人教版九年级数学上册第二十三章中心对称单元测试卷（含解析）

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人教版九年级数学上册
第二十三章中心对称单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边CE交AB于D，则旋转角等于（ ）．
A．70° B．80° C．60° D．50°
3．如图，已知中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长交于点F，若点D落在射线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将绕点B顺时针旋转角度得到，边分别交交于M，N，若，，则角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一个角度得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，△ABC中，∠BAC＝65°，将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，连接EC，若，则∠CAD的度数为（ ）
A．15° B．25° C．35° D．40°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，线段BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为（ ）
A．6 B．6 C．4＋2 D．3
9．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（ ）
A．90° B．75° C．60° D．45°
10．如图，是的边上的中线，将线段绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，中，，将其绕点旋转得到，使点落在边上，若，则的度数为 ．
12．如图，在中，，．将绕某点逆时针旋转，得到，与相交于点．若是的中点，则的长是 ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为 ．
14．如图，是等边三角形外的一点，若将绕点A顺时针旋转到，若则的长为 .
15．若点与点关于原点成中心对称，则 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转后得到，依此方式，绕点连续旋转2023次得到，那么点的坐标是 ．
三、解答题
17．如图，是等边内一点，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接、、．若，求的度数．
18．如图，已知点为等边外部一点，且，连接．
问题背景：利用旋转变换将绕点顺时针旋转60°得到，请在图1中完成作图；此时得到、、的等量关系为______（直接写出）
尝试运用：如图2，取中点，连接、，求证：．
拓展创新：如图3，延长交于点，连接，若，，直接写出的面积______．
19．如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．已知，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图：

(1)画出线段绕点B顺时针旋转后得到的线段；
(2)在线段上找点F，使得点；
(3)若线段绕着点Q旋转到，则旋转中心点Q的坐标______：
(4)连接，作出点F关于线段对称的点G．
20．如图，中，点E在边上，，将线段绕点A旋转到的位置，使得．连接，与交于点G．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．
(1)判断四边形的形状；
(2)在图1中，先在上画点，使，再在上画点，使；
(3)在图2中的上画点，使．
22．如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，，，．

(1)直接写出的形状为______；
(2)用无刻度的直尺作图；
①作的角平分线CE交x轴于E点，写出E点的坐标______；
②在CE上存在一点D，使，作出D点，并写出D点坐标______；
③直接写出CD长为______．
23．已知点，，在同一直线上，、均为等边三角形．
(1)问题发现：如图1，若点、在直线的同侧时，求证：；
(2)拓展探究：如图2，若点、在直线的异侧时，连接并延长交于点，连接，求；
(3)解决问题：如图3，点、在直线的异侧，点在线段上运动时，过点作，垂足为点，且与点不重合，若，，则的长为_____（直接用含、的式子写出结论）．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标为______；
(2)直接写出的面积为______；
(3)将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______．
25．已知，在四边形中，，连接．
(1)如图1，若，，，求的面积；
(2)如图2，若，平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若点P是射线上一动点，连接．将线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为，若，请直接写出的最小值．
参考答案
1．C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．B
【详解】解：∵将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，
∴BC=FC，∠ABC=∠F，∠A=∠E，
∴∠F=∠FBC，
∵∠A=∠E=40°，∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠F=∠FBC=90°﹣40°=50°，
∴∠BCF=180°﹣50°﹣50°=80°，即旋转角等于80°．
故选：B．
3．B
【分析】由旋转的性质可得，根据对顶角相等可得，从而证明，再根据，得出，即可得出结果．
【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质、对顶角的性质及直角三角形两锐角互余，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4．B
【分析】连接．想办法证明，再根据，利用三角形内角和定理，构建方程求出α即可．
【详解】解：连接．

