贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题
1．（2024高二下·遵义期末）已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，，
得．
故选：A．
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则得出集合M和集合N的交集.
2．（2024高二下·遵义期末）已知等差数列的公差为1，，则（ ）．
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，则，
由等差数列的公差为1，，
所以，
所以.
故选：B.
【分析】利用已知条件和等差数列的性质可得的值.
3．（2024高二下·遵义期末）下列散点图中，相关性系数最大的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：观察4幅图可知，图C的散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，
所以，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，且值相比于其他3图更接近1.
故选：C.
【分析】由散点图的集中、分散程度和相关系数判断线性相关程度强弱的方法，从而得出相关系数最大的选项.
4．（2024高二下·遵义期末）某一射手射击所得环数的分布列如下：
4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21
则（ ）．
A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21
【答案】B
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，.
故选：B.
【分析】根据分布列中的概率和为1的性质可得的值，再结合对立事件概率公式可得的值.
5．（2024高二下·遵义期末）内角A，B，C对应边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理，
得，解得，
所以，三角形的面积为.
故选：D.
【分析】根据给定条件结合余弦定理求出的值，再利用三角形面积公式计算得出三角形的面积.
6．（2024高二下·遵义期末）已知，，则（ ）．
A． B． C． D．t
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵，∴，即，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】根据同角三角函数基本关系式和两角差的正弦公式，进而得出的值.
7．（2024高二下·遵义期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，为减函数，且，那么不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为函数是定义在R上的奇函数，则，
当时，为减函数，所以，函数在上是减函数，
又因为，所以，
又因为不等式等价于或，
所以或，即不等式的解集为.
故选：D.
【分析】利用奇函数的性质和函数的单调性，进而将不等式等价变形，从而解不等式组得出不等式的解集.
8．（2024高二下·遵义期末）方程的非负整数解个数为（ ）．
A．220 B．120 C．84 D．24
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，可知为非负整数，
因为，所以，
从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球，
一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种.
故选：A.
【分析】利用已知条件，将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，再利用隔板法和组合数公式得出方程的非负整数解个数.
9．（2024高二下·遵义期末）下列说法正确的是（ ）．
A．某同学上学途中经过5个红绿灯路口，遇到红灯的个数为X，若，则
B．物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程（x，y单位为分），l的斜率1.1可以解释为：数学成绩每提高1分，物理成绩一定提高1.1分
C．若随机变量X，Y满足，则
D．设随机变量，则
【答案】A,C
【知识点】回归分析的初步应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，，则，所以A正确；
对于B，数学成绩每提高1分，物理成绩大约提高1.1分，所以B错误；
对于C，由，得，所以C正确；
对于D，随机变量，则，所以D错误.
故选：AC.
【分析】利用二项分布的期望公式判断出选项A；利用回归直线方程的意义，从而判断出选项B；利用方差的性质，从而判断出选项C；利用正态分布对应的密度曲线的对称性，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高二下·遵义期末）已知随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）．
A．若A与B相互独立，则
B．若A与B互斥，则
C．若，则
D．若随机事件C满足，，则
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A，若A与B相互独立，
则，故A正确；
对于B，若A与B互斥，则，
由，
故，故B错误；
对于C，若，
则，故C正确；
对于D，因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【分析】根据已知条件和相互独立事件的乘法求概率公式判断出选项A；根据已知条件和互斥事件加法求概率公式以及概率的基本性质判断出选项B；根据条件概率公式和互斥事件加法求概率公式以及概率的基本性质判断出选项C和选项D，进而找出说法正确的选项.
11．（2024高二下·遵义期末）设是定义在上的函数，满足，且对任意，（为常数），点在曲线上，为数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）．
A．的解析式可能为
B．若，则
C．若在上是增函数，则
D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；数列的函数特性；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：对于A，当时，由于满足条件，
故的解析式可能是，故A正确；
下面先对原条件进行探究.
在中，令，
得，所以，，
在中，令，
得出，所以，
在中，分别用替换，
得出，从而，
由已知，有，在中，
令，，得，
故，
所以，数列是公比为的等比数列，
又因为，故，
对于B，若，则，
所以，故，故B正确；
对于C，由于当时，满足条件，且是增函数，
但此时，故C错误；
对于D，若，则，
所以
，故D正确.
故选：ABD.
【分析】利用已知条件和a的值和赋值法、替换法以及等比数列的定义，从而得出函数的解析式，从而判断出选项A；利用等比数列的通项公式得出，再用等比数列求和公式得出数列的前项和，从而判断出选项B ；由函数的单调性和作为反例判断出选项C；利用和裂项求和的方法判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．（2024高二下·遵义期末）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 种不同的走法．
【答案】14
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3=6种，
第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2=8种，
根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，
故从甲地到丁地共有14条不同的路线．
故填：14.
