广西南宁市第三中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·南宁期末）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高二下·南宁期末）已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·南宁期末）已知向量满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．10 C．15 D．21
4．（2024高二下·南宁期末）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间
初中生 160 40
高中生 140 60
附：，
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
以下结论中错误的是（ ）
A．有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
B．没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关
5．（2024高二下·南宁期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·南宁期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·南宁期末）如图，在三棱台中，平面，则与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·南宁期末）已知点，则点到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·南宁期末）已知函数(其中)的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于直线对称
D．在上的值域为
10．（2024高二下·南宁期末）已知圆，直线，下列说法正确的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为
C．若，动点在圆上，则的最大值为30
D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为
11．（2024高二下·南宁期末）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为
B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为
C．若且，则
D．若且，则
12．（2024高二下·南宁期末）展开式中项的系数为 .
13．（2024高二下·南宁期末）已知数列满足，则其前9项和 .
14．（2024高二下·南宁期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数.如：，以下三个结论：
①；
②集合的元素个数为9；
③对任意都成立，则实数的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是 .
15．（2024高二下·南宁期末）已知等差数列的公差与的等差中项为5，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和T20.
16．（2024高二下·南宁期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.
（1）求证：直线平面；
（2）若点为线段的中点，求二面角的正弦值.
17．（2024高二下·南宁期末）据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
（1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
（2）设小王获得的年薪为（单位：万元），求的分布列及其数学期望．
18．（2024高二下·南宁期末）设函数.
（1）当时，
①求函数的单调区间；
②对于成立，求实数的取值范围.
（2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围.
19．（2024高二下·南宁期末）已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围；
（3）过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，在复平面对应的点的坐标为，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数乘法运算化简求复数，再根据复数的几何意义求解即可.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图可知，阴影部分表示的元素在集合A中，不在集合A、B的公共部分中，则 图中阴影部分所表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】根据图表示的集合运算，直接判断即可.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：向量满足，且与的夹角为，
则，
.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量的线性运算，结合向量数量积的运算求解即可.
4．【答案】D
【知识点】独立性检验的基本思想
【解析】【解答】解：由题意，列联表如下：
喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 总计
初中生 160 40 200
高中生 140 60 200
总计 300 100 400
零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
，没有充足的证据推断零假设不成立，
即认为零假设成立，则没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关，
由，即有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关.
故答案为：D.
【分析】由题意，先完善列联表，再计算，并根据选项和和比较大小判断即可.
5．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，画出抛物线的图形，如图所示：
因为，所以，
又因为垂直于轴，所以，，
所以，所以，所以，所以，
又因为，所以，解得.
故答案为：B．
【分析】利用数形结合，通过三角形相似找到的关系，建立关于的等式，求解即可|.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系，结合两角差的正弦公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：将棱台补全为如下棱锥，如图所示：
由，可得，
因为平面平面，所以，
所以，满足，则，
若点到面的距离为，又，
则，可得，
综上，与平面所成角，则，即，
则，即与平面所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】将棱台补全为棱锥，利用等体积法求到面的距离，结合线面角的定义求与平面所成角的余弦值即可.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由，解得，
由，当时，，当时，，
令的定义域为，令，解得，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
在同一坐标系中，作函数与图象，如图所示：
由题可知：点位于图中阴影部分区域，
则点到直线最大距离为函数上切线斜率为1的点到直线的距离，
，设，解得，
则点到的距离为.
故答案为：B.
【分析】解不等式求得，再由，确定点位于函数与的图象中间（包括边界），画出图形，可知所求即为函数上切线斜率为1的点到直线的距离求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由图可知，，
因为，所以，故A正确；
B、因为，所以，
得，因为，所以，
所以当时，，故B错误；
C、因为，令，解得，
则的图象关于直线对称，故C正确；
D、因为当时，，所以，
所以在上的值域为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由图像可得，，，求得函数的解析式，再根据正弦函数的性质求解即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、若圆关于直线对称，则圆心在直线上，
将代入方程解得，故正确；
B、直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短，
圆心到直线的距离为则弦长为，故错误；
C、设，，，，
由圆的方程可知，的最大值为5，所以的最大值为，故正确；
D、因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直，
为点到直线的距离，为，由勾股定理得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由圆的对称性可知，直线过圆心，求解即可判断A；判断直线所过的定点，当定点为弦的中点时，弦长最短，结合弦长公式即可求解判断B；利用数量积的坐标表示，结合圆的方程即可判断C；利用切线长公式，结合直线与圆的位置关系即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正切公式；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：A、由题意，可知点应在双曲线的右支上，
设圆分别与的三边切于点，
则，
因为，
所以，得，连接，如图所示：
则，，故A正确；
B、同理，是直角三角形..