∵，
∴A，B，M，D四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．C
【分析】根据旋转的性质得出，，根据得出，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角的性质得出，设，则，根据平角的定义，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，设与交于点，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角，掌握以上性质定理是解题的关键．
6．A
【分析】由旋转的性质可得AC= AE，∠EAD=∠CAB= 65°，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠AEC=∠ACE= 65°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，
∴ AC= AE，∠EAD=∠CAB= 65°，
∴∠AEC=∠ACE，
∵ EC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB = 65°，
∴∠AEC=∠ACE = 65°，
∴∠EAC =180°－2×65°= 50°，
∴∠CAD=∠CAB－∠CAE= 15°；
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．
8．D
【分析】以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，由题意可证△AOB≌△FOC，可得AB＝CF＝4，根据三角形的三边关系可求AF的最大值，即可得AO的最大值．
【详解】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，
∵四边形BCDE是正方形，
∴BO＝CO，∠BOC＝90°，
∵△AOF是等腰直角三角形，
∴AO＝FO，AF＝AO，
∵∠BOC＝∠AOF＝90°，
∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO，
∴△AOB≌△FOC（SAS），
∴AB＝CF＝4，
若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC＋CF；
若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC＋CF，
∴AF≤AC＋CF＝2＋4＝6，
∴AF的最大值为6，
由勾股定理得：
，即AO=3，
∴AO的最大值为3．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．
9．A
【分析】根据旋转角的定义可得旋转角为∠BOD，结合图形即可求得旋转的角度．
【详解】解：由题意可知，旋转角为∠BOD，
由图可知，∠BOD=90°，即旋转的角度为90°，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转角，根据题意正确找到旋转角是解答的关键．
10．B
【分析】连接利用性质的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求解 再证明： 再利用勾股定理求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接
由题意得：
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
11．/度
【分析】由旋转的性质可得，；根据等边对等角可求得；
【详解】解：由旋转的性质可得：，；
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点；熟练运用上述知识点进行倒角是解题的关键．
12．
【分析】以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，根据将绕某点逆时针旋转，得到，为中点，可得，，，，即可求得直线解析式为，直线解析式为，从而可解得，即可．
【详解】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图：
将绕某点逆时针旋转，得到，
，，，
为中点，
，
，，，，
由，得直线解析式为，
由得直线解析式为，
联立，解得，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，勾股定理，正确建立坐标系，通过联立直线解析式求出点F的坐标是解题的关键．
13．.
【分析】由题意可得△AA'C是等边三角形，可得旋转角为60°，可得△BCB'是等边三角形，可得∠A'BB'=90°，根据勾股定理可得BB'的长．
【详解】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2cm
∴∠A=60°，AB=4，
∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′
∴A'C=60°，A'B'=4，BC=B'C，∠ACA'=∠BCB'
∵AC=A'C，∠A=60°
∴△ACA'是等边三角形，
∴∠ACA'=60°，AA'=2
∴A'B=2，∠BCB'=60°，且BC=CB'
∴△BCB'是等边三角形
∴∠CBB'=60°
∴∠A'BB'=90°
∴BB'=2
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，关键是证△A'B'B是直角三角形．
14．1.
【详解】试题分析：连接PP′，观察图形可知旋转角∠PAP′=∠CAB=60°，由旋转的性质可知AP=AP′=1，可证△APP′为等边三角形，可求PP′长．
试题解析：连接PP′，
由旋转的性质，得旋转角∠PAP′=∠CAB=60°，AP=AP′=1，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′="A" P′=1．
考点：1.旋转的性质；2.等边三角形的性质．
15．
【分析】根据关于原点对称的点的特征求出的值，计算即可．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称，熟知关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数是解题的关键．
16．
【分析】依次写出的坐标，观察总结规律即可．
【详解】解： 是等腰直角三角形，，
，
，
根据旋转可得：
，
，
周期为8，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了规律探究，相关知识点有：图形的旋转、勾股定理等知识点，找到旋转变换中得规律是解题关键．
17．
【分析】根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，由全等三角形的性质可知；再证明为等边三角形，可得，然后利用两角之差即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18．问题背景：图见解析，；尝试运用：见解析；拓展创新：
【分析】问题背景：根据旋转的性质可证明是等边三角形，再证明得到，，进而得到，然后利用勾股定理可得出结论；
尝试运用：将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于F，延长交于G，连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质和线段垂直平分线的判定证明垂直平分，再证明得到，可证明垂直平分，然后根据平行线的判定与性质即可证得结论；
拓展创新：将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于F，根据前两问的结论和平行线的性质可求得，则，根据勾股定理得求得，进而求得，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：问题背景：将绕点顺时针旋转得到，如图1，
由旋转性质得，，则是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
故答案为：；
尝试运用：如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于F，延长交于G，连接，，
由上一问知，，，，
∵M为的中点，
∴，又，
∴垂直平分，即，
∵，，
∴，又，，
∴，
∴，又，
∴，又，
∴垂直平分，即，
∵，即，
∴，又，
∴；
拓展创新：如图3，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于F，
由上一问知，，，，
∴，，
∴，
∴，
根据勾股定理得，
∵，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含直角三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，利用类比方法正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19．(1)见详解
(2)见详解
(3)或；
(4)见详解
【分析】（1）根据旋转的性质，画出线段绕点B顺时针旋转后得到的线段即可；
（2）连接，交于点F即为所求；
（3）分两种情况分类求解；
（4）连接 ，过F作的平行线，交于G，即为所求F点对称点．
【详解】（1）根据旋转的性质，画出线段绕点B顺时针旋转后得到的线段，如图所示：

