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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 下册第27章
课标要求 1.理解圆、弧、弦、圆心角、 圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 2.探索并证明垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系， 知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半； 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 4.了解三角形的内心与外心。 5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念 (例75)。 6.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆 ;作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。 7.能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线 (例76)。 8.探索并证明切线长定理： 过圆外一点的两条切线长相等。 9.会计算圆的弧长、扇形的面积。 10.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
内容分析 本章是华师大版九年级下册第27章《圆》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的性质”。学生已经学习了简单图形的周长、面积和体积等知识，对立体图形和平面图形有了初步的认识，形成了基本的空间观念和几何观念。本章内容先由生活中的常见图形引入圆，随后引导学生观察圆的基本元素，分别探究点、线圆的位置关系和圆的切线，然后解决与圆有关的计算问题，最后探究正多边形的外切圆与内切圆，进一步巩固圆的相关知识，为后续学习圆柱、圆锥等立体几何知识打下基础。但是由于本章内容需要较强的抽象逻辑思维和空间想象能力，教师应注意用直观教学手段展示圆的基本元素和性质，帮助学生形成直观认识；同时让学生亲自动手操作，体验知识探究的过程和形成过程。
学情分析 学生已经直观认识了圆，并学习了长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，这为学习圆的相关知识提供了一定的基础。但是圆的性质较为抽象和复杂，学生的空间观念和几何观念正在发展中，因此学生在理解和应用上可能会存在一定的困难。本章在此基础上，通过多媒体等教学工具向学生直观的展示圆的相关的概念；同时让学生自己动手操作，探究知识的形成过程，发展学生的几何意识和动手能力；通过大量与生活相关的实际问题，让学生感受数学知识与生活之间的联系，发展数学素养。
单元目标 （一）教学目标 1.理解并掌握圆的基本元素 2.理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系，并能灵活运用这些关系解题 3.掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 4.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用圆周角的知识解决数学问题 5.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 6.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 7.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系 8.理解和掌握切线的判定定理和性质定理；能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题 9. 了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心 10.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能够运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题 11.能掌握圆锥的组成，并解决圆锥相关的问题 12.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.掌握垂径定理及其推论; 2.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论 3.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 4.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 5.理解和掌握切线的判定定理和性质定理； 6. 了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心 7.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能解决圆锥相关的问题 8.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形 教学难点： 1.能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 2.能运用圆周角的知识解决数学问题 3.掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 4.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系 5.能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数27.1圆的认识327.2与圆有关的位置关系427.3圆中的计算问题227.4正多边形与圆1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务27.1.1圆的基本元素1、理解并掌握圆的基本元素，能识别其基本元素。 2、通过观察、对比等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3、激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的探索精神和创新意识。1.能识别圆的基本元素。 活动一：情景导入， 展示生活中常见的圆形，激发学生学习的兴趣 活动二：观察圆的图形，思考圆的形成过程及其基本特征，探究圆的基本元素。 活动三：例题训练，请学生回答问题. 活动四：课堂小结，巩固所学知识，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.2圆的对称性1．理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系，并能灵活运用这些关系解题。 2、通过动手操作、观察对比等活动，培养学生的空间想象能力和动手能力。 3、感受数学图形的奇妙，提高学生对数学的兴趣。1．理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系 2.