2023-2024学年黑龙江省牡丹江四中七年级（下）期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年黑龙江省牡丹江四中七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）在实数，，0.2121121112…，（每两个2之间依次多一个1），﹣，中，无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（3分）2015年高考已经结束，南平市教研室从各校随机抽取1000名考生的数学试卷进行调查分析，这个问题的样本容量是（　　）
A．1000
B．1000名
C．1000名学生
D．1000名考生的数学试卷
4．（3分）若一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字和为5，则这样的两位数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（3分）若一个样本的极差为83，取组距为10，则可以分成（　　）
A．10组 B．9组 C．8组 D．7组
6．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（　　）
A．54° B．55° C．56° D．57°
7．（3分）关于x，y的方程组与有相同的解，则a+4b﹣3的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣6 C．﹣10 D．﹣12
8．（3分）已知实数a满足条件|2023﹣a|+＝a，那么a﹣20232的值为（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
9．（3分）下列命题是真命题的个数是（　　）
①从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
②若，则a＝±1
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
④如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直
⑤若不等式组无解，则m的取值范围是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）在正方形ABCD中，将△ABE、△BCF分别沿BE、BF折叠，使点A、C都与点G重合，则下列结论中正确的有（　　）
①∠EBF＝45°；
②BE＝BF；
③∠ABF＝∠BFE；
④△DEF的周长等于2AB；
⑤∠AEF+∠BFE﹣∠CBF＝180°．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，满分30分）
11．（3分）﹣的立方根是 　 　．
12．（3分）已知mx﹣3y＝2x+6是关于x，y的二元一次方程，则m的取值范围是 　 　．
13．（3分）若点A（2m，3m﹣1）向上平移4个单位后得到的点在x轴上，则m的值为 　 　．
14．（3分）线段AB和线段CD交于点O，OE平分∠AOD，点F为线段AB上一点（不与点A和点O重合）过点F作FG∥OE，交线段CD于点G，若∠AOC＝140°，则∠AFG的度数为　 　°．
15．（3分）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有 　 　人．
16．（3分）若小明从A处出发沿北偏东45°方向行走至B处，又沿北偏西20°行走至C处，此时要把方向调整至与出发时的方向平行，则调整的角度为 　 　．
17．（3分）若关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集是，那么关于x的不等式（a﹣b）x＞的解集是 　 　．
18．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB∥y轴，若点A的坐标为（5，n﹣1），点B的坐标为（n2+1，1），则n的值为 　 　．
19．（3分）如图所示放置的△OB1A1，△B1B2A2，△B2B3A3，…都是边长为2的等边三角形，边OA在x轴上，且点O，B1，B2，B3…都在同一直线l上，且，，…则An的横坐标为 　 　，纵坐标为 　 　．
20．（3分）若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的方程5+（m﹣y）＝2（y﹣2）有正整数解，则符合条件的整数m有 　 　个．
三、解答题（满分60分）
21．（12分）（1）；
（2）解方程组；
（3）解不等式组．
22．（6分）如图，∠CFD+∠1＝180°，AC∥DE．
（1）求证：DF∥BC；
（2）若∠1＝72°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
23．（7分）某职教中心与时俱进，决定开设A（酒店服务与管理），B（美容与形象设计），C（汽车制造与检修），D（计算机应用）四门校本课程以提升教育水准，学校面向部分新生开展了“你选择的专业（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）本次问卷调查的样本容量为 　 　；“C”在扇形统计图中所对应的圆心角为 　 　°；
（2）补全条形统计图；
（3）若该职教中心新生共1500人，估计选择D的人数．
24．（7分）已知关于x，y方程组的解满足3y﹣x＜15．
