北京市通州区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷
1．（2024高二下·通州期末）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·通州期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·通州期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·通州期末）设，为两个随机事件，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·通州期末）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高二下·通州期末）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·通州期末）有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为（ ）
A．0.044 B．0.046 C．0.050 D．0.090
8．（2024高二下·通州期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（ ）
A．360种 B．300种 C．180种 D．120种
9．（2024高二下·通州期末）设函数为定义在上的奇函数，若曲线在点处的切线的斜率为10，则（ ）
A． B． C．6 D．16
10．（2024高二下·通州期末）已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·通州期末）函数的定义域是 ．
12．（2024高二下·通州期末）不等式的解集是 ．
13．（2024高二下·通州期末）某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是 ．
（参考数据：，）
14．（2024高二下·通州期末）已知命题： 函数为上的增函数．能说明为假命题的一组，的值为 ， ．
15．（2024高二下·通州期末）已知函数，关于以下四个结论：
①函数的值域为；
②当时，方程有两个不等实根；
③当，时，设方程的两个根为，，则为定值；
④当，时，设方程的两个根为，，则．
则所有正确结论的序号为 ．
16．（2024高二下·通州期末）已知函数．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）当，时，求函数在区间上的最小值．
17．（2024高二下·通州期末）某班级的所有学生中，课前是否预习本节课所学内容的人数情况如下表所示．
男生 女生
预习了所学内容 12 17
没预习所学内容 6 5
现从该班所有学生中随机抽取一人：
（1）求抽到预习了所学内容的概率；
（2）若抽到的同学是男生，求他预习了所学内容的概率；
（3）试判断“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了所学内容”是否相互独立，并说明理由．
18．（2024高二下·通州期末）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图．
（1）若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在内的人数；
（2）开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于的概率；
（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为，求的分布列与数学期望．
19．（2024高二下·通州期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨
甲 3 4 3
乙 2 5 3
（1）从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；
（2）以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列；
（3）在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
20．（2024高二下·通州期末）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线的斜率为1，求曲线在点处的切线方程；
（2）定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数．
①，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由；
②，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围．
21．（2024高二下·通州期末）已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）求的单调区间；
（3）写出的零点个数（直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，可得集合，
因为全集，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，先解不等式求得集合A，再利用集合的补集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数在上单调递减，故A不符合；
B、二次函数在上单调递减，故B不符合；
C、对数函数在上单调递增，故C符合；
D、指数函数在上单调递减，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数、二次函数单调性即可判断AB；根据指数、对数函数单调性即可判断CD.
3．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，，则.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断大小即可.
4．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合条件概率公式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：若，，，则，当且仅当时等号成立，即充分性成立；
若，，，取，则，即必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即可.
6．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
令，解得，则的系数为.
故答案为：D.
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件为“任取一件零件为次品”，则.
故答案为：B.
【分析】根据全概率公式计算即可.
8．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，若员工入选：员工不能安排在第四道工序上，则先安排第四道工序有5种安排方法，再从除了和第四道工序的员工中选择2人和A一起安排在其它3个工序有种，则共有种；
若员工不入选，则从其余5人中选4人，安排在4道工序，有种，则不同的安排方法共有种.
故答案为：B.
【分析】根据员工是否入选分类讨论，再结合排列组合以及分类加法原理求解即可.
9．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：易知，函数满足，则，
两边同时求导得，即，因为曲线在点处的切线的斜率为10，所以，所以，则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用函数为奇函数，再利用复合函数求导求出，即可得的值.
10．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意，当时，函数，易知函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数，，
若，解得，若，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，极大值为，且当时，恒成立，
作出直线与函数的图象，如图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，即方程恰有三个根，则实数的取值范围是.
故答案为：C
【分析】由函数的解析式，结合导数分析函数的性质，再在同一坐标系内作出直线与函数的图象，数形结合求解范围即可.
11．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据对数函数，偶次方根的被开方数非负列不等式组，求解即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：，解得或，
即不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】根据一元二次不等式解法求解即可.
