人教版八年级数学上册第十一章三角形单元测试卷（含解析）

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人教版八年级数学上册
第十一章三角形单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点，且AE，BF，CD交于点O，它们将分成6个面积相等的三角形，则AE，BF，CD一定是的（ ）
A．高 B．中线 C．角平分线 D．三边的垂直平分线
2．如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是（ ）
A．∠1+∠6﹦∠2 B．∠4+∠5﹦∠2
C．∠1+∠3+∠6﹦180° D．∠1+∠5+∠4﹦180°
3．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果为（ ）
A．2a+2b B．2a+2b﹣2c C．2b﹣2c D．2a
4．已知两条线段的长度分别为2cm、8cm，下列能与它们构成三角形的线段长度为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
5．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”,则图中以∠B为公共角的“共角三角形”有（ ）对.
A．6 B．9 C．12 D．15
6．如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为（ ）
A．∠AHE＞∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE=∠CHG D．不一定
7．如图，，，，则=（ ）
A． B． C． D．
8．如图，∠B=60°，∠C=40°，∠ADC=3∠A，则∠A的度数为（ ）
A．80° B．30° C．50° D．无法确定
9．某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（ ）
A．180° B．540° C．1900° D．1080°
10．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=（ ）．
A．60° B．45° C．30° D．15°
二、填空题
11．小明同学在计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2005°,则n等于 .
12．如图，P是△ABC的∠ABC和∠ACB的外角的平分线的交点，若∠A=90°，则∠P= .
13．若一个三角形三边之比为3：4：5，又知最长的边比最短的边多4 cm，则最短的边为 cm.
14．已知△ABC的两条边的长度分别为3 cm，6 cm，若△ABC的周长为偶数，则第三条边的长度是 cm.
15．如图，△ADE的外角为 ．
16．如图，在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了320m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C，那么，由此可知，B、C两地相距 m．
三、解答题
17．某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为．当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角．多加的这个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？
18．在中，，高所在的直线相交于点O，求的度数．
19．如图所示，直线和相交于，，，，求和．
20．（分类讨论思想）的两外角平分线交于点．

(1)如图1，若，则的度数为__________．
(2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________．
(3)在（2）的条件下，将直线绕点转动．
①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由．
②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
21．（8字模型）阅读材料：如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，求的度数．

22．（1）如图①，的平分线与的平分线交于点，，，，求的大小．
（2）如图②，的平分线与的平分线交于点，，，求的大小．
（3）如图③，的平分线与的平分线交于点，则与、之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你的结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．
23．如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．
24．在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，
（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系是　 （直接写出结论，不需证明）．
参考答案
1．B
【解析】根据S△OAD＝S△OBD，得到AD＝BD，同理得到答案．
【详解】由题意得，
，
∴CD是的中线，
同理，BF，AE也是的中线，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
2．A
【详解】试题分析：A．∠1+∠6与∠2没有关系，结论不成立，故本选项正确；
B．由三角形的外角性质，∠4+∠5﹦∠2成立，故本选项错误；
C．由三角形的内角和定理与对顶角相等，∠1+∠3+∠6﹦180°成立，故本选项错误；
D．由三角形的内角和定理与对顶角相等，∠1+∠5+∠4﹦180°成立，故本选项错误．
故选A．
考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．
3．D
【分析】先根据三角形三条边的关系判断a+b-c和b-a-c的正负，然后根据绝对值的定义化简即可.
【详解】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴原式＝a+b﹣c﹣(b﹣a﹣c)
＝a+b﹣c+c+a﹣b＝2a．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，以及绝对值的定义，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键. 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
4．C
【分析】根据三角形的三边关系建立不等式可得选项.
【详解】解：设三角形第三边的长度为m，根据三角形的三边关系，得：，即，所以满足，
故选：C.
