人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元测试卷（含解析）

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人教版九年级数学上册
第二十一章一元二次方程单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用配方法解方程3x2-6x-2=0时，下列配方正确的是（ ）
A．(x-2)2=5 B．(x-1)2=5 C．(x-2)2= D．(x-1)2=
2．2021年是中国共产党成立100周年，某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动．学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友图，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有931人参与了传递活动，则方程列为（ ）
A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931
3．若关于的方程的一个根是，则的值为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
4．若，则的值为（ ）
A．4或 B．4 C． D．
5．若是方程的一个根，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．无法确定
6．已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（ ）
A． B． C． D．
7．方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
8．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+﹣9＝0 C．x2＝0 D．xy+2＝1
9．实数分别满足方程和，且，求代数式的值（ ）
A． B． C． D．
10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．2 B． C．或6 D．或5
二、填空题
11．若，是方程的两个实数根，则的值为 ．
12．方程的根是 .
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为 ．
14．方程的根是 .
15．当时，二次函数的图象与轴没有交点． ( )
16．下列给出的四个命题：
①若方程两根为－1和2，则；
②若，则；
③；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为，那么，．
其中是真命题的是 ．
三、解答题
17．解方程
（1）； （2）（x﹣2）（x+5）＝18
18．关于的一元二次方程有实数根，．
(1)求的取值范围．
(2)若，求的值．
19．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件商品售价每降低1元，日销售量就增加2件．
(1)当每件的售价为50元时，日销售量为 件；
(2)若日利润为448元，为了尽快减少库存，每件的售价应降低多少元？
20．如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离）．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张面积的，则需如何设置页边距？
21．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？
22．某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？
23．每年“双十一”活动，许多网店商家都会进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价为80元．
(1)“双十一”购物活动开始前先打九折预售，问预售价为多少元？
(2)“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的售价为51.2元？
(3)据媒体爆料，有一些商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为：“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出60件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出5折销售的促销活动，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3600元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少元？
24．世界杯是世界上级别最高的足球赛事，2022年世界杯在卡塔尔隆重举行，今年世界杯的吉祥物是“拉伊卜”，它的设计灵感来源于阿拉伯标志型的白头巾，某网店现售有一大一小两种型号的“拉伊卜”摆件，已知每个大摆件的售价是每个小摆件售价的2倍还多60元，420元可购买一个大摆件和一个小摆件．
(1)每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是多少？
(2)第一天该网店按照原售价卖出大摆件30个，小摆件100个，因为小摆件库存量大，第二天商家调整了销售方案，大摆件的价格不变，小摆件的价格下调元，调整后，当天大摆件的销量下降了个，小摆件的销量增加了个，当天的销售额达到了20520元，求降价后的小摆件的价格．
参考答案
1．D
【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可．
【详解】解：∵
故选：D．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
2．C
【分析】设邀请了n个好友转发朋友圈，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．
【详解】解：由题意，得
n2+n+1＝931，
故选：C．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，难度一般，根据题意找出相等的量是关键．
3．B
【分析】把x=0代入已知方程，可以得到关于m的一元一次方程，通过解一元一次方程来求m的值．
【详解】解：把x＝0代入方程：3x2＋mx＋2m 6＝0，
得2m 6＝0，
解得 m＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
4．B
【分析】把看成一个整体，化简方程得到，利用因式分解法得出的值，再根据，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用整体思想是解题的关键，本题需注意．
5．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解答的关键是将代入求解；
将代入求解即可；
【详解】解：是一元二次方程的一个根，
满足一元二次方程，
，
；
故选：C．
6．B
【分析】由一元二次方程根的判别式先求解再利用根与系数的关系可得从而可得再利用不等式的性质可得答案．
【详解】解： 关于x的一元二次方程有实数根，
解得：
设方程的两根分别为
解得：
即
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一次函数的性质，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
7．D
【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键．
8．C
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】A．ax2+bx+c=0中不能确定a、b、c的值，所以不能确定是否是一元二次方程，此选项错误；
B．x29=0不是整式方程，不是一元二次方程，此选项错误；
C．x2=0是一元二次方程，此选项正确；
D．xy+2=1含有2个未知数，不是一元二次方程，此选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
9．A
【分析】由可得，进而可得是方程的两个根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解．
【详解】解：由可得，
∴是方程的两个根，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查根的判别式．根据题意可知，继而得到本题答案．
【详解】解：根据题意得，
解得，
即m的值为或5．
故选：D．
11．1
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得和的值，再代入求值即可得．
【详解】由一元二次方程的根与系数的关系得：，
则，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
12．
【分析】解2x4=32得x2=4或x2=-4（舍），再解x2=4可得．
【详解】解：2x4=32，
x4=16，
x2=4或x2=-4（舍），
∴x=±2，
故答案为x=±2．
【点睛】本题考查解高次方程的能力，利用平方根的定义降幂、求解是解题的关键．
13．或1或或．
【分析】依据矩形的性质，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），进而得到OF=OE，DF=BE．设BE=DF=a，则AF=3-a．当△AEF是等腰三角形时，分三种情况讨论．根据勾股定理列方程即可得到DF的长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴OF＝OE，DF＝BE．
设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．
当△AEF是等腰三角形时，分三种情况讨论．
①如图（1），当AE＝AF时，在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2，
解得a=
②如图（2），当AE＝EF时，过点E作EH⊥AD于点H，则AH＝FH＝BE，
∴AF＝2BE，
∴3﹣a＝2a，
解得a＝1．
③如图（3），当AF＝EF时，∠FAE＝∠FEA．
又∠FAE＝∠AEB，
∴∠FEA＝∠AEB．
过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AB＝1，EG＝BE＝a，
∴FG＝3﹣2a．
在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得（3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2，
解得a1＝1-, a2＝1+.