13．【答案】1365
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 记高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩为 ，
且成绩服从正态分布，
则，
故成绩位于的人数大约是.
故答案为：1365.
【分析】由题意，利用正态分布的对称性求出成绩在的概率，再求出对应的人数即可.
14．【答案】2；0（答案不唯一，满足均可）
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递增，在上单调递增，
要使函数为上的增函数，则，
即命题为真命题时，，因此为假命题时，，
则能说明为假命题的一组，的值可以为，.
故答案为：2；0（答案不唯一）.
【分析】利用分段函数的单调性，求出命题为真命题时的关系求解即可.
15．【答案】①②④
【知识点】函数的值域；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①、函数，因为，所以，
则函数的值域为，故①正确；
②、当时，方程，解得或，
而，方程有两个不等实根，故②正确；
③、当时，，不妨令，，则，
则，由于在上单调递增，
故随的增大而增大，故③错误；
④、当时，，不妨令，，
则，故④正确.
所以所有正确结论的序号为①②④.
故答案为：①②④.
【分析】分析函数的性质求出值域即可判断①；求出方程的根即可判断②③④.
16．【答案】（1）解：函数的定义域为，
若函数为奇函数，则成立，即，
即恒成立，因为，所以；
（2）解：当，时，函数，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
则函数取得最小值为4.
【知识点】函数的奇偶性；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，先求函数的定义域，再利用奇函数的定义求的值即可；
（2）将，代入，化简函数，利用基本不等式求出最小值即可.
（1）函数的定义域为，
由于为奇函数，则对于定义域内任意，都有成立，
即，即恒成立，而当时，
所以.
（2）当，时，，
由，得，当且仅当，即时取等号，
所以，当时函数取得最小值为4.
17．【答案】（1）解：记事件A为抽到预习本节课所学内容的同学，事件B为抽到的同学是男生，则；
（2）解：由题意，，则，
故抽到的同学是男生，他预习了所学内容的概率为；
（3）解：由数表知，，，，，
则“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了本节课所学内容”不相互独立.
【知识点】相互独立事件；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【分析】（1）利用古典概率公式计算即可；
（2）利用条件概率公式计算即可；
（3）利用相互独立事件的定义判断即可.
（1）设抽到预习本节课所学内容的同学为事件A，抽到的同学是男生为事件B，
由数表知，该班共有40名同学， 预习了本节课所学内容的学生有29人，
则.
（2）依题意，，因此，
所以抽到的同学是男生，他预习了所学内容的概率为.
（3）由数表知，，，，，
所以“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了本节课所学内容”不相互独立.
18．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，各组频率依次为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
则100人的样本中假期日均阅读时间的频率为，
估计该校学生假期日均阅读时间在内的频率为0.4.
所以估计该校假期日均阅读时间在内的人数为人；
（2）解：由频率分布直方图可知：阅读时间在，，的频率依次为：0.3，0.2，0.1，
则在，，抽取的人数依次为3人，2人，1人，
设事件A为第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于，
则；
（3）解：从该校学生中随机抽取1人，则此人假期日均阅读时间不低于60分钟的概率为，
随机变量的可能取值为，且满足，
则，，
，，
的分布列为
0 1 2 3
.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图求出的频率，再估计人数即可；
（2）求出在，，抽取的人数，再结合组合数公式以及古典概型概率公式求解即可；
（3）求出的可能值及各个值对应的概率，利用二项分布列出分布列并求期望即可.
（1）由频率分布直方图知，各组频率依次为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
则100人的样本中假期日均阅读时间的频率为，
估计该校学生假期日均阅读时间在内的频率为0.4.
所以估计该校假期日均阅读时间在内的人数为人.
（2）阅读时间在，，的频率依次为：0.3，0.2，0.1，
则在，，抽取的人数依次为3人，2人，1人，
设第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于为事件A，
所以.