由正弦定理，得，故B错误；
C、若，则，
且，可得，
所以，故C正确；
D、因为，所以
因为，即，
解得，若，即，
则
即，即，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】根据双曲线的性质，结合内心的性质，确定内切圆的圆心在轴的射影为双曲线的顶点，再结合二倍角公式和正切公式，即可判断A；根据A的结果判断是直角三角形，再结合正弦定理判断B；由斜率结合三角形的正切公式，表示和，再根据双曲线的定义和离心率公式，即可判断C；首先由正切值求，再根据余弦定理求和，结合离心率公式，即可判断D.
12．【答案】30
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
令，，.
故答案为：30.
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可得解.
13．【答案】69
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：数列满足，
则
.
故答案为：69.
【分析】由题意，分组求和即可.
14．【答案】①③
【知识点】集合中元素的个数问题；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的周期性
【解析】【解答】解：①、函数，
则，故①正确；
②、由周期性可知，的周期为，故讨论即可，
易得当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，故该集合元素个数为6，故②错误；
③、当时，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
而对任意都成立，故恒成立，
令，即，而显然，可得恒成立，
即，故 ③ 正确.
故答案为：①③.
【分析】根据给定的定义即可判断①；由周期性可知，的周期为，故讨论即可，求出每个元素即可判断②；利用题意分离参数，得到，再结合给定定义求解，最后得到参数范围即可判断③.
15．【答案】（1）解：因为数列为等差数列，且与的等差中项为5，所以，解得，
又因为，所以，解得，
因为，所以，则，
即数列的通项公式为；
（2）解：由（1）可得，即，
则
.
故数列的前20项和为.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）先利用等差数列的性质，求得，再根据，列出关于公差的方程求得，由题意，确定公差，从而可求数列的通项公式；
（2）由（1）得数列，结合等差数列的求和公式和裂项法求和即可.
（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5，
所以，解得
又因为，所以，解得，
因为，所以，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1），可得数列，可得，
所以，
则
.
故数列的前20项和为.
16．【答案】（1）证明：因为平面平面，所以，
又因为底面是菱形，所以，
又因为平面，
所以直线平面；
（2）解：在菱形中，，，则为正三角形，，
，在平面内作，则直线两两垂直，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
，
设平面的法向量为，则，令，得；
设平面的法向量为，则，令，得，
设二面角的平面角为，，
则，即二面角的正弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定证明即可；
（2）在平面内作，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）由平面平面，得，
由底面是菱形，得，又平面，
所以直线平面.
（2）在菱形中，，，则为正三角形，，
，在平面内作，则直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
设二面角的平面角为，，
则，所以二面角的正弦值.
17．【答案】（1）解：记事件：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，
记事件：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，
则，，
显然与互斥，所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
（2）解：由题意，可知的可能取值为，，，，
则，，
，，
则的分布列如下表：
0 10 12 18
故．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）记事件：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，记事件：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即可；
（2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，列分布列求数学期望即可.
（1）记事件：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，
记事件：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，
则，，
显然与互斥，所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率．
（2）依题意的可能取值为，，，，
则，，
，，
则的分布列如下表：
0 10 12 18
故．
18．【答案】（1）解：①当时，函数定义域为，
，
当时，，当时，，
则函数的单调递增区为，单调递减区间为；
②由，得：，
整理得：，
令恒成立，可以得到，
可得，
令，
显然在上为增函数，则
（i）当时，得，则，即函数在上单调递增，
恒成立，故满足题意；
（ii）当时，令，得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又因为，所以极小值，不可能恒成立，不符合题意，
综上可得，实数的取值范围是；
（2）解：设公切线切于点，切于，
则，即，
得，代入，得
构造函数，.