5．A
【详解】试题分析：含有∠B的三角形有：△BDE、△BCE、△ABD、△ABC，则共有6对，故选A．
6．C
【分析】先根据AD、BE、CF为△ABC的角平分线可设∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，由三角形内角和定理可知，2x+2y+2z=180° 即x+y+z=90°在△AHB中由三角形外角的性质可知∠AHE=x+y=90°﹣z，在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，故可得出结论．
【详解】∵AD、BE、CF为△ABC的角平分线
∴可设∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，
∴2x+2y+2z=180° 即x+y+z=90°，
∵在△AHB中，∠AHE=x+y=90°﹣z，
在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，
∴∠AHE=∠CHG，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和180°，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
7．D
【分析】如下图，由三角形外角的性质结合已知条件易得∠AOC=∠C+∠E=57°，再结合AB∥CD即可得到∠BAE=∠AOC=57°.
【详解】如下图，∵∠AOC是△COE的外角，∠C=20°，∠E=37°，
∴∠AOC=∠C+∠E=57°，
又∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠AOC=57°.
故选D.
【点睛】熟知“三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；平行的性质：两直线平行，内错角相等”是解答本题的关键.
8．C
【分析】连接BD并延长，由三角形外角的性质可知∠1+∠A=∠3，∠2+∠C=∠4，再由，∠B=60°，∠C=40°，∠ADC=3∠A即可得出结论．
【详解】如图所示：
连接BD并延长，
∵∠3是△ABD的外角，∠4是△BCD的外角，
∴∠1+∠A=∠3①，∠2+∠C=∠4②，
①+②得，（∠1+∠2）+∠A+∠C=（∠3+∠4），即∠ABC+∠A+∠C=∠ADC，
∵∠B=60°，∠C=40°，∠ADC=3∠A，
∴60°+∠A+40°=3∠A，解得∠A=50°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，正确添加辅助线，构造出三角形的外角是解答此题的关键．
9．C
【详解】多边形的内角和公式是(n-2) 180°，内角和是180°时候是三角形；内角和是540°时候是五边形；内角和是1080°的时候是十边形，内角和是1900°时候算出来的边数不是整数，所以错误的是C，
故选C.
10．D
【详解】分析：先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB．在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°．在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．
详解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=×（180°﹣60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°﹣60°=300°．∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°﹣（∠5+∠6+∠1）=180°﹣150°=30°．∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4．∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=∠E=×30°=15°．
故选D．

点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．
11．14
【详解】n边形内角和为：（n-2） 180°，并且每个内角度数都小于180°，
∵少算一个角时度数为2005°，
根据公式，13边形内角和为1980°，14边形内角和为2160°，
∴n=14，
故选D．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理，即多边形的内角和=（n-2） 180°，熟练掌握和灵活应用是关键.
12．45°
【详解】根据三角形的外角性质，∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，
∵BP平分∠ABC，CP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PBC=∠ABC,∠PCE=∠ACE，
∴∠P+∠ABC= (∠A+∠ABC)，
∴∠A=2∠P，
∵∠A=90°，
∴∠P=45°
故答案为45°
点睛：本题考查了三角形内角和定理, 三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式表示出∠ACE和∠PCE，再根据角平分线的定义表示出∠PBC和∠PCE，然后整理求出∠A=2∠P，再代入进行计算即可得解．
13．6
【详解】设三角形的三边长分别为：3xcm，4xcm，5xcm，由题意得：
5x 3x=4，
解得：x=2，
所以三角形的三边长分别为：6cm，8cm，10cm，
所以最短的边为6cm，
故答案为6.
14．5或7
【详解】试题解析：的两条边的长度分别为
设第三边长为
则 即
的周长为偶数，
第三边的长度为奇数.