（3）从该校学生中随机抽取1人，则此人假期日均阅读时间不低于60分钟的概率为，
随机变量的可能取值为，得，
则，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
数学期望为.
19．【答案】（1）解：设事件A为：甲市场销售量为4吨，则；
（2）解：设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为，
则由题意得，，；
，，，
设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10，
，
，
，
，
，
的分布列：
6 7 8 9 10
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
（3）解：由（2）知，，，
当时，销售利润，当时，，当时，，
则的分布列为：
0.06
则元；
当时，，，，
销售利润，当时，，
当时，，当时，，
则的分布列为：
0.06 0.71
则元；
因为，所以应选.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由题意，利用古典概型概率公式直接求解即可；
（2）求出的可能及各个值对应的概率，列出分布列即可；
（3）分别求出与时销售利润的期望，再比较大小即可.
（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则.
（2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为，
则由题意得，，；
，，，
设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10，
，
，
，
，
，
所以的分布列如下表：
6 7 8 9 10
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
（3）由（2）知，，，
当时，销售利润，当时，，当时，，
因此的分布列为：
0.06
则元；
当时，，，，
销售利润，当时，，
当时，，当时，，
因此的分布列为：
0.06 0.71
则元；
因为，所以应选.
20．【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为曲线在点处的切线的斜率为1，所以，
解得或，则切点坐标为，或，
故曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为；
（2）解：①，是“控制函数”，理由如下，由得，
可得，，
因为时，恒成立，即恒成立，
所以函数为函数的“控制函数”；
②，若为函数的“控制函数”，
则，恒成立，
即，恒成立，
令，，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在有极小值，，，所以.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域以及导函数，根据斜率求出切点坐标，再由直线的点斜式方程即可；
（2）①由得，根据的范围可得答案；
②转化为，恒成立，令求出在的最值可得答案.
（1），所以，
解得或，可得切点坐标为，或，
所以曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为；
（2）①，是“控制函数”，理由如下，
由得，
可得，，
因为时，恒成立，
即恒成立，
所以函数为函数的“控制函数”；
②，若为函数的“控制函数”，
则，恒成立，
即，恒成立，
令，，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在有极小值，，，
所以.
21．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
易知，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值为；
（2）解：函数的定义域为，，
当时，，则当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得，，
①当，即时，由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，由，得或，由，得，
则函数在，上单调递增，在单调递减；
③当，即时，恒成立，函数上上单调递增；
④当，即时，由，得或，由，得，
则函数在，上单调递增，在单调递减，
所以当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；
（3）解：由（2）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，因此函数无零点；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增，
当时，取得极小值，当时，取得极大值，
而从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，因此有唯一零点；
当时，函数在上递增，，因此有唯一零点；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极在值，当时，取得极小值，
而趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，因此有唯一零点；
所以当时，函数无零点；当时，函数有唯一零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性求最小值即可；
（2）求出函数的导数，按导数的零点分布情况分类讨论求出单调区间即可；
（3）结合（2）的结论，借助单调性确定最值、极值情况，并结合零点存在性性定理确定零点个数即可.
（1）函数的定义域为，
当时，，求导得，
而，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得，，
①当，即时，由，得，由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，由，得或，由，得，
因此函数在，上单调递增，在单调递减；
③当，即时，恒成立，函数上上单调递增；
④当，即时，由，得或，由，得，
因此函数在，上单调递增，在单调递减，
所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为，；
当时，函数的递增区间为，无递减区间；
当时，函数的递减区间为，递增区间为，.
（3）由（2）知，当时，函数在上递减，在上递增，
，因此函数无零点；
当时，函数在上递减，在，上递增，
当时，取得极小值，当时，取得极大值，
而从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，因此有唯一零点；
当时，函数在上递增，，因此有唯一零点；
当时，函数在，上递增，在递减，
当时，取得极在值，当时，取得极小值，
而趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，因此有唯一零点；
所以当时，函数无零点；当时，函数有唯一零点.