【分析】根据已知条件和分类加法原理、分步乘法原理得出共有的不同的走法种数.
13．（2024高二下·遵义期末）在二项式的展开式中，常数项为 ．
【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为二项式的展开式中通项公式为，
则，令，解得，
所以，当时，二项展开式的常数项为.
故填：.
【分析】利用二项式定理求出二项展开式的通项公式，再利用常数项的定义得出r的值，从而得出二项展开式中常数项的值.
14．（2024高二下·遵义期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，即，
由点到直线距离公式可知：，
，，
∵，即，
设，则，
而，，
由正切二倍角公式可知：，
即，化简可得：，即，
由双曲线离心率公式可知.
故填：.
【分析】利用双曲线方程得出焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线距离公式得出，再由双曲线中a，b，c三者的关系式和，从而用表示出，再根据正切的二倍角公式，即可求得与的等量关系式，再由双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率.
15．（2024高二下·遵义期末）如图，已知四棱锥中，底面是一个边长为的正方形，平面，是棱的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，交于点，连接，
因为是正方形对角线的交点，
所以是的中点，
又因为是棱的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：如图所示，以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，利用三角形中位线性质得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出各点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的一个法向量，再利用数量积求两向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）如图所示，连接，交于点，连接，
因为是正方形对角线的交点，
所以是的中点，
又因为是棱的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，得证.
（2）如图所示，以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．（2024高二下·遵义期末）每年6月26日为国际禁毒日，某校高二年级组织了7个社团小队在校内进行禁毒知识宣讲活动，校团委记录了7个队宣讲活动的参与人数，得到下表：
社团编号（队） 一 二 三 四 五 六 七
参与人数（人） 101 133 213 143 157 169 185
（1）若从这7个队中随机选择1个队，求该队宣讲活动的参与人数超过160人的概率；
（2）若从这7个队中随机选择4个队，X表示4个队中宣讲活动的参与人数超过160人的队数，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：这7个队中宣讲活动的参与人数超过160人有个，
则所求概率.
（2）解：由题意，可取，
，
，
所以的分布列为：
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件和古典概型求概率公式得出该队宣讲活动的参与人数超过160人的概率.
（2）利用已知条件得出随机变量的所有可能取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求期望公式得出随机变量X的数学期望.
（1）这7个队中宣讲活动的参与人数超过160人有个，
所以所求概率；
（2）由题意，可取，
，
，
所以的分布列为：
所以.
17．（2024高二下·遵义期末）数列的前n项和记为，已知，．
（1）求证：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最大值．
【答案】（1）证明：①，
当时，②，
得：，
即，
即，且，
是公差为的等差数列.
（2）解：由（1）知是公差为的等差数列，
，
又，，成等比数列，
，
，即，
故，解得.
，
，
二次函数的对称轴为，
，当或时取到最大值为.
故的最大值为.
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）利用与的关系式和等差数列的定义，从而证出数列是等差数列.
（2）由（1）知是公差为的等差数列，再结合等差数列的通项公式和等比中项公式得出首项的值，再由等差数列的前项和公式可得，利用二次函数的对称性和最值求解方法可得的最大值.
（1）①，
当时，②，
得：，
即，即，且.
是公差为的等差数列.
（2）由（1）知是公差为的等差数列，
，
又，，成等比数列，
，
，即，
故，解得.
，
，
二次函数的对称轴为，
，当或时取到最大值为.
故的最大值为.
18．（2024高二下·遵义期末）巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕，足球是一项大众喜爱的运动．本次奥运会将有16支男足球队和12支女足球队参赛，首场比赛将于7月24日开始．为了解某校学生是否喜爱足球运动与性别有关，利用分层抽样抽取了男生和女生各100名同学进行调查，得到2×2列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 60 40 100
女生 20 80 100
合计 80 120 200
（1）根据调查数据回答：能否有99.9％的把握认为是否喜爱足球运动与性别有关？
（2）该校足球校队甲、乙、丙三名队员进行点球训练，他们命中点球的概率均为0.5，而且是否命中互不影响．现每人各点球两次，求三名队员命中总次数不少于4次的概率；
（3）现从该校学生中任选一人，A表示事件“选到的人喜爱足球运动”，B表示事件“选到的人是男生”，利用该样本调查数据．
证明：
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：由2×2列联表可知，
所以，有99.9％的把握认为喜爱足球运动与性别有关.