能够利用圆心角、弧和弦之间的关系进行简单应用 活动一：复习引入，回顾圆的基本元素，为继续探究圆的对称性奠定基础。 活动二：通过对折旋转等方式探究圆的对称性，以及弧、弦和圆周角之间的关系 活动三：例题精讲，运用圆心角、弧和弦之间的关系进行简单应用 活动四：课堂小结，巩固所学知识，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.3垂径定理1、掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题。 2、通过动手操作、观察对比等活动，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 3、通过发现、推理验证垂径定理的过程，培养学生的数学逻辑思维和严谨的数学态度。1、能掌握垂径定理及其推论 2.能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题。 活动一：复习引入，回顾圆的对称性中圆心角、弧和弦之间的关系 活动二：学生通过对折等方式进行探究，用演绎推论的方式证明结论，得到垂径定理。 活动三：例题精讲，运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 活动四：知识总结，加深对知识的理解和记忆，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.4圆周角1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用圆周角的知识解决数学问题。 2、引导学生经历圆周角定理的探究、证明和应用过程，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3、激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养严谨求实的数学态度。1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论 2.能运用圆周角的知识解决数学问题。 活动一：复习引入，回顾所学知识 活动二：学生动手操作，发现圆周角定理，证明圆周角定理及其推论的过程，加深学生对知识的理解 活动三：例题精讲，让学生运用圆周角定理及其推论进行简单的证明和计算，巩固知识，提高学生的应用能力和解题技巧。 活动四：知识总结，回顾本节课所学内容，梳理知识，巩固记忆 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.1点与圆的位置关系1.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法。 2.通过生活中的实际例子，探求点和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识；渗透数形结合、分类讨论等数学思想。 3. 激发学生学习数学的兴趣，培养学生的科学态度和科学探索的学习方法。1.能理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系 2.掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 活动一：情景导入，将数学与实际生活相联合，调动学生思维的积极性 活动二：通过动手操作、合作交流等方式，理解点和圆的三种位置关系以及三角形的外接圆、外心、内接三角形的概念和过不在同一直线上的三点画圆的方法 活动三：例题精讲，巩固和加深他们对课堂所学内容的理解，发展学生的思维和解题能力。 活动四：课堂小结，梳理本节课的知识框架 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.2.2直线与圆的位置关系1.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离）；能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系。 2.通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式。 3.渗透数形结合、归纳总结等数学思想，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的科学态度和科学探索的学习方法。1.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 2.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系。 活动一：情景导入，将数学与实际生活相联合 活动二：探究新知，结合图像理解直线与圆的三种位置关系，并会判断直线与圆的位置关系 活动三：例题训练，巩固和加深他们对课堂所学内容的理解 活动四：课堂小结，帮助学生形成系统、完整的知识体系 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.2.3切线（1）1.理解和掌握切线的判定定理和性质定理；能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题。 2.通过观察、思考、讨论和操作，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。 3.通过小组合作学习和自主探究，提高学生的综合运用能力和团队协作能力。1.能理解和掌握切线的判定定理和性质定理 2.能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题 活动一：情景导入，调动学生思维的积极性 活动二：探究新知，理解切线的判定定理和切线的性质定理 活动三：例题训练，根据题目要求选取恰当的表达式 活动四：课堂小结，巩固和加深学生对课堂所学内容的理解 活动五：巩固练习，请学生回答问题.27.2.4切线（2）1、了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心。 2.培养学生积极的学习态度，激发学生对数学几何知识的兴趣，增强学生的学习自信心。 3.通过探索三角形内切圆的性质，使学生感受数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣。1.能够运用切线长定理解决实际问题 2.能理解三角形内切圆的概念 3.掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心活动一：复习导入，回顾切线的判定定理和切线的性质定理 活动二：探究三角形内切圆的概念和三角形内心的定义，学习如何准确找出三角形的内心 活动三：例题精讲，应用所学知识解决简单的实际问题 活动四：课堂小结，巩固所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.3.1弧长与扇形的面积1.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能够运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题。 2、通过等分圆周的方法，体验弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生的探索能力、空间想象能力和数学运用能力。 3、体会数学与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。