（1）求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，是否存在整数a，使不等式（2a+1）x＞2a+1的解集为x＜1．若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
25．（8分）综合与实践
数学社团的同学以“两条平行线AB，CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°）”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线AB和CD之间．
探究：（1）如图1，把三角尺的45°角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，求∠FGC的度数；
类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；
迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，若存在∠FGC＝5∠DGE（∠DGE＜45°），直接写出射线GF与AB所夹锐角的度数．
26．（10分）某电脑商店计划购进A，B两种型号的电脑进行销售．若购进2台A型电脑和3台B型电脑需23000元，而购进4台A型电脑和1台B型电脑则需21000元．
（1）求A，B两种型号电脑每台的进价；
（2）因正值高考录取季，电脑的销售情况较好，商店决定投入500000元全部用于购进这两种型号的电脑．预计销售时每台A型电脑可获利900元，每台B型电脑可获利1000元．商店计划购进A型电脑的数量不超过120部，且这批电脑全部售出后，利润不低于111000元，则商店有几种进货方案？
（3）商店最后按（2）中可获得最大利润的方案进货并将电脑全部售出，商店决定拿出5%的利润，购买甲、乙两种型号的空气循环扇捐献给敬老院（两种型号都有），如果甲型空气循环扇每台500元，乙种型号的空气循环扇每台400元，请直接写出捐献空气循环扇台数最多捐赠方案．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A，B两点，若点A（0，a），B（b，0），满足．
（1）求a，b的值；
（2）若点C的坐标为（﹣1，2），连接AC，BC．则△ABC的面积为 　 　；
（3）点D在直线AB上，且AD＝2BD．数学活动小组的同学发现：
当点D在线段AB上时，可连接OD，△OBD的面积是△OAB面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点D坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点D的坐标．
2023-2024学年黑龙江省牡丹江四中七年级（下）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
选：B．
2．（3分）在实数，，0.2121121112…，（每两个2之间依次多一个1），﹣，中，无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
选：B．
3．（3分）2015年高考已经结束，南平市教研室从各校随机抽取1000名考生的数学试卷进行调查分析，这个问题的样本容量是（　　）
A．1000
B．1000名
C．1000名学生
D．1000名考生的数学试卷
选：A．
4．（3分）若一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字和为5，则这样的两位数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
选：C．
5．（3分）若一个样本的极差为83，取组距为10，则可以分成（　　）
A．10组 B．9组 C．8组 D．7组
选：B．
6．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（　　）
A．54° B．55° C．56° D．57°
选：C．
7．（3分）关于x，y的方程组与有相同的解，则a+4b﹣3的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣6 C．﹣10 D．﹣12
选：C．
8．（3分）已知实数a满足条件|2023﹣a|+＝a，那么a﹣20232的值为（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
选：D．
9．（3分）下列命题是真命题的个数是（　　）
①从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
②若，则a＝±1
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
④如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直
⑤若不等式组无解，则m的取值范围是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
选：A．
10．（3分）在正方形ABCD中，将△ABE、△BCF分别沿BE、BF折叠，使点A、C都与点G重合，则下列结论中正确的有（　　）
①∠EBF＝45°；
②BE＝BF；
③∠ABF＝∠BFE；
④△DEF的周长等于2AB；
⑤∠AEF+∠BFE﹣∠CBF＝180°．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
选：C．
二、填空题（每小题3分，满分30分）
11．（3分）﹣的立方根是 　﹣2　．