1 / 1北京市通州区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷
1．（2024高二下·通州期末）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，可得集合，
因为全集，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，先解不等式求得集合A，再利用集合的补集运算求解即可.
2．（2024高二下·通州期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数在上单调递减，故A不符合；
B、二次函数在上单调递减，故B不符合；
C、对数函数在上单调递增，故C符合；
D、指数函数在上单调递减，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数、二次函数单调性即可判断AB；根据指数、对数函数单调性即可判断CD.
3．（2024高二下·通州期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，，则.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断大小即可.
4．（2024高二下·通州期末）设，为两个随机事件，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合条件概率公式求解即可.
5．（2024高二下·通州期末）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：若，，，则，当且仅当时等号成立，即充分性成立；
若，，，取，则，即必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即可.
6．（2024高二下·通州期末）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
令，解得，则的系数为.
故答案为：D.
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可.
7．（2024高二下·通州期末）有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为（ ）
A．0.044 B．0.046 C．0.050 D．0.090
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件为“任取一件零件为次品”，则.
故答案为：B.
【分析】根据全概率公式计算即可.
8．（2024高二下·通州期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（ ）
A．360种 B．300种 C．180种 D．120种
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，若员工入选：员工不能安排在第四道工序上，则先安排第四道工序有5种安排方法，再从除了和第四道工序的员工中选择2人和A一起安排在其它3个工序有种，则共有种；
若员工不入选，则从其余5人中选4人，安排在4道工序，有种，则不同的安排方法共有种.
故答案为：B.
【分析】根据员工是否入选分类讨论，再结合排列组合以及分类加法原理求解即可.
9．（2024高二下·通州期末）设函数为定义在上的奇函数，若曲线在点处的切线的斜率为10，则（ ）
A． B． C．6 D．16
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：易知，函数满足，则，
两边同时求导得，即，因为曲线在点处的切线的斜率为10，所以，所以，则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用函数为奇函数，再利用复合函数求导求出，即可得的值.
10．（2024高二下·通州期末）已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意，当时，函数，易知函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数，，
若，解得，若，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，极大值为，且当时，恒成立，
作出直线与函数的图象，如图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，即方程恰有三个根，则实数的取值范围是.
故答案为：C
【分析】由函数的解析式，结合导数分析函数的性质，再在同一坐标系内作出直线与函数的图象，数形结合求解范围即可.
11．（2024高二下·通州期末）函数的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据对数函数，偶次方根的被开方数非负列不等式组，求解即可.
12．（2024高二下·通州期末）不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：，解得或，
即不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】根据一元二次不等式解法求解即可.
13．（2024高二下·通州期末）某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是 ．
（参考数据：，）
【答案】1365
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 记高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩为 ，
且成绩服从正态分布，
则，
故成绩位于的人数大约是.
故答案为：1365.
【分析】由题意，利用正态分布的对称性求出成绩在的概率，再求出对应的人数即可.
14．（2024高二下·通州期末）已知命题： 函数为上的增函数．能说明为假命题的一组，的值为 ， ．
【答案】2；0（答案不唯一，满足均可）
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递增，在上单调递增，
要使函数为上的增函数，则，
即命题为真命题时，，因此为假命题时，，
则能说明为假命题的一组，的值可以为，.
故答案为：2；0（答案不唯一）.
【分析】利用分段函数的单调性，求出命题为真命题时的关系求解即可.
15．（2024高二下·通州期末）已知函数，关于以下四个结论：
①函数的值域为；
②当时，方程有两个不等实根；
③当，时，设方程的两个根为，，则为定值；
④当，时，设方程的两个根为，，则．
则所有正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【知识点】函数的值域；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①、函数，因为，所以，
则函数的值域为，故①正确；
②、当时，方程，解得或，
而，方程有两个不等实根，故②正确；
③、当时，，不妨令，，则，
则，由于在上单调递增，
故随的增大而增大，故③错误；
④、当时，，不妨令，，
则，故④正确.
所以所有正确结论的序号为①②④.
