江苏省常州市教育学会2023-2024学年高二下学期6月学业水平监测数学试题
1．（2024高二下·常州期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，
因为，
所以，即.
故选：B
【分析】先将集合化简，再利用交集运算的定义（由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集，即且）求解.
2．（2024高二下·常州期末）已知曲线在处的切线斜率为2，则（ ）
A． B．18 C． D．8
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：，由题意，解得.
故选：C.
【分析】利用导数四则运算法则求出导数后，结合导数的几何意义（ 导数的几何意义指的就是在曲线上点的切线的斜率）计算即可得.
3．（2024高二下·常州期末）对于实数 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边，
故答案为：B。
【分析】由不等式的基本性质结合已知条件，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而推出命题 “ ”是命题“ ”的必要不充分条件。
4．（2024高二下·常州期末）从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为从3名男生与2名女生中选出2人有种选法，
选的两人恰有1名男生与1名女生的有种选法，
所以所求的概率为.
故选：C
【分析】求出从5人中选2人的方法数，再求出选的两人恰有1名男生与1名女生的方法数，然后由古典概型的概率公式（个事件的概率等于该事件包含的基本事件数除以样本空间中所有可能的基本事件数）求解即可.
5．（2024高二下·常州期末）某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高近似服从正态分布，且，则在10000位高一新生中身高在区间内的人数约为（ ）
A．2000 B．4000 C．6000 D．8000
【答案】D
【知识点】随机数的含义与应用
【解析】【解答】解：由，，则，
，故人数约为人.
故选：D.
【分析】借助正态分布的对称性（正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称，且）计算出，即可得到答案.
6．（2024高二下·常州期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：
，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：D.
【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，即，当且仅当时等号成立）计算即可得.
7．（2024高二下·常州期末）已知函数的部分图象如图，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图像可知：，所以，
把代入解析式得：，
因为，取得，
所以，则.
故选：B.
【分析】利用正切型函数的图象以及三角函数的周期性质得出最小正周期，再利用周期计算公式算出，将代入解析式结合已知条件求出，从而得解.
8．（2024高二下·常州期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
由题意可得，当时，，即在上单调递增，
由，则，
即，故为偶函数，故在上单调递减，
则不等式可化为：，
即，则有，即，
即，即，
解得.
故选：B.
【分析】构造函数，对函数求导，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，再利用偶函数的定义（如果对于函数的定义域内任意的一个，都有，那么函数就叫做偶函数）可得为偶函数，在将所给不等式中化为即可得解.
9．（2024高二下·常州期末）已知符号函数，则（ ）
A．是周期函数
B．对任意的，
C．函数的值域为
D．函数的值域为或
【答案】B,D
【知识点】函数的值域；对数函数的图象与性质；幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】解：对A：由，当时，，故不是周期函数，故A错误；
对B：，由，则，
故对任意的，，故B正确；
对C：，当时，，
当时，，当时，，
综上所述，函数的值域为，故C错误；
对D：，则时，，
当时，，当时，，
故函数的值域为或，故D正确.
故选：BD.
【分析】对A：利用周期函数性质（对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期）举出反例—符号函数即可得；对B：将与都写成分段形式即可得；对C、D：利用符号函数，将所给函数化为分段函数形式后结合指数与对数函数的性质分段计算其值域即可得.
10．（2024高二下·常州期末）现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M：该球为红球，事件：该球出自编号为的袋子，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意可知，
故，
，
故选：ACD
【分析】先利用古典概型计算公式（一个事件的概率等于该事件包含的基本事件数除以样本空间中所有可能的基本事件数）计算出事件M和事件发生的概率，再根据条件概率的计算公式即可结合选项逐一求解.