12．（3分）已知mx﹣3y＝2x+6是关于x，y的二元一次方程，则m的取值范围是 　m≠2　．
13．（3分）若点A（2m，3m﹣1）向上平移4个单位后得到的点在x轴上，则m的值为 　﹣1　．
14．（3分）线段AB和线段CD交于点O，OE平分∠AOD，点F为线段AB上一点（不与点A和点O重合）过点F作FG∥OE，交线段CD于点G，若∠AOC＝140°，则∠AFG的度数为　20°或160　°．
15．（3分）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有 　6　人．
16．（3分）若小明从A处出发沿北偏东45°方向行走至B处，又沿北偏西20°行走至C处，此时要把方向调整至与出发时的方向平行，则调整的角度为 　右转65°　．
17．（3分）若关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集是，那么关于x的不等式（a﹣b）x＞的解集是 　x＜　．
18．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB∥y轴，若点A的坐标为（5，n﹣1），点B的坐标为（n2+1，1），则n的值为 　﹣2　．
19．（3分）如图所示放置的△OB1A1，△B1B2A2，△B2B3A3，…都是边长为2的等边三角形，边OA在x轴上，且点O，B1，B2，B3…都在同一直线l上，且，，…则An的横坐标为 　﹣（n+1）　，纵坐标为 　　．
20．（3分）若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的方程5+（m﹣y）＝2（y﹣2）有正整数解，则符合条件的整数m有 　2　个．
三、解答题（满分60分）
21．（12分）（1）；
（2）解方程组；
（3）解不等式组．
【解答】解：（1）原式＝0.7+1+4﹣6
＝﹣0.3；
（2），
①+②×2，得：7x＝21，
解得x＝3，
将x＝3代入①，得：9+2y＝19，
解得y＝5，
∴方程组的解为；
（3）由x+3≤2x+5得：x≥﹣2，
由＜3﹣x得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
22．（6分）如图，∠CFD+∠1＝180°，AC∥DE．
（1）求证：DF∥BC；
（2）若∠1＝72°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠1＝∠C，
∵∠CFD+∠1＝180°，
∴∠CFD+∠C＝180°，
∴DF∥BC．
（2）解：∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵DF∥BC，∠1＝72°，
∴∠FDE＝∠1＝72°，
∴∠ADF＝∠FDE＝72°，
∴∠B＝∠ADF＝72°．
23．（7分）某职教中心与时俱进，决定开设A（酒店服务与管理），B（美容与形象设计），C（汽车制造与检修），D（计算机应用）四门校本课程以提升教育水准，学校面向部分新生开展了“你选择的专业（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）本次问卷调查的样本容量为 　40　；“C”在扇形统计图中所对应的圆心角为 　144　°；
（2）补全条形统计图；
（3）若该职教中心新生共1500人，估计选择D的人数．
【解答】解：（1）8÷＝40（人），
选择B课程的学生人数为：40×15%＝6（人），
选择C课程的学生人数为：40﹣8﹣6﹣10＝16（人），
所以选择C课程所对应的圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：40，144；
（2）选择B课程的有6人，选择C课程的有16人，补全条形统计图如下：
（3）1500×＝375（人），
答：该职教中心新生共1500人，选择D课程的大约有375人．
24．（7分）已知关于x，y方程组的解满足3y﹣x＜15．
（1）求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，是否存在整数a，使不等式（2a+1）x＞2a+1的解集为x＜1．若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1），
①+②得，
2x＝4a+8，
则x＝2a+4．
①﹣②得，
2y＝﹣2a+6，
则y＝﹣a+3，
所以原方程组的解为，
所以3y﹣x＝﹣3a+9﹣（2a+4）＝﹣5a+5．
因为3y﹣x＜15，
所以﹣5a+5＜15，
解得a＞﹣2，
所以a的取值范围是a＞﹣2．
（2）存在，整数a的值为﹣1．
因为不等式（2a+1）x＞2a+1的解集为x＜1，
所以2a+1＜0，
解得a＜，
又因为a＞﹣2，
所以﹣2＜a＜，
所以整数a的值为﹣1．
25．（8分）综合与实践
数学社团的同学以“两条平行线AB，CD和一块含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°）”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线AB和CD之间．
探究：（1）如图1，把三角尺的45°角的顶点E，G分别放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，求∠FGC的度数；
类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，若点E恰好落在AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；
迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，旋转三角尺，若存在∠FGC＝5∠DGE（∠DGE＜45°），直接写出射线GF与AB所夹锐角的度数．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGC＝150°，
∵∠FGE＝45°，
∴∠FGC＝150°﹣45°＝105°；
（2）过点E作EH∥AB，如图，
∴EH∥AB∥CD，
∴∠BME＝∠FEH＝25°，∠DGE＝∠HEG．
∴∠FEG＝∠FEH+∠GEH＝∠BME+∠DGE＝45°，
∴∠DGE＝45°﹣25°＝20°，
∴∠FGC＝180°﹣45°﹣20°＝115°；
（3）存在，有两种情况；
①当点E在CD上方时，如图；
∵∠FGC＝5∠DGE，
∴∠DGE+5∠DGE+45°＝180°，
∴∠DGE＝22.5°，
∴射线GF与AB所夹锐角的度数为45°+22.5°＝67.5°；
②当点E在CD下方时，如图；
∵∠FGC＝5∠DGE，
∴∠FGC+∠FGD＝180°，
即5∠DGE+45°﹣∠DGE＝180°，
∴∠DGE＝33.75°，
∴射线GF与AB所夹锐角＝∠FGD＝45°﹣33.75°＝11.25°，
综上所述射线GF与AB所夹锐角的度数为67.5°或11.25°．
26．（10分）某电脑商店计划购进A，B两种型号的电脑进行销售．若购进2台A型电脑和3台B型电脑需23000元，而购进4台A型电脑和1台B型电脑则需21000元．
（1）求A，B两种型号电脑每台的进价；
（2）因正值高考录取季，电脑的销售情况较好，商店决定投入500000元全部用于购进这两种型号的电脑．预计销售时每台A型电脑可获利900元，每台B型电脑可获利1000元．商店计划购进A型电脑的数量不超过120部，且这批电脑全部售出后，利润不低于111000元，则商店有几种进货方案？
（3）商店最后按（2）中可获得最大利润的方案进货并将电脑全部售出，商店决定拿出5%的利润，购买甲、乙两种型号的空气循环扇捐献给敬老院（两种型号都有），如果甲型空气循环扇每台500元，乙种型号的空气循环扇每台400元，请直接写出捐献空气循环扇台数最多捐赠方案．
【解答】解：（1）设A型电脑的进价是x元/台，B型电脑的进价是y元/台，
根据题意得：，
解得：．
答：A种型号电脑每台的进价4000元，B两种型号电脑每台的进价5000元．
（2）设购进A型电脑a台，则购进B型电脑＝（100﹣0.8a）台．
．
解得：110≤a≤120．
∵100﹣0.8a为正整数，
∴a可取的整数值为110，115，120．
∴当a＝110时，100﹣0.8a＝12；
当a＝115时，100﹣0.8a＝8；
当a＝120时，100﹣0.8a＝4．
答：商店有3种进货方案：A型电脑110台，B型电脑12台；A型电脑115台，B型电脑8台；A型电脑120台，B型电脑4台．
（3）A型电脑110台，B型电脑12台所获利润为：900×110+12×1000＝111000；
A型电脑115台，B型电脑8台所获利润为：900×115+8×1000＝111500；
A型电脑120台，B型电脑4台所获利润为：900×120+4×1000＝112000．
∵111000＜111500＜112000，
∴最大利润为112000．
设甲型空气循环扇m台，乙型空气循环扇n台．
500m+400n＝112000×5%．
整理得：5m+4n＝56．
4n＝56﹣5m．
n＝14﹣m．
∴或．
∵4+9＝13，8+4＝12，
13＞12，
∴捐献空气循环扇台数最多捐赠方案是甲型空气循环扇4台，乙型空气循环扇9台．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与两坐标轴分别交于A，B两点，若点A（0，a），B（b，0），满足．
（1）求a，b的值；
（2）若点C的坐标为（﹣1，2），连接AC，BC．则△ABC的面积为 　9　；
（3）点D在直线AB上，且AD＝2BD．数学活动小组的同学发现：
当点D在线段AB上时，可连接OD，△OBD的面积是△OAB面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点D坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点D的坐标．
【解答】解：（1）由题意，∵，
∴．
∴．
（2）由题意，结合（1）可得，A（0，6），B（3，0）．
如图，作CD⊥x轴于D．
∵C（﹣1，2），A（0，6），B（3，0），
∴OD＝1，CD＝2，OA＝6，OB＝3．
∴S△ABC＝S梯形ACDO+S△AOB﹣S△CDB
＝OD（CD+AO）+AO OB﹣CD DB
＝×1×（2+6）+×6×3﹣×2×（1+3）
＝4+9﹣4
＝9．
故答案为：9．
（3）由题意，①如图，当点D在线段AB上时，
∵AD＝2BD，
∴AB＝AD+BD＝3BD．
∴S△AOB＝3S△DOB．
∴△AOB边OB上的高是△DOB边OB上的高的3倍．
∵OA＝6，
∴D的纵坐标为2．
∵S△AOB＝3S△DOB，
∴S△AOD＝2S△DOB．
∴S△AOD＝S△AOB．
∴△AOB边OA上的高是△AOD边OA上的高的．
∵OB＝3，
∴D的横坐标为2．
∴D（2，2）．
②如图，当点D在AB的延长线上时，
∵AD＝2BD，
∴B是线段AD的中点．
设D（xD，yD），
又A（0，6），B（3，0），
∴＝3，＝0．
∴xD＝6，yD＝﹣6．
∴D（6，﹣6）．
③当点D在AB的反向延长线上时，
AD＝2BD不成立，不合题意．
综上，D（2，2）或（6，﹣6）．