综上所述，DF的长为或1或1-或1+．
故答案为：或1或1-或1+．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，体现了逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．当等腰三角形的顶角顶点不确定时，需要列出所有情况进行分类讨论．解题时注意同类型的分类讨论问题还包括旋转方向、直角三角形的直角顶点、全等或相似三角形的对应顶点不明确．
14．
【分析】首先将方程转化形式，再提取公因式，即可得解.
【详解】解:原方程可转化为
∴方程的根为.
【点睛】此题主要考查二元一次方程的解法，熟练运用，即可解题.
15．√
【分析】根据根的判别式进行判断即可解答.
【详解】对于二次函数，
当时，则二次函数的图象与x轴没有交点；
故答案为√
【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握其定义.
16．①②④
【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得，即可判断；③根据二次根式意义运算即可；④利用根与系数的关系进行判断．
【详解】①若方程两根为和2，
则，
则，
即；
故①为真命题；
②∵，
∴或，
∴，
∴；
故②为真命题；
③∵，
∴，
故③为假命题；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，
那么，，
故④为真命题；
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键．
17．（1），；（2），
【分析】（1）可利用配方法解一元二次方程即可解答；
（2）先化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可解答．
【详解】解：（1）由得：，
∴，
∴，
∴，；
（2）由（x﹣2）（x+5）＝18得：x2+3x－28=0，
∴ (x+7) （x－4）=0，
∴x+7=0或x－4=0
∴x1=－7，x2=4．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由有实数根，可得，解之即可；
（2）由的实数根为，，得，，根据，即可得，解出的值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根，，
∴，
∴；
（2）由题意可得：，，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
19．(1)40
(2)每件的售价应降价6元
【分析】本题考查了一元二次方程在销售问题中的应用；
（1）日销售量原销售量 降价，据此即可求解；
（2）等量关系式：单件销售利润销售量总利润，据此列方程，求解，检验，即可求解；
找出等量关系式，能根据具体实际意义检验方程的根是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
（件），
故答案：．
（2）解：设每件的售价应降低元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据题意得
，
整理得：，
解得，，
为了尽快减少库存，
，
答：每件的售价应降价6元．
20．设置各页边距均为．
【分析】本题考查了一元二次方程求面积问题，根据题意表示出去掉页边的面积列出方程进而解方程即可，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设各页边距均为，列出方程得：
，
整理得：，
解方程得：，（不合，舍去），
∴，
答：需设置各页边距均为．
21．(1)每轮传染中平均一个人传染个人．
(2)．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解．
（1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感；列出方程，即可求解；
（2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
由题意得：，
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
答：每轮传染中平均一个人传染个人．
（2）则第三轮的患病人数为：．
故答案为：．
22．4米
【分析】设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40 2x）米，宽为（28 x）米的矩形，根据6个矩形区域的面积为128×6平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40 2x）米，宽为（28 x）米的矩形，
依题意得：（40 2x）（28 x）＝128×6，
整理得：x2 48x＋176＝0，
解得：（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应为4米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．(1)预售价为72元．
(2)平均每次降价率为20%，才能使这件A商品的售价为51.2元．
(3)乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为160元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据“售价=标价×折扣”即可求解；
（2）设平均每次降价率为x,建立方程即可求解；
（3）首先列出方程求出增长率,再求得标价即可；
【详解】（1）解：（元）．
答：预售价为72元．
（2）设平均每次降价率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价率为20%，才能使这件A商品的售价为51.2元．
（3）依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴．
答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为160元．
24．(1)每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是300元和120元
(2)降价后的小摆件的价格为108元
【分析】（1）设每个小摆件的售价为x元，则每个大摆件的售价为元，根据一个大摆件的价格一个小摆件的价格元，列出方程，解方程即可；
（2）先表示出调整后，当天大摆件的销量为个，小摆件的销量为个，小摆件的价格为元，然后根据调整后，当天的销售额为20520元，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每个小摆件的售价为x元，则每个大摆件的售价为元，根据题意得：
，
解得：，
（元），
答：每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是300元和120元．
（2）解：调整后，当天大摆件的销量为个，小摆件的销量为个，小摆件的价格为元，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
（元），
答：降价后的小摆件的价格为108元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确解方程．
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