（2）解：由题意，所求概率 .
（3）证明：由题意可知
，
所以，
，
，
，
则，
所以.
【知识点】独立性检验的应用；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）根据2×2列联表中的数据和独立性检验的方法，从而判断出有99.9％的把握认为喜爱足球运动与性别有关..
（2）利用已知条件和二项分布求概率公式得出三名队员命中总次数不少于4次的概率.
（3）利用已知条件和古典概型求概率公式和对立事件求概率公式求出各个事件的概率，再利用条件概率公式证出成立.
（1），
所以有99.9％的把握认为喜爱足球运动与性别有关；
（2）由题意，所求概率；
（3）由题意，
，
所以，
，
，
，
则，
所以.
19．（2024高二下·遵义期末）如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形．
（1）求，，；（直接写出结果）
（2）求数列的通项公式；
（3）设，证明：．
【答案】（1）解：由为等腰直角三角形，
所以直线的斜率为1，
故直线的方程为，与抛物线方程联立可得，
可解得或，
可得，可得的横坐标为1，
因为，解得，
由，所以，
可得，
可得，
解得.
（2）解：由题意可得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以.
（3）证明：由（2）可得，
，
所以，
所以，
，
所以.
【知识点】数列的求和；直线与圆锥曲线的关系；反证法与放缩法；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的结构特征得出直线的斜率，再由斜截式得出直线的方程，从而联立抛物线方程得出交点的横坐标，从而得出数列的首项和第二项的值，同理可得第三项的值.
（2）由题意可得，进而可得，再结合等差数列的定义判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（3）由（2）中数列的通项公式可得，再结合放缩法和等差数列前n项和公式，从而证出不等式成立.
（1）由为等腰直角三角形，所以直线的直线斜率为1，
故直线的方程为，与抛物线方程联立可得，可解得或，
从而可得，可得的横坐标为1，因为，解得，
由，所以，可得，
可得，解得；
（2）由题意可得，所以，
所以，所以，
所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
（3）由（1）可得，
所以，
所以，
，
所以.
1 / 1贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试题
1．（2024高二下·遵义期末）已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．2
2．（2024高二下·遵义期末）已知等差数列的公差为1，，则（ ）．
A．10 B．12 C．14 D．16
3．（2024高二下·遵义期末）下列散点图中，相关性系数最大的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·遵义期末）某一射手射击所得环数的分布列如下：
4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21
则（ ）．
A．0.58 B．0.5 C．0.29 D．0.21
5．（2024高二下·遵义期末）内角A，B，C对应边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024高二下·遵义期末）已知，，则（ ）．
A． B． C． D．t
7．（2024高二下·遵义期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，为减函数，且，那么不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·遵义期末）方程的非负整数解个数为（ ）．
A．220 B．120 C．84 D．24
9．（2024高二下·遵义期末）下列说法正确的是（ ）．
A．某同学上学途中经过5个红绿灯路口，遇到红灯的个数为X，若，则
B．物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程（x，y单位为分），l的斜率1.1可以解释为：数学成绩每提高1分，物理成绩一定提高1.1分
C．若随机变量X，Y满足，则
D．设随机变量，则
10．（2024高二下·遵义期末）已知随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）．
A．若A与B相互独立，则
B．若A与B互斥，则
C．若，则
D．若随机事件C满足，，则
11．（2024高二下·遵义期末）设是定义在上的函数，满足，且对任意，（为常数），点在曲线上，为数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）．
A．的解析式可能为
B．若，则
C．若在上是增函数，则
D．若，则
12．（2024高二下·遵义期末）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 种不同的走法．
13．（2024高二下·遵义期末）在二项式的展开式中，常数项为 ．
14．（2024高二下·遵义期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为 ．
15．（2024高二下·遵义期末）如图，已知四棱锥中，底面是一个边长为的正方形，平面，是棱的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16．（2024高二下·遵义期末）每年6月26日为国际禁毒日，某校高二年级组织了7个社团小队在校内进行禁毒知识宣讲活动，校团委记录了7个队宣讲活动的参与人数，得到下表：
社团编号（队） 一 二 三 四 五 六 七
参与人数（人） 101 133 213 143 157 169 185
（1）若从这7个队中随机选择1个队，求该队宣讲活动的参与人数超过160人的概率；
（2）若从这7个队中随机选择4个队，X表示4个队中宣讲活动的参与人数超过160人的队数，求X的分布列和数学期望．
17．（2024高二下·遵义期末）数列的前n项和记为，已知，．
（1）求证：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最大值．
18．（2024高二下·遵义期末）巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕，足球是一项大众喜爱的运动．本次奥运会将有16支男足球队和12支女足球队参赛，首场比赛将于7月24日开始．为了解某校学生是否喜爱足球运动与性别有关，利用分层抽样抽取了男生和女生各100名同学进行调查，得到2×2列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 60 40 100
女生 20 80 100
合计 80 120 200
（1）根据调查数据回答：能否有99.9％的把握认为是否喜爱足球运动与性别有关？
（2）该校足球校队甲、乙、丙三名队员进行点球训练，他们命中点球的概率均为0.5，而且是否命中互不影响．现每人各点球两次，求三名队员命中总次数不少于4次的概率；
（3）现从该校学生中任选一人，A表示事件“选到的人喜爱足球运动”，B表示事件“选到的人是男生”，利用该样本调查数据．
证明：
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19．（2024高二下·遵义期末）如图，已知点列在曲线上，点列在x轴上，，，为等腰直角三角形．
（1）求，，；（直接写出结果）
（2）求数列的通项公式；
（3）设，证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，，
得．
故选：A．
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则得出集合M和集合N的交集.