当单调递减，当单调递增，
所以
又当时，，当时，，
即，得.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）①当时求得函数的解析式，以及函数的定义域、导函数，利用导数求函数的单调性即可；
②不等式等价于，构造函数，转化为，利用导数求函数的最小值即可；
（2）首先利用公切线的几何意义，变形得到，构造函数，利用导数求函数的值域，转化为与函数图象有2个交点问题，根据函数的值域即可求解.
（1）①当时，，
当时，，当时，，
的单调递增区为，单调递减区间为；
②这里讨论的是任意大于或等于1的数，
由，得：，
整理得：，
令恒成立，可以得到，
可得，
令，
显然在上为增函数，则
（i）当时，得，
得在上递增，
恒成立，故满足题意；
（ii）当时，令，得(舍).
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又，
极小值，不可能恒成立，不符合题意，
综上可得，实数的取值范围是；
（2）设公切线切于点，切于，
则有，
即，
得，代入，
得
构造函数，.
当单调递减，当单调递增，
所以
又当时，，当时，，
即，得.
19．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，则①，又因为点在椭圆上，所以②，
由①②解得，则椭圆方程为；
（2）解：若为钝角，则，
由题可得，，
则，又因为，所以，
解得；
（3）解：由题可知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，
设，联立，
消去得，
由韦达定理可得，
直线的方程为，令，得，
则，
同理可得，
.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的性质，以及点和椭圆的位置关系列式求椭圆方程即可；
（2）利用坐标表示求解即可；
（3）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，并求点的坐标，并表示，并利用韦达定理化简，求定值即可.
（1）由题可得，
，又，
解得，椭圆方程为；
（2）若为钝角，则，
由题可得，
，又，
解得；
（3）由题可知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，
设，联立，
消去得，
，
直线的方程为，令，得，
.
同理可得.
1 / 1广西南宁市第三中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
1．（2024高二下·南宁期末）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，在复平面对应的点的坐标为，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数乘法运算化简求复数，再根据复数的几何意义求解即可.
2．（2024高二下·南宁期末）已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图可知，阴影部分表示的元素在集合A中，不在集合A、B的公共部分中，则 图中阴影部分所表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】根据图表示的集合运算，直接判断即可.
3．（2024高二下·南宁期末）已知向量满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．10 C．15 D．21
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：向量满足，且与的夹角为，
则，
.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量的线性运算，结合向量数量积的运算求解即可.
4．（2024高二下·南宁期末）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间
初中生 160 40
高中生 140 60
附：，
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
以下结论中错误的是（ ）
A．有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
B．没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关
【答案】D
【知识点】独立性检验的基本思想
【解析】【解答】解：由题意，列联表如下：
喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 总计
初中生 160 40 200
高中生 140 60 200
总计 300 100 400
零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
，没有充足的证据推断零假设不成立，
即认为零假设成立，则没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关，
由，即有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关.
故答案为：D.
【分析】由题意，先完善列联表，再计算，并根据选项和和比较大小判断即可.
5．（2024高二下·南宁期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，画出抛物线的图形，如图所示：
因为，所以，
又因为垂直于轴，所以，，
所以，所以，所以，所以，
又因为，所以，解得.
故答案为：B．
【分析】利用数形结合，通过三角形相似找到的关系，建立关于的等式，求解即可|.
6．（2024高二下·南宁期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系，结合两角差的正弦公式求解即可.
7．（2024高二下·南宁期末）如图，在三棱台中，平面，则与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：将棱台补全为如下棱锥，如图所示：
由，可得，
因为平面平面，所以，
所以，满足，则，
若点到面的距离为，又，
则，可得，
综上，与平面所成角，则，即，
则，即与平面所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】将棱台补全为棱锥，利用等体积法求到面的距离，结合线面角的定义求与平面所成角的余弦值即可.