11．（2024高二下·常州期末）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，点的轨迹长度为
B．若平面，则长度的最小值为2
C．当时，二面角的余弦值的最小值是
D．记直线与平面所成角为，则的取值范围是
【答案】A,D
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
则有，，设，，，
对A：，故，
则点的轨迹为以为圆心，为半径，且在正方形内部的半圆，
则点的轨迹长度为，故A正确；
对B：，，，
则，，令平面的法向量为，
则有，可令，则，即，
由平面，则有，
即，则
，故B错误；
对C：，，，
设平面的法向量为，
则有，
可令，则，，即，
易得轴平面，故平面的法向量可为，
则，
由A知，故，即，
则，
故二面角的余弦值的最小值是，故C错误；
对D：，平面法向量为，
则，
由，，则，
故，故D正确.
故选：AD.
【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出点坐标，并且写出相关点的坐标，对A：利用空间两点间距离公式（设两点的坐标是和，则两点之间的距离公式为）计算即可得点轨迹，即可得其长度；对B：借助空间向量求出平面法向量可得点轨迹，即可得其长度的最小值；对C：借助空间向量求出两平面的法向量后可得其夹角的余弦值，结合点轨迹即可得其范围；对D：求出平面法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得.
12．（2024高二下·常州期末）已知函数，，若存在实数，，使得，请写出的一个可能值： .
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为，所以，满足，此时，
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】取分别代入两个函数，满足已知条件两个函数值相等，即可得出答案.
13．（2024高二下·常州期末）如图，在半径为8的半圆形纸片中，为圆心，为直径，是弧的中点，是弧的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线与所成角的余弦值是 .
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线
【解析】【解答】解：如图，
设圆锥的底面圆半径为，则，
是弧的中点，为等腰直角三角形，故，
过作交底面圆于，则为弧中点，故，
又，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值．
故答案为：.
【分析】根据圆锥的几何特征求出圆锥的底面圆半径，结合异面直线所成角的几何法和等腰直角三角形的性质，即可利用三角形的边角关系（在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边闭上斜边）求解.
14．（2024高二下·常州期末）定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 .
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，
所以两个数中有一个负数，不妔设，所以，
由已知可得，所以，
所以，所以，
所以，所以，
由，故的最大值是.
故答案为：
【分析】根据题意先分析出实数，一负两正，然后利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）放缩求出最小值的最大值即可得出答案.
15．（2024高二下·常州期末）已知，命题：，为真命题.实数的取值集合记为.
（1）求集合；
（2）设的定义域为集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为命题：，为真命题，
所以，解得，所以；
（2）解：对于函数，则，
即，因为，
解得，
所以，又，
所以，解得，即实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）根据判别式求出的取值范围，即可求出集合；
（2）根据对数函数的定义可得，利用不等式的性质进行变形，即可求出集合，再根据集合的包含关系，得到，即可求解.
16．（2024高二下·常州期末）如图，直线平面，四边形是梯形，，，为线段上异于端点的一点，，四边形是平行四边形.
（1）若是的中点，求证：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明：连接，设其与交于，由四边形是平行四边形，则为中点，
连接，又是的中点，则，
由平面，平面，故平面；
（2）解：由平面，平面，则，，
有，，平面，故平面，
又平面，故，故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、，
则、、，
令平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
令，则有，，，，
即，，
则，
由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为，
则二面角的大小为.
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理（如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与此平面平行）即可得；
（2）结合所给位置关系，建立适当空间直角坐标系，借助空间向量夹角公式计算即可得.
17．（2024高二下·常州期末）在①在区间上单调递增，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数，___________.
（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调增区间.
【答案】（1）解：选条件①在区间上单调递增，
因为，所以，
所以满足条件，得，
又因为，所以取，所以；
选条件②，得，
又，所以，得，所以
选条件③，知是的一条对称轴，
所以，则
又因为，所以，
所以，
当时，，所以，
因为恒成立，所以，
当时，的最大值为，的最小值为，
则
故实数的取值范围
（2）解：由（1）知，
因为将函数的图象向右平移个单位后，得，
再将得到的图象上各点的横坐标变为倍，得，
由，得，
所以的单调增区间是
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出，进而求出函数在的最值，再结合恒成立的不等式求解即得.