或
故答案为或
15．∠BDF、∠DEC和∠AEF
【分析】根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，求解即可．
【详解】根据三角形的外角定义可知：
△ADE的外角为：∠BDF、∠DEC和∠AEF，
故答案为∠BDF、∠DEC和∠AEF．
【点睛】本题考查了三角形的外角，解答本题的关键是掌握：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
16．320
【详解】试题分析：首先把实际问题转化为直角三角形问题来解决，由已知可推出∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°-60°=30°，再由三角形内角和定理得∠ACB=30°，即∠ACB=∠BAC，从而求出B、C两地的距离BC=AB=320m．
点睛：此题考查了方向角问题，关键是实际问题转化为直角三角形问题，此题还运用了三角形内角和定理．
17．多加的这个内角是，这个多边形是八边形
【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键.
首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数．
【详解】解：由题意可知：
多加的内角为．
解得．
∵n为正整数，
∴．
∴多加的内角为：．
故多加的这个内角是，这个多边形是八边形．
18．或
【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的高线，解题的关键是分类讨论．
分为当为锐角三角形时和当为钝角三角形时分别求解即可；
【详解】解：当为锐角三角形时，如答图①，连接．
图①
∵，
∴．
∵，即，
∴
，
∴．
图②
当为钝角三角形时，如图②，延长交于点O．
∵是的高，
∴．
∵，且，
∴．
综上所述，或．
19．
【分析】先根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出，再根据两直线平行，内错角相等得到等于．
【详解】解：在中，，，
；
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质和两直线平行，内错角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)①，见解析；②不成立，或
【分析】（1）由三角形内角和定理可得，从而可得，再由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得，进行计算即可；
（2）由（1）可得由（1）可得，再由代入进行计算即可；
（3）①根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
和分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
由（1）可得，
，
，
即．
（3）解：①当直线与线段没有交点时，，
理由如下：
∵，，
∴，
即；
②当直线与线段有交点时，①中与，之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论：
a．如图1，当在线段上，在射线上时，，
，
∵，，
∴，
即，
b．如图2，当在射线上，在线段上时，，
，
∵，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
21．97°
【分析】根据角平分线的定义得出，，根据“对顶三角形”的性质，得出，，则得到，即可求解．
【详解】解：如题图2，和的平分线和相交于点，
，，
，，
得：，
即，
，，
．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为．
22．（1）；（2）；（3）存在，，证明见解析．
【分析】（1）根据三角形外角性质可得到，，故可得，在根据角平分线性质，消去等角，求出即可；
（2）根据（1）中方法推出，则问题可解；
（3）延长交于点，根据三角形外角性质推出，又由，得到，根据角平分线性质得到，将代入后得到．
【详解】解：（1）平分，平分，
，．
由三角形外角性质可知，
，，
，
，
，
，，
.
（2）由（1）同理，，
，，
.
（3）存在. ．
证明如下：延长交于点，
如图
，
，
平分，平分，
，，
．
即．
【点睛】本题综合考查了角平分线的性质、三角形的外角性质，解答关键是根据图形利用三角形外角性质推出中间结论并加以应用．
23．见解析
【分析】延长交于点，设，，利用三角形外角的性质求出，可得，同理求出，进而可得结论．
【详解】证明：如图，延长交于点，
设，，
∴，
，
同理可得，
，
．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角的和差计算，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
24．（1）∠DAE=10°；（2）∠DEF（∠C﹣∠B）．证明见解析；（3）∠DEF（∠C﹣∠B）．
【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，进而得出,由此即可解决问题．
（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG=∠DEF，依据（1）中结论即可得到
（3）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG=∠DEF，依据（1）中结论即可得到
【详解】（1）如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE∠BAC﹣（90°﹣∠C）（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
∠C∠B
（∠C﹣∠B），
∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠DAE（70°﹣50°）＝10°．
（2）结论：∠DEF（∠C﹣∠B）．
理由：如图2，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG（∠C﹣∠B），
∴∠DEF（∠C﹣∠B）．
（3）仍成立．
如图3，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG（∠C﹣∠B），
∴∠DEF（∠C﹣∠B），
故答案为∠DEF（∠C﹣∠B）．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是180°．
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