故答案为：①②④.
【分析】分析函数的性质求出值域即可判断①；求出方程的根即可判断②③④.
16．（2024高二下·通州期末）已知函数．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）当，时，求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）解：函数的定义域为，
若函数为奇函数，则成立，即，
即恒成立，因为，所以；
（2）解：当，时，函数，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
则函数取得最小值为4.
【知识点】函数的奇偶性；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，先求函数的定义域，再利用奇函数的定义求的值即可；
（2）将，代入，化简函数，利用基本不等式求出最小值即可.
（1）函数的定义域为，
由于为奇函数，则对于定义域内任意，都有成立，
即，即恒成立，而当时，
所以.
（2）当，时，，
由，得，当且仅当，即时取等号，
所以，当时函数取得最小值为4.
17．（2024高二下·通州期末）某班级的所有学生中，课前是否预习本节课所学内容的人数情况如下表所示．
男生 女生
预习了所学内容 12 17
没预习所学内容 6 5
现从该班所有学生中随机抽取一人：
（1）求抽到预习了所学内容的概率；
（2）若抽到的同学是男生，求他预习了所学内容的概率；
（3）试判断“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了所学内容”是否相互独立，并说明理由．
【答案】（1）解：记事件A为抽到预习本节课所学内容的同学，事件B为抽到的同学是男生，则；
（2）解：由题意，，则，
故抽到的同学是男生，他预习了所学内容的概率为；
（3）解：由数表知，，，，，
则“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了本节课所学内容”不相互独立.
【知识点】相互独立事件；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【分析】（1）利用古典概率公式计算即可；
（2）利用条件概率公式计算即可；
（3）利用相互独立事件的定义判断即可.
（1）设抽到预习本节课所学内容的同学为事件A，抽到的同学是男生为事件B，
由数表知，该班共有40名同学， 预习了本节课所学内容的学生有29人，
则.
（2）依题意，，因此，
所以抽到的同学是男生，他预习了所学内容的概率为.
（3）由数表知，，，，，
所以“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了本节课所学内容”不相互独立.
18．（2024高二下·通州期末）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图．
（1）若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在内的人数；
（2）开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于的概率；
（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，各组频率依次为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
则100人的样本中假期日均阅读时间的频率为，
估计该校学生假期日均阅读时间在内的频率为0.4.
所以估计该校假期日均阅读时间在内的人数为人；
（2）解：由频率分布直方图可知：阅读时间在，，的频率依次为：0.3，0.2，0.1，
则在，，抽取的人数依次为3人，2人，1人，
设事件A为第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于，
则；
（3）解：从该校学生中随机抽取1人，则此人假期日均阅读时间不低于60分钟的概率为，
随机变量的可能取值为，且满足，
则，，
，，
的分布列为
0 1 2 3
.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图求出的频率，再估计人数即可；
（2）求出在，，抽取的人数，再结合组合数公式以及古典概型概率公式求解即可；
（3）求出的可能值及各个值对应的概率，利用二项分布列出分布列并求期望即可.
（1）由频率分布直方图知，各组频率依次为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
则100人的样本中假期日均阅读时间的频率为，
估计该校学生假期日均阅读时间在内的频率为0.4.
所以估计该校假期日均阅读时间在内的人数为人.
（2）阅读时间在，，的频率依次为：0.3，0.2，0.1，
则在，，抽取的人数依次为3人，2人，1人，
设第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于为事件A，
所以.
（3）从该校学生中随机抽取1人，则此人假期日均阅读时间不低于60分钟的概率为，
随机变量的可能取值为，得，
则，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
数学期望为.