（2）连接，交于点F即为所求；如图：
，
，
，
；

（3）当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时，连接，作的垂直平分线m和n，交于点Q，即为旋转中心，坐标为：；

当点A和点C为对应点，点B和点D为对应点时，连接，作的垂直平分线m和n，交于点Q，即为旋转中心，坐标为：；

（4）连接 ，过F作的平行线，交于G，即为所求F点对称点；
【点睛】该题主要考查了轴对称图形、旋转图形的画法，旋转中心的确定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，解答该题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，旋转的性质．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，利用“SAS”证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，进而得到的度数，再由全等三角形的性质得出，最后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵将线段绕点A旋转到的位置，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键．
21．(1)四边形是平行四边形
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可；
（2）取格点T，连接，，交于点E，点E即为所求．连接，交于点O，连接，延长交于点F，点F即为所求；
（3）取格点R，连接，取的中点Q，连接，延长交于点G，点G即为所求．
【详解】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图1中，点E，点F即为所求；
根据格点特点可知，，，
∴，
∴；
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：如图2中，点G即为所求．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．(1)见解析
(2)①；②；③
【分析】（1）利用勾股定理分别求出、、，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
（2）①取，作，且，连接，的角平分线是以为边的正方形的对角线，即可求解．
②作线段的垂直平分线与相交，则该交点即为点D，由此点D的横坐标为，
设直线的表达式为：，利用待定系数法求出解析式，代入点D的横坐标即可求解．
③根据②中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解： ，，
，
，，
，，
，
，即，
为直角三角形．
（2）① 为直角三角形,且，
，
的角平分线是以为边的正方形的对角线，
取，作，且，连接，如图所示：
则：四边形为正方形，连接并延长交x轴于E点，由于网格边长为1，
E点的坐标为：，
故答案为：．

②作线段的垂直平分线与相交，则该交点即为点D，如图所示：
又，
，
点D的横坐标为，
设直线的表达式为：，
由①得，则：
，解得，
直线的表达式为：，
当时，，
点D的，
故答案为：．
③由②可得，由题意可得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，待定系数法求一次函数的解析式，尺规作图，熟练掌握勾股定理及逆定理和待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）根据和都是等边三角形得出，，利用可证明；
（2）在上截取，连接，如图2，证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案；
（3）分两种情况，当F在线段的延长线上时或当点F在线段上时，由全等三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即．
在和中，
，
∴；
（2）解：在上截取，连接，如图2，
由（1）得：，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
在等边中，，，
∴，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：如图2，当在线段的延长线上时，
由（2）可知，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
同理可得，
∴，
∴；
如图3，当点在线段上时，
同理可得，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）关于原点对称，则各点的横纵坐标变为原来的横纵坐标的相反数，确定点坐标后，连接各点坐标，即可得到所求图形；
（2）如图所示（见详解），利用“割补法”，则，由此即可求解；
（3），，绕某点旋转后的对应点为，，，
连接对应点，并作连线的垂直平分线即可求解．
【详解】（1）解：的点的坐标是，，，则关于原点对称的的各点的坐标是，，，如图所示，即为所求，
∴的坐标为．
（2）解：如图所示，利用“割补法”，
∴，
∴，
∴的面积为．
（3）解：∵，，绕某点旋转后的对应点为，，，
∴如图所示，连接，，，
设旋转点的坐标为，则从点到点，点的距离相等，且，
∴，
∴在中，，
∴，即点到的距离为，点到的距离为，
∴旋转点在连线的垂直平分线上，即旋转点在与对应点连线的垂直平分线上，如图所示，
∴旋转点的坐标为．
【点睛】本题主要考查图形的变换，点在平面直角坐标系中的变换，掌握旋转的性质，“割补法”求面积是解题的关键．
25．(1)
(2)见解析
(3)的最小值是
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，
（1）过点C作于点M，则，根据得，在中，，根据勾股定理得，，计算得，即可得；
（2）延长得到E，使，连接，根据，平分得，则是等边三角形，，，即可得，根据，得，利用可证明，则，根据，即可得；
（3）由（2）知，，根据线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为的，根据点P是射线上一动点得时，最小，根据得，则，即可得；
掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作于点M，
∴，
∵，
∴，
在中，，根据勾股定理得，，
∴，，
∴；
（2）证明：如图所示，延长得到E，使，连接，

∵，平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）知，，
∵线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为，
∴，
∵点P是射线上一动点，
∴时，最小，
∵，∴，
∴，
∴的最小值是．
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