8．（2024高二下·南宁期末）已知点，则点到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由，解得，
由，当时，，当时，，
令的定义域为，令，解得，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
在同一坐标系中，作函数与图象，如图所示：
由题可知：点位于图中阴影部分区域，
则点到直线最大距离为函数上切线斜率为1的点到直线的距离，
，设，解得，
则点到的距离为.
故答案为：B.
【分析】解不等式求得，再由，确定点位于函数与的图象中间（包括边界），画出图形，可知所求即为函数上切线斜率为1的点到直线的距离求解即可.
9．（2024高二下·南宁期末）已知函数(其中)的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于直线对称
D．在上的值域为
【答案】A,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由图可知，，
因为，所以，故A正确；
B、因为，所以，
得，因为，所以，
所以当时，，故B错误；
C、因为，令，解得，
则的图象关于直线对称，故C正确；
D、因为当时，，所以，
所以在上的值域为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由图像可得，，，求得函数的解析式，再根据正弦函数的性质求解即可.
10．（2024高二下·南宁期末）已知圆，直线，下列说法正确的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为
C．若，动点在圆上，则的最大值为30
D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、若圆关于直线对称，则圆心在直线上，
将代入方程解得，故正确；
B、直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短，
圆心到直线的距离为则弦长为，故错误；
C、设，，，，
由圆的方程可知，的最大值为5，所以的最大值为，故正确；
D、因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直，
为点到直线的距离，为，由勾股定理得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由圆的对称性可知，直线过圆心，求解即可判断A；判断直线所过的定点，当定点为弦的中点时，弦长最短，结合弦长公式即可求解判断B；利用数量积的坐标表示，结合圆的方程即可判断C；利用切线长公式，结合直线与圆的位置关系即可判断D.
11．（2024高二下·南宁期末）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为
B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为
C．若且，则
D．若且，则
【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正切公式；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：A、由题意，可知点应在双曲线的右支上，
设圆分别与的三边切于点，
则，
因为，
所以，得，连接，如图所示：
则，，故A正确；
B、同理，是直角三角形..
由正弦定理，得，故B错误；
C、若，则，
且，可得，
所以，故C正确；
D、因为，所以
因为，即，
解得，若，即，
则
即，即，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】根据双曲线的性质，结合内心的性质，确定内切圆的圆心在轴的射影为双曲线的顶点，再结合二倍角公式和正切公式，即可判断A；根据A的结果判断是直角三角形，再结合正弦定理判断B；由斜率结合三角形的正切公式，表示和，再根据双曲线的定义和离心率公式，即可判断C；首先由正切值求，再根据余弦定理求和，结合离心率公式，即可判断D.
12．（2024高二下·南宁期末）展开式中项的系数为 .
【答案】30
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式的通项为，
令，，.
故答案为：30.
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可得解.
13．（2024高二下·南宁期末）已知数列满足，则其前9项和 .
【答案】69
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：数列满足，
则
.
故答案为：69.
【分析】由题意，分组求和即可.
14．（2024高二下·南宁期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数.如：，以下三个结论：
①；
②集合的元素个数为9；
③对任意都成立，则实数的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【知识点】集合中元素的个数问题；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的周期性
【解析】【解答】解：①、函数，
则，故①正确；
②、由周期性可知，的周期为，故讨论即可，
易得当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，故该集合元素个数为6，故②错误；
③、当时，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
而对任意都成立，故恒成立，
令，即，而显然，可得恒成立，
即，故 ③ 正确.
故答案为：①③.
【分析】根据给定的定义即可判断①；由周期性可知，的周期为，故讨论即可，求出每个元素即可判断②；利用题意分离参数，得到，再结合给定定义求解，最后得到参数范围即可判断③.
15．（2024高二下·南宁期末）已知等差数列的公差与的等差中项为5，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前20项和T20.
【答案】（1）解：因为数列为等差数列，且与的等差中项为5，所以，解得，
又因为，所以，解得，
因为，所以，则，
即数列的通项公式为；
（2）解：由（1）可得，即，
则
.
故数列的前20项和为.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）先利用等差数列的性质，求得，再根据，列出关于公差的方程求得，由题意，确定公差，从而可求数列的通项公式；
（2）由（1）得数列，结合等差数列的求和公式和裂项法求和即可.