（2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换（平移变换：左加右减）求出，再利用正弦函数的性质求出递增区间.
18．（2024高二下·常州期末）某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题.
（1）对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；
（2）求聊天机器人答对题数的数学期望；
（3）答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.
【答案】（1）解：小王能全部答对的概率为；
（2）解：设每次输入的问题出现语法错误为事件A，则，
聊天机器人作答正确为事件，
则
，
所以聊天机器人答对题数，
数学期望；
（3）解：由题意可得小王最少答对4道题，
小王能答对5道题的概率为，答对4道题的概率为，
由（2）知，聊天机器人答对题数，
故机器人能答对5道题的概率为，
机器人能答对4道题的概率为，
故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，
故机器人获胜的概率为，
小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，
其中都答对5道题的概率为，
都答对4道题的概率为，
所以小王获胜的概率为.
【知识点】二项分布；组合及组合数公式；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率；
（2）先用字母表示出相关事件，根据题意得出相关事件的概率，再根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到，根据二项分布期望公式（若，则）求出答案；
（3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率.
19．（2024高二下·常州期末）已知函数，.
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明.
【答案】（1）解：，则有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，
则当时，恒成立，
故在上单调递增，
又，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
即有，故；
（2）证明：当时，关于的方程有三个不同的实数根，证明如下：
当时，令，即，
令，则，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
故存在，，使，
由，故是方程的一个根，
则，，又时，，
故存在，使，即是方程的一个根，
存在，使，即是方程的一个根，
综上所述，当时，关于的方程有三个不同的实数根.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）参变分离后可得在上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解；
（2）构造函数，结合导数正负与函数单调性的关系可得其函数单调性，进而可得其极值点，结合零点的存在性定理（如果在闭区间的两端取值异号，即，则在该区间内至少存在一个零点）即可得其零点个数，即可得方程的实数根的个数.
1 / 1江苏省常州市教育学会2023-2024学年高二下学期6月学业水平监测数学试题
1．（2024高二下·常州期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·常州期末）已知曲线在处的切线斜率为2，则（ ）
A． B．18 C． D．8
3．（2024高二下·常州期末）对于实数 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·常州期末）从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·常州期末）某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高近似服从正态分布，且，则在10000位高一新生中身高在区间内的人数约为（ ）
A．2000 B．4000 C．6000 D．8000
6．（2024高二下·常州期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
7．（2024高二下·常州期末）已知函数的部分图象如图，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·常州期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·常州期末）已知符号函数，则（ ）
A．是周期函数
B．对任意的，
C．函数的值域为
D．函数的值域为或
10．（2024高二下·常州期末）现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M：该球为红球，事件：该球出自编号为的袋子，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·常州期末）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，点的轨迹长度为
B．若平面，则长度的最小值为2
C．当时，二面角的余弦值的最小值是
D．记直线与平面所成角为，则的取值范围是
12．（2024高二下·常州期末）已知函数，，若存在实数，，使得，请写出的一个可能值： .
13．（2024高二下·常州期末）如图，在半径为8的半圆形纸片中，为圆心，为直径，是弧的中点，是弧的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线与所成角的余弦值是 .
14．（2024高二下·常州期末）定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 .
15．（2024高二下·常州期末）已知，命题：，为真命题.实数的取值集合记为.
（1）求集合；
（2）设的定义域为集合，若，求实数的取值范围.
16．（2024高二下·常州期末）如图，直线平面，四边形是梯形，，，为线段上异于端点的一点，，四边形是平行四边形.
（1）若是的中点，求证：平面；
（2）求二面角的大小.
17．（2024高二下·常州期末）在①在区间上单调递增，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数，___________.
（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调增区间.
18．（2024高二下·常州期末）某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题.
（1）对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；
（2）求聊天机器人答对题数的数学期望；
（3）答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.
19．（2024高二下·常州期末）已知函数，.
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，
因为，
所以，即.