1.能掌握弧长和扇形面积的计算公式 2.运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题。 活动一：情景导入，激发学生的学习兴趣和求知欲 活动二：通过等分圆的方式探究弧长和扇形面积的计算公式 活动三：例题训练，加强学生对本节课知识的掌握和理解 活动四：课堂小结，引导学生自主总结公式记忆技巧和应用方法 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.3.2圆锥的相关计算1、掌握圆锥的组成，能够解决与圆锥相关问题。 2、通过对圆锥知识的学习，培养学生的空间几何观念。 3、培养学生良好的数学习惯。1、理解圆锥的组成 2.能够解决与圆锥相关问题。 活动一：复习导入，回顾所学知识 活动二：探究圆锥的组成，以及与圆锥相关的计算 活动三：例题训练，提高学生的应用能力和解题技巧 活动四：课堂小结，回忆所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.4正多边形和圆1.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形。 2.经历从具体到抽象、从感性到理性的探究过程，培养抽象思维和用数学知识解决实际问题的能力。 3.鼓励学生勇于探索知识，培养他们的探索精神和创新意识。1.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系 2.能通过圆来构造正多边形。 活动一：情景导入，引入课题 活动二：探究正多边形与圆之间的密切联系，学习通过圆来构造正多边形 活动三：例题训练，提高学生的应用能力和解题技巧 活动四：课堂小结，巩固所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题
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《圆中的计算问题》教学设计
第一课时《弧长与扇形的面积》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 弧长与扇形的面积是“华师大版九年级数学（下）”第二章第三节第一课时的内容。本节内容是与圆有关的计算中的一种，主要内容通过情景探究，帮助学生掌握弧长和扇形面积的计算方法，并能运用这些知识解决实际问题。本课时是对圆相关知识的深化和拓展，加深对圆的认识和理解，也是后续学习圆锥等立体图形的基础，具有重要作用。
学习者分析 学生学习过圆的周长和面积计算方法，以及圆心角的相关知识，同时具备了相对系统的数学思维，包括抽象、概括、类比、推理和运算能力，为学习弧长和扇形面积的计算奠定了基础。本课时通过情景引导学生逐步探究弧长和扇形面积的计算方法，同时通过大量的实际问题，培养学生运用知识解决实际问题的能力，深化理解。
教学目标 1、掌握弧长和扇形面积的计算公式；能够运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题。 2、通过等分圆周的方法，体验弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生的探索能力、空间想象能力和数学运用能力。 3、体会数学与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。
教学重点 掌握弧长和扇形面积的计算公式
教学难点 能够运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情景导入，引入新知教师活动1： 问题：如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为 100m，圆心角为 ，你能求出这段铁轨的长度吗？ （精确到 0.01m） 我们容易看出这段铁轨是圆周长的 ， 所以，铁轨的长度（m） 如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？学生活动1： 通过现实情境引入，吸引学生注意，激发学生的学习兴趣和求知欲。活动意图说明：通过生活实例引入新课，吸引学生注意，提高学生对本节课的学习兴趣，激发求知欲。环节二：探究新知，合作交流教师活动2： 思考：图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？ 探索： (1) 圆心角是，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的 . (2) 圆心角是，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 . (3) 圆心角是，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 . (4) 圆心角是，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 . (5) 圆心角是，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 . 如果弧长为 ，圆心角的度数为 ，圆的半径为 ， 那么，弧长为 因此弧长的计算公式为 我们知道，扇形是由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 如图，将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现：扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形的面积也越大。 怎样计算圆心角为 的扇形面积呢？ 我们知道，如果设圆的面积为 ，半径为 ，那么圆面积的计算公式为 ，半径为 的扇形的面积与相同半径的圆的面积有没有关系呢？ 思考：图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？ 探索： (1) 圆心角是，占整个周角的，因此圆心角是的扇形面积是圆面积的 . (2) 圆心角是，占整个周角的 ，因此圆心角是的扇形面积是圆面积的 . (3) 圆心角是，占整个周角的 ，因此圆心角是的扇形面积是圆面积的 . (4) 圆心角是，占整个周角的 ，因此圆心角是的扇形面积是圆面积的 . (5) 圆心角是，占整个周角的 ，因此圆心角是的扇形面积是圆面积的 . 如果设圆心角的度数为 的扇形面积为，圆的半径为 ，那么，扇形的面积为 因此扇形的面积的计算公式为 或 例1：如图 ，圆心角为 的扇形的半径为10cm，求这个扇形的面积和周长。（精确到0.01 cm2 和0.01cm） 解：因为， cm， 因此扇形的面积为 ， 扇形的周长为 学生活动2： 学生积极思考问题，提高学生课堂参与度，发展学生的几何意识 学生积极思考进行探索，回答问题，教师进行点拨讲解， 教师讲解弧长的计算公式，学生认真听讲，理解知识 学生积极思考，尝试回答问题 学生积极思考问题，提高学生课堂参与度，发展学生的几何意识 学生积极思考进行探索，回答问题，教师进行点拨讲解 教师讲解扇形的面积公式，学生认真听讲，理解知识 例题讲解，学生尝试解决问题，加强学生对本节课知识的掌握和理解活动意图说明：通过等分圆周的方法，让学生体验弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生的探索能力、空间想象能力和数学知识运用能力。环节三：例题精讲，再探新知教师活动4： 例1如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（ ） A． B． C． D． 例2一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为cm，则此扇形的半径为 cm． 例3已知扇形的圆心角为，扇形的面积，则这个扇形的半径 ． 例4扇形的圆心角为，半径为，则弧长是 ． 例5已知圆弧所在圆的半径为 50cm，所对的圆心角为 ,求该圆弧的长度.（精确到0.01cm）学生活动3： 学生认真思考，举手回答问题，教师进行补充和讲解 活动意图说明：通过例题，让学生对所学公式进行应用，巩固知识，提高学生的应用能力和解题技巧。环节四：课堂小结，总结归纳