2．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，则，
由等差数列的公差为1，，
所以，
所以.
故选：B.
【分析】利用已知条件和等差数列的性质可得的值.
3．【答案】C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：观察4幅图可知，图C的散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，
所以，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，且值相比于其他3图更接近1.
故选：C.
【分析】由散点图的集中、分散程度和相关系数判断线性相关程度强弱的方法，从而得出相关系数最大的选项.
4．【答案】B
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，.
故选：B.
【分析】根据分布列中的概率和为1的性质可得的值，再结合对立事件概率公式可得的值.
5．【答案】D
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理，
得，解得，
所以，三角形的面积为.
故选：D.
【分析】根据给定条件结合余弦定理求出的值，再利用三角形面积公式计算得出三角形的面积.
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵，∴，即，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】根据同角三角函数基本关系式和两角差的正弦公式，进而得出的值.
7．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为函数是定义在R上的奇函数，则，
当时，为减函数，所以，函数在上是减函数，
又因为，所以，
又因为不等式等价于或，
所以或，即不等式的解集为.
故选：D.
【分析】利用奇函数的性质和函数的单调性，进而将不等式等价变形，从而解不等式组得出不等式的解集.
8．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，可知为非负整数，
因为，所以，
从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球，
一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种.
故选：A.
【分析】利用已知条件，将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，再利用隔板法和组合数公式得出方程的非负整数解个数.
9．【答案】A,C
【知识点】回归分析的初步应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，，则，所以A正确；
对于B，数学成绩每提高1分，物理成绩大约提高1.1分，所以B错误；
对于C，由，得，所以C正确；
对于D，随机变量，则，所以D错误.
故选：AC.
【分析】利用二项分布的期望公式判断出选项A；利用回归直线方程的意义，从而判断出选项B；利用方差的性质，从而判断出选项C；利用正态分布对应的密度曲线的对称性，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A，若A与B相互独立，
则，故A正确；
对于B，若A与B互斥，则，
由，
故，故B错误；
对于C，若，
则，故C正确；
对于D，因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【分析】根据已知条件和相互独立事件的乘法求概率公式判断出选项A；根据已知条件和互斥事件加法求概率公式以及概率的基本性质判断出选项B；根据条件概率公式和互斥事件加法求概率公式以及概率的基本性质判断出选项C和选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；数列的函数特性；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：对于A，当时，由于满足条件，
故的解析式可能是，故A正确；
下面先对原条件进行探究.
在中，令，
得，所以，，
在中，令，
得出，所以，
在中，分别用替换，
得出，从而，
由已知，有，在中，
令，，得，
故，
所以，数列是公比为的等比数列，
又因为，故，
对于B，若，则，
所以，故，故B正确；
对于C，由于当时，满足条件，且是增函数，
但此时，故C错误；
对于D，若，则，
所以
，故D正确.
故选：ABD.
【分析】利用已知条件和a的值和赋值法、替换法以及等比数列的定义，从而得出函数的解析式，从而判断出选项A；利用等比数列的通项公式得出，再用等比数列求和公式得出数列的前项和，从而判断出选项B ；由函数的单调性和作为反例判断出选项C；利用和裂项求和的方法判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】14
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3=6种，
第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2=8种，
根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，
故从甲地到丁地共有14条不同的路线．
故填：14.
【分析】根据已知条件和分类加法原理、分步乘法原理得出共有的不同的走法种数.