故选：B
【分析】先将集合化简，再利用交集运算的定义（由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集，即且）求解.
2．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：，由题意，解得.
故选：C.
【分析】利用导数四则运算法则求出导数后，结合导数的几何意义（ 导数的几何意义指的就是在曲线上点的切线的斜率）计算即可得.
3．【答案】B
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边，
故答案为：B。
【分析】由不等式的基本性质结合已知条件，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而推出命题 “ ”是命题“ ”的必要不充分条件。
4．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为从3名男生与2名女生中选出2人有种选法，
选的两人恰有1名男生与1名女生的有种选法，
所以所求的概率为.
故选：C
【分析】求出从5人中选2人的方法数，再求出选的两人恰有1名男生与1名女生的方法数，然后由古典概型的概率公式（个事件的概率等于该事件包含的基本事件数除以样本空间中所有可能的基本事件数）求解即可.
5．【答案】D
【知识点】随机数的含义与应用
【解析】【解答】解：由，，则，
，故人数约为人.
故选：D.
【分析】借助正态分布的对称性（正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称，且）计算出，即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：
，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：D.
【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，即，当且仅当时等号成立）计算即可得.
7．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图像可知：，所以，
把代入解析式得：，
因为，取得，
所以，则.
故选：B.
【分析】利用正切型函数的图象以及三角函数的周期性质得出最小正周期，再利用周期计算公式算出，将代入解析式结合已知条件求出，从而得解.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
由题意可得，当时，，即在上单调递增，
由，则，
即，故为偶函数，故在上单调递减，
则不等式可化为：，
即，则有，即，
即，即，
解得.
故选：B.
【分析】构造函数，对函数求导，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，再利用偶函数的定义（如果对于函数的定义域内任意的一个，都有，那么函数就叫做偶函数）可得为偶函数，在将所给不等式中化为即可得解.
9．【答案】B,D
【知识点】函数的值域；对数函数的图象与性质；幂函数图象及其与指数的关系
【解析】【解答】解：对A：由，当时，，故不是周期函数，故A错误；
对B：，由，则，
故对任意的，，故B正确；
对C：，当时，，
当时，，当时，，
综上所述，函数的值域为，故C错误；
对D：，则时，，
当时，，当时，，
故函数的值域为或，故D正确.
故选：BD.
【分析】对A：利用周期函数性质（对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期）举出反例—符号函数即可得；对B：将与都写成分段形式即可得；对C、D：利用符号函数，将所给函数化为分段函数形式后结合指数与对数函数的性质分段计算其值域即可得.
10．【答案】A,C,D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意可知，
故，
，
故选：ACD
【分析】先利用古典概型计算公式（一个事件的概率等于该事件包含的基本事件数除以样本空间中所有可能的基本事件数）计算出事件M和事件发生的概率，再根据条件概率的计算公式即可结合选项逐一求解.
11．【答案】A,D
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示：
则有，，设，，，
对A：，故，
则点的轨迹为以为圆心，为半径，且在正方形内部的半圆，
则点的轨迹长度为，故A正确；
对B：，，，
则，，令平面的法向量为，
则有，可令，则，即，
由平面，则有，
即，则
，故B错误；
对C：，，，
设平面的法向量为，
则有，
可令，则，，即，
易得轴平面，故平面的法向量可为，
则，
由A知，故，即，
则，
故二面角的余弦值的最小值是，故C错误；
对D：，平面法向量为，
则，
由，，则，
故，故D正确.
故选：AD.
【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出点坐标，并且写出相关点的坐标，对A：利用空间两点间距离公式（设两点的坐标是和，则两点之间的距离公式为）计算即可得点轨迹，即可得其长度；对B：借助空间向量求出平面法向量可得点轨迹，即可得其长度的最小值；对C：借助空间向量求出两平面的法向量后可得其夹角的余弦值，结合点轨迹即可得其范围；对D：求出平面法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得.