教师活动4： 教师讲授：圆的半径为 ，设圆心角的度数为 时，所对弧长为 ，扇形面积为。 弧长的计算公式为 扇形的面积的计算公式为 或学生活动4： 学生回忆知识要点，举手回答问题，用自己的语言进行描述，教师进行评价和讲解 活动意图说明：回顾本节课的主要内容， 引导学生总结公式记忆技巧和应用方法，加强学生对所学知识的理解。
板书设计 弧长与扇形的面积 圆的半径为 ，设圆心角的度数为 时， 所对弧长为 ，扇形面积为。 弧长的计算公式为 因此扇形的面积的计算公式为
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在矩形中，，P是的中点，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点F，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（ ） A． B． C． D． 3. 如图，是的外接圆，，则劣弧的长是 ．（结果保留） 4．如图，手工课上，小明从大半圆形纸片上剪下一个小半圆（两个半圆的直径在一条直线上），然后用铅笔画了一条弦，满足弦与直径平行，且与小半圆相切，若测得弦的长度为8，则剩余纸片（阴影部分）的面积为 ． 5.龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长． 选做题： 6．如图，在中，半径，过的中点 作交于、 两点，且，以为圆心， 为半径作，交于点． （1）求的半径的长； （2）计算阴影部分的面积． 【综合拓展类作业】 1. 如图，已知在 Rt 中， 为 的中点． （1） 请利用尺规作出以 为直径的 （保留作图痕迹）． （2） 交 于点 ， 连结 ． 求证： 是 的切线． （3） 若 ， 求 与 ， 组成的阴影部分面积．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积( ) A． B． C． D． 2．2．如图，四边形是正方形，曲线 ， 叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（ ） A． B． C． D． 3．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是 的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留） 4.如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点、．求的长． 选做题： 5.某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． （1）如图1，，请直接写出的长为________ （结果保留根号）； （2）如图2，当时，连接，．求点C到桌面的距离（结果保留根号）； （3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到（图2—图3）过程中，点Q在上移动的距离． 【综合拓展类作业】 6．如图，是的直径，且，点是上的一个动点，是的一条弦，且，点在的延长线上． （1）若，求证：DE是的切线； （2）若点C为半圆的中点，连接，求的长．
教学反思 本节课通过启发式教学和循序渐进的探究过程，学生积极参与课堂活动，较好的掌握了弧长和扇形面积的计算公式。同时通过大量的实际问题，让学生能够把公式灵活应用于解决实际问题，提高学生解决实际问题的能力，发展了数学的应用意识。但是在习题的设计上，应注意梯度式练习，兼顾不同学的学生。
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27.3.1弧长与扇形面积
华师大版九年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1、掌握弧长和扇形面积的计算公式；能够运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题。
2、通过等分圆周的方法，体验弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生的探索能力、空间想象能力和数学运用能力。
3、体会数学与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。
情景导入
问题：如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为 100m，圆心角为 ，你能求出这段铁轨的长度吗？ （精确到 0.01m）
我们容易看出这段铁轨是圆周长的 ，
所以，铁轨的长度
（m）
如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？
新知讲解
思考：图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？
(1) 圆心角是，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的 .
(2) 圆心角是，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 .
探索：
新知讲解
(3) 圆心角是，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 .
(4) 圆心角是，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 .
(5) 圆心角是，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 .
新知讲解
如果弧长为 ，圆心角的度数为 ，圆的半径为 ，
那么，弧长为
因此弧长的计算公式为
新知讲解
我们知道，扇形是由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。
如图，将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现：扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形的面积也越大。
怎样计算圆心角为 的扇形面积呢？
我们知道，如果设圆的面积为 ，半径为 ，那么圆面积的计算公式为 ，半径为 的扇形的面积与相同半径的圆的面积有没有关系呢？
新知讲解
思考：图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？
(1) 圆心角是，占整个周角的，因此圆心角是的扇形面积是圆面积的的 .
探索：
新知讲解
(3) 圆心角是，占整个周角的 ，因此圆心角是的扇形面积是圆面积的 .
(4) 圆心角是，占整个周角的 ，因此圆心角是的扇形面积是圆面积的 .
