正奇数，为正偶数，均可).
【分析】本题考查幂函数的概念，幂函数的单调性.根据函数是幂函数，再结合函数的单调性可设，（，互质），再根据为偶函数，可得，据此找出答案.
18．【答案】9
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】由频率分布直方图的频率和为1，可得：，解得：.
故成绩不低于85分的人的频率为，
所以成绩不低于85分的人数有.
故答案为：9.
【分析】本题考查频率分布直方图.根据频率分布直方图中各组频率之和等于1，可列出方程，解方程可求出的值，再求出成绩不低于85分的人的频率，据此可求出成绩不低于85分的人数.
19．【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：实数 ， ， ，
则 ，
当且仅当 ， 时，取等号，
的最小值为：3．
故答案为：3．
【分析】根据题意首先整理化简原式，再由基本不等式计算出最小值即可。
20．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意得有三个不同的解，
当时，不合题意，
当时，即有三个不同的解，
令，则，
当或时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，当时，恒成立，
故的图象如下：
要想有三个不同的解，则，实数的取值范围是.
故答案为：
【分析】本题考查函数的零点.根据函数零点的定义可得：有三个不同的解，分两种情况：当时；当时；进行讨论，当时；参变分离可将问题转化为：有三个不同的解，构造，求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而求出极值，据此可画出函数的图象，观察函数图象可求出实数的取值范围.
21．【答案】（1）由二次项展开的通项公式为，
∴第3项的二项式系数为；
（2）令，
令=1，
∴.
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】本题考查二项式的通项，二项式系数.（1）先利用二项展开式的通项公式进行计算可得：，第三项k=2，代入通项公式进行计算可求出第3项的二项式系数；
（2）采用赋值先令，可求出的值，再令，可求出，进而可求出式子的值.
（1）由二次项展开的通项公式为，
∴第3项的二项式系数为；
（2）令，
令=1，
∴.
22．【答案】（1）比赛结束时，
恰好打了6局，甲获胜的概率为，
恰好打了6局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为；
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
2 3 4 5
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】本题考查二项分布，离散型随机变量的分布列.（1）比赛恰好打了6局的情况有两种：恰好打了6局，甲获胜；恰好打了6局，乙获胜；利用二项分布的概率计算公式依次求出每种情况的概率，进而可求出比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）根据题意可得X的可能取值为2，3，4，5，利用二项分布的概率计算公式依次求出对应的概率，据此可列出X的分布列.
（1）比赛结束时，
恰好打了6局，甲获胜的概率为，
恰好打了6局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为；
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
2 3 4 5
23．【答案】解：（1）函数为奇函数．当时，，，
∴，
∴函数为奇函数；
（2），
当时，的对称轴为：；
当时，的对称轴为：；
∴当时，在上是增函数，
即时，函数在上是增函数；
（3）方程的解即为方程的解．
①当时，函数在上是增函数，
∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根；
②当时，即，
∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，
∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，即，
∵，∴．
设，
∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，
∴，又可证在上单调增．
∴，∴；
③当时，即，
∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，
∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；
即，∵∴，
设
∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，
∴，又可证在上单调减，∴
∴；
综上：．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性，函数与方程的综合应用.
（1）当a=0时，先求出函数的定义域，再求出，根据函数的奇偶性定义可求出函数的奇偶性；
（2）先将函数的解析式取绝对值可得：，再分段，利用二次函数的性质可判断出函数的单调性，据此可求出实数a的取值范围；
（3）根据题意可将问题转化为：方程的解，分三种情况：①当时；②当时；③当时；利用函数的单调性判断方程是否有三个不相等的实数根，进而可求出实数的取值范围．
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