13．【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为二项式的展开式中通项公式为，
则，令，解得，
所以，当时，二项展开式的常数项为.
故填：.
【分析】利用二项式定理求出二项展开式的通项公式，再利用常数项的定义得出r的值，从而得出二项展开式中常数项的值.
14．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，即，
由点到直线距离公式可知：，
，，
∵，即，
设，则，
而，，
由正切二倍角公式可知：，
即，化简可得：，即，
由双曲线离心率公式可知.
故填：.
【分析】利用双曲线方程得出焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线距离公式得出，再由双曲线中a，b，c三者的关系式和，从而用表示出，再根据正切的二倍角公式，即可求得与的等量关系式，再由双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率.
15．【答案】（1）证明：如图所示，连接，交于点，连接，
因为是正方形对角线的交点，
所以是的中点，
又因为是棱的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：如图所示，以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，利用三角形中位线性质得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出各点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面的一个法向量，再利用数量积求两向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）如图所示，连接，交于点，连接，
因为是正方形对角线的交点，
所以是的中点，
又因为是棱的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，得证.
（2）如图所示，以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】（1）解：这7个队中宣讲活动的参与人数超过160人有个，
则所求概率.
（2）解：由题意，可取，
，
，
所以的分布列为：
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件和古典概型求概率公式得出该队宣讲活动的参与人数超过160人的概率.
（2）利用已知条件得出随机变量的所有可能取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再根据随机变量的分布列求期望公式得出随机变量X的数学期望.
（1）这7个队中宣讲活动的参与人数超过160人有个，
所以所求概率；
（2）由题意，可取，
，
，
所以的分布列为：
所以.
17．【答案】（1）证明：①，
当时，②，
得：，
即，
即，且，
是公差为的等差数列.
（2）解：由（1）知是公差为的等差数列，
，
又，，成等比数列，
，
，即，
故，解得.
，
，
二次函数的对称轴为，
，当或时取到最大值为.
故的最大值为.
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）利用与的关系式和等差数列的定义，从而证出数列是等差数列.
（2）由（1）知是公差为的等差数列，再结合等差数列的通项公式和等比中项公式得出首项的值，再由等差数列的前项和公式可得，利用二次函数的对称性和最值求解方法可得的最大值.
（1）①，
当时，②，
得：，
即，即，且.
是公差为的等差数列.
（2）由（1）知是公差为的等差数列，
，
又，，成等比数列，
，
，即，
故，解得.
，
，
二次函数的对称轴为，
，当或时取到最大值为.
故的最大值为.
18．【答案】（1）解：由2×2列联表可知，
所以，有99.9％的把握认为喜爱足球运动与性别有关.
（2）解：由题意，所求概率 .
（3）证明：由题意可知
，
所以，
，
，
，
则，
所以.
【知识点】独立性检验的应用；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）根据2×2列联表中的数据和独立性检验的方法，从而判断出有99.9％的把握认为喜爱足球运动与性别有关..
（2）利用已知条件和二项分布求概率公式得出三名队员命中总次数不少于4次的概率.
（3）利用已知条件和古典概型求概率公式和对立事件求概率公式求出各个事件的概率，再利用条件概率公式证出成立.
（1），
所以有99.9％的把握认为喜爱足球运动与性别有关；
（2）由题意，所求概率；
（3）由题意，
，
所以，
，
，
，
则，
所以.
19．【答案】（1）解：由为等腰直角三角形，
所以直线的斜率为1，
故直线的方程为，与抛物线方程联立可得，
可解得或，
可得，可得的横坐标为1，
因为，解得，
由，所以，
可得，
可得，
解得.
（2）解：由题意可得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以.
（3）证明：由（2）可得，
，
所以，
所以，
，
所以.
【知识点】数列的求和；直线与圆锥曲线的关系；反证法与放缩法；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的结构特征得出直线的斜率，再由斜截式得出直线的方程，从而联立抛物线方程得出交点的横坐标，从而得出数列的首项和第二项的值，同理可得第三项的值.
（2）由题意可得，进而可得，再结合等差数列的定义判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（3）由（2）中数列的通项公式可得，再结合放缩法和等差数列前n项和公式，从而证出不等式成立.
（1）由为等腰直角三角形，所以直线的直线斜率为1，
故直线的方程为，与抛物线方程联立可得，可解得或，
从而可得，可得的横坐标为1，因为，解得，
由，所以，可得，
可得，解得；
（2）由题意可得，所以，
所以，所以，
所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
（3）由（1）可得，
所以，
所以，
，
所以.
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