（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5，
所以，解得
又因为，所以，解得，
因为，所以，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1），可得数列，可得，
所以，
则
.
故数列的前20项和为.
16．（2024高二下·南宁期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.
（1）求证：直线平面；
（2）若点为线段的中点，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为平面平面，所以，
又因为底面是菱形，所以，
又因为平面，
所以直线平面；
（2）解：在菱形中，，，则为正三角形，，
，在平面内作，则直线两两垂直，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
，
设平面的法向量为，则，令，得；
设平面的法向量为，则，令，得，
设二面角的平面角为，，
则，即二面角的正弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定证明即可；
（2）在平面内作，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）由平面平面，得，
由底面是菱形，得，又平面，
所以直线平面.
（2）在菱形中，，，则为正三角形，，
，在平面内作，则直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得，
设二面角的平面角为，，
则，所以二面角的正弦值.
17．（2024高二下·南宁期末）据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
（1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
（2）设小王获得的年薪为（单位：万元），求的分布列及其数学期望．
【答案】（1）解：记事件：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，
记事件：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，
则，，
显然与互斥，所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
（2）解：由题意，可知的可能取值为，，，，
则，，
，，
则的分布列如下表：
0 10 12 18
故．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）记事件：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，记事件：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即可；
（2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，列分布列求数学期望即可.
（1）记事件：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，
记事件：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，
则，，
显然与互斥，所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率．
（2）依题意的可能取值为，，，，
则，，
，，
则的分布列如下表：
0 10 12 18
故．
18．（2024高二下·南宁期末）设函数.
（1）当时，
①求函数的单调区间；
②对于成立，求实数的取值范围.
（2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：①当时，函数定义域为，
，
当时，，当时，，
则函数的单调递增区为，单调递减区间为；
②由，得：，
整理得：，
令恒成立，可以得到，
可得，
令，
显然在上为增函数，则
（i）当时，得，则，即函数在上单调递增，
恒成立，故满足题意；
（ii）当时，令，得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又因为，所以极小值，不可能恒成立，不符合题意，
综上可得，实数的取值范围是；
（2）解：设公切线切于点，切于，
则，即，
得，代入，得
构造函数，.
当单调递减，当单调递增，
所以
又当时，，当时，，
即，得.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）①当时求得函数的解析式，以及函数的定义域、导函数，利用导数求函数的单调性即可；
②不等式等价于，构造函数，转化为，利用导数求函数的最小值即可；
（2）首先利用公切线的几何意义，变形得到，构造函数，利用导数求函数的值域，转化为与函数图象有2个交点问题，根据函数的值域即可求解.
（1）①当时，，
当时，，当时，，
的单调递增区为，单调递减区间为；
②这里讨论的是任意大于或等于1的数，
由，得：，
整理得：，
令恒成立，可以得到，
可得，
令，
显然在上为增函数，则
（i）当时，得，
得在上递增，
恒成立，故满足题意；
（ii）当时，令，得(舍).
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又，
极小值，不可能恒成立，不符合题意，
综上可得，实数的取值范围是；
（2）设公切线切于点，切于，
则有，
即，
得，代入，
得
构造函数，.
当单调递减，当单调递增，
所以
又当时，，当时，，
即，得.
19．（2024高二下·南宁期末）已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围；
（3）过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值.
【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，则①，又因为点在椭圆上，所以②，
由①②解得，则椭圆方程为；
（2）解：若为钝角，则，
由题可得，，
则，又因为，所以，
解得；
（3）解：由题可知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，
设，联立，
消去得，
由韦达定理可得，
直线的方程为，令，得，
则，
同理可得，
.
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的性质，以及点和椭圆的位置关系列式求椭圆方程即可；
（2）利用坐标表示求解即可；
（3）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，并求点的坐标，并表示，并利用韦达定理化简，求定值即可.
（1）由题可得，
，又，
解得，椭圆方程为；
（2）若为钝角，则，
由题可得，
，又，
解得；
（3）由题可知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，
设，联立，
消去得，
，
直线的方程为，令，得，
.
同理可得.
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