19．（2024高二下·通州期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨
甲 3 4 3
乙 2 5 3
（1）从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；
（2）以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列；
（3）在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
【答案】（1）解：设事件A为：甲市场销售量为4吨，则；
（2）解：设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为，
则由题意得，，；
，，，
设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10，
，
，
，
，
，
的分布列：
6 7 8 9 10
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
（3）解：由（2）知，，，
当时，销售利润，当时，，当时，，
则的分布列为：
0.06
则元；
当时，，，，
销售利润，当时，，
当时，，当时，，
则的分布列为：
0.06 0.71
则元；
因为，所以应选.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由题意，利用古典概型概率公式直接求解即可；
（2）求出的可能及各个值对应的概率，列出分布列即可；
（3）分别求出与时销售利润的期望，再比较大小即可.
（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则.
（2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为，
则由题意得，，；
，，，
设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10，
，
，
，
，
，
所以的分布列如下表：
6 7 8 9 10
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
（3）由（2）知，，，
当时，销售利润，当时，，当时，，
因此的分布列为：
0.06
则元；
当时，，，，
销售利润，当时，，
当时，，当时，，
因此的分布列为：
0.06 0.71
则元；
因为，所以应选.
20．（2024高二下·通州期末）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线的斜率为1，求曲线在点处的切线方程；
（2）定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数．
①，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由；
②，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为曲线在点处的切线的斜率为1，所以，
解得或，则切点坐标为，或，
故曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为；
（2）解：①，是“控制函数”，理由如下，由得，
可得，，
因为时，恒成立，即恒成立，
所以函数为函数的“控制函数”；
②，若为函数的“控制函数”，
则，恒成立，
即，恒成立，
令，，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在有极小值，，，所以.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域以及导函数，根据斜率求出切点坐标，再由直线的点斜式方程即可；
（2）①由得，根据的范围可得答案；
②转化为，恒成立，令求出在的最值可得答案.
（1），所以，
解得或，可得切点坐标为，或，
所以曲线在点处的切线方程为，
曲线在点处的切线方程为；
（2）①，是“控制函数”，理由如下，
由得，
可得，，
因为时，恒成立，
即恒成立，
所以函数为函数的“控制函数”；
②，若为函数的“控制函数”，
则，恒成立，
即，恒成立，
令，，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在有极小值，，，
所以.
21．（2024高二下·通州期末）已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）求的单调区间；
（3）写出的零点个数（直接写出结果）．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
易知，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值为；
（2）解：函数的定义域为，，
当时，，则当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得，，
①当，即时，由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，由，得或，由，得，
则函数在，上单调递增，在单调递减；
③当，即时，恒成立，函数上上单调递增；
④当，即时，由，得或，由，得，
则函数在，上单调递增，在单调递减，
所以当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；
（3）解：由（2）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，因此函数无零点；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增，
当时，取得极小值，当时，取得极大值，
而从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，因此有唯一零点；
当时，函数在上递增，，因此有唯一零点；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极在值，当时，取得极小值，
而趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，因此有唯一零点；
所以当时，函数无零点；当时，函数有唯一零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性求最小值即可；
（2）求出函数的导数，按导数的零点分布情况分类讨论求出单调区间即可；
（3）结合（2）的结论，借助单调性确定最值、极值情况，并结合零点存在性性定理确定零点个数即可.
（1）函数的定义域为，
当时，，求导得，
而，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得，，
①当，即时，由，得，由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，由，得或，由，得，
因此函数在，上单调递增，在单调递减；
③当，即时，恒成立，函数上上单调递增；
④当，即时，由，得或，由，得，
因此函数在，上单调递增，在单调递减，
所以当时，函数的递减区间为，递增区间为；
当时，函数的递减区间为，递增区间为，；
当时，函数的递增区间为，无递减区间；
当时，函数的递减区间为，递增区间为，.
（3）由（2）知，当时，函数在上递减，在上递增，
，因此函数无零点；
当时，函数在上递减，在，上递增，
当时，取得极小值，当时，取得极大值，
而从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，因此有唯一零点；
当时，函数在上递增，，因此有唯一零点；
当时，函数在，上递增，在递减，
当时，取得极在值，当时，取得极小值，
而趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，因此有唯一零点；
所以当时，函数无零点；当时，函数有唯一零点.
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