12．【答案】2（答案不唯一）
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为，所以，满足，此时，
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】取分别代入两个函数，满足已知条件两个函数值相等，即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线
【解析】【解答】解：如图，
设圆锥的底面圆半径为，则，
是弧的中点，为等腰直角三角形，故，
过作交底面圆于，则为弧中点，故，
又，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值．
故答案为：.
【分析】根据圆锥的几何特征求出圆锥的底面圆半径，结合异面直线所成角的几何法和等腰直角三角形的性质，即可利用三角形的边角关系（在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边闭上斜边）求解.
14．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，
所以两个数中有一个负数，不妔设，所以，
由已知可得，所以，
所以，所以，
所以，所以，
由，故的最大值是.
故答案为：
【分析】根据题意先分析出实数，一负两正，然后利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）放缩求出最小值的最大值即可得出答案.
15．【答案】（1）解：因为命题：，为真命题，
所以，解得，所以；
（2）解：对于函数，则，
即，因为，
解得，
所以，又，
所以，解得，即实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）根据判别式求出的取值范围，即可求出集合；
（2）根据对数函数的定义可得，利用不等式的性质进行变形，即可求出集合，再根据集合的包含关系，得到，即可求解.
16．【答案】（1）证明：连接，设其与交于，由四边形是平行四边形，则为中点，
连接，又是的中点，则，
由平面，平面，故平面；
（2）解：由平面，平面，则，，
有，，平面，故平面，
又平面，故，故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、，
则、、，
令平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
令，则有，，，，
即，，
则，
由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为，
则二面角的大小为.
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理（如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与此平面平行）即可得；
（2）结合所给位置关系，建立适当空间直角坐标系，借助空间向量夹角公式计算即可得.
17．【答案】（1）解：选条件①在区间上单调递增，
因为，所以，
所以满足条件，得，
又因为，所以取，所以；
选条件②，得，
又，所以，得，所以
选条件③，知是的一条对称轴，
所以，则
又因为，所以，
所以，
当时，，所以，
因为恒成立，所以，
当时，的最大值为，的最小值为，
则
故实数的取值范围
（2）解：由（1）知，
因为将函数的图象向右平移个单位后，得，
再将得到的图象上各点的横坐标变为倍，得，
由，得，
所以的单调增区间是
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出，进而求出函数在的最值，再结合恒成立的不等式求解即得.
（2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换（平移变换：左加右减）求出，再利用正弦函数的性质求出递增区间.
18．【答案】（1）解：小王能全部答对的概率为；
（2）解：设每次输入的问题出现语法错误为事件A，则，
聊天机器人作答正确为事件，
则
，
所以聊天机器人答对题数，
数学期望；
（3）解：由题意可得小王最少答对4道题，
小王能答对5道题的概率为，答对4道题的概率为，
由（2）知，聊天机器人答对题数，
故机器人能答对5道题的概率为，
机器人能答对4道题的概率为，
故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，
故机器人获胜的概率为，
小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，
其中都答对5道题的概率为，
都答对4道题的概率为，
所以小王获胜的概率为.
【知识点】二项分布；组合及组合数公式；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率；
（2）先用字母表示出相关事件，根据题意得出相关事件的概率，再根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到，根据二项分布期望公式（若，则）求出答案；
（3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率.
19．【答案】（1）解：，则有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，
则当时，恒成立，
故在上单调递增，
又，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
即有，故；
（2）证明：当时，关于的方程有三个不同的实数根，证明如下：
当时，令，即，
令，则，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
故存在，，使，
由，故是方程的一个根，
则，，又时，，
故存在，使，即是方程的一个根，
存在，使，即是方程的一个根，
综上所述，当时，关于的方程有三个不同的实数根.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）参变分离后可得在上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解；
（2）构造函数，结合导数正负与函数单调性的关系可得其函数单调性，进而可得其极值点，结合零点的存在性定理（如果在闭区间的两端取值异号，即，则在该区间内至少存在一个零点）即可得其零点个数，即可得方程的实数根的个数.
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