(5) 圆心角是，占整个周角的 ，因此圆心角是的扇形面积是圆面积的 .
(2) 圆心角是，占整个周角的 ，因此圆心角是的扇形面积是圆面积的 .
新知讲解
如果设圆心角的度数为 的扇形面积为，圆的半径为 ，
那么，扇形的面积为
因此扇形的面积的计算公式为
或
新知讲解
解：因为， cm，
因此扇形的面积为
，
扇形的周长为
例1：如图 ，圆心角为 的扇形的半径为10cm，求这个扇形的面积和周长。（精确到0.01 c㎡ 和0.01cm）
典例精析
例1:如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（ ）
A． B．
C． D．
C
典例精析
例2 :一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为cm，则此扇形的半径为 cm．
9
例3 :已知扇形的圆心角为，扇形的面积，则这个扇形的半径 ．
例4 :扇形的圆心角为，半径为，则弧长是 ．
典例精析
例5:已知圆弧所在圆的半径为 50cm，所对的圆心角为 ,求该圆弧的长度.（精确到0.01cm）
解：因为， cm，
圆弧的长度为
答：圆弧的长度为cm。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，在矩形中，，P是的中点，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点F，若
，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
D
2．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（ ）
A． B． C． D．
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，是的外接圆，
，则劣弧的长是 ．（结果保留）
4．如图，手工课上，小明从大半圆形纸片上剪下一个小半圆（两个半圆的直径在一条直线上），然后用铅笔画了一条弦，满足弦与直径平行，且与小半圆相切，若测得弦的长度为8，则剩余纸片（阴影部分）的面积为 ．
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长．
解：∵弧长为（米），
∴整条龙的长是（米）．
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6．如图，在中，半径，过的中点 作交于、 两点，且，以为圆心， 为半径作，交于点．
（1）求的半径的长；
（2）计算阴影部分的面积．
解: （1）连接，
∵ ， ，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理得，
，即，
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解得， （舍去），
的半径的长为。
（2）
在中， ∵ ， ，
，，
课堂练习
【综合拓展类作业】
7． 如图，已知在 Rt 中， 为 的中点．
（1） 请利用尺规作出以 为直径的 （保留作图痕迹）．
（2） 交 于点 ， 连结 ． 求证： 是 的切线．
（3） 若 ， 求 与 ， 组成的阴影部分面积．
解：如图所示：
即为所求作的圆；
课堂练习
【综合拓展类作业】
证明： （2）连接， ，如图：
∵，分别为 和 的中点，
∴ 为的中位线，
∴ //.
∴ ， .
∵ ，∴ ，
∴ .
又∵，
∴ ≌ (SAS).
∴
∵ 是的半径，
∴ 是的切线.
课堂练习
【综合拓展类作业】
（3）如图所示：
∵ ， ∴ ，
由(2)知： .
∵ ，∴ ，
Rt 中，.
∴与、 组成的阴影部分面积为：
课堂总结
弧长的计算公式为
圆的半径为 ，设圆心角的度数为 时，所对弧长为 ，扇形面积为。
扇形的面积的计算公式为
或
板书设计
弧长与扇形的面积
圆的半径为 ，设圆心角的度数为 时，
所对弧长为 ，扇形面积为。
例题讲解
弧长的计算公式为
因此扇形的面积的计算公式为
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积( )
A． B．
C． D．
A
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，四边形是正方形，曲线 ，
叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（ ）
A． B．
C． D．
A
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是 的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留）
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点、．求的长．
解：连接、 、 ，则，
∵为的直径，，
∵ ，
，
则
∴
∴ ．
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5.某款“不倒翁”的主视图如图1，它由半圆O和等边组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动．
（1）如图1，，请直接写出的长为________ （结果保留根号）；
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
（2）如图2，当时，连接，．求点C到桌面的距离（结果保留根号）；
（3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返，直接写出从滚动到
（图2—图3）过程中，点Q在上移动的距离．
如图，过点 分别作 ， ，垂足分别为 , .
∵半圆 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ， ∴ // ,
解：（2）
F
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
∵点 为半圆 的中点， ，
∵ 为等边三角形，∴ ，
∴ ;
在 Rt 中， ，
∴
∴
即点 到桌面 的距离为.
（3）
作业布置
【综合拓展类作业】
6．如图，是的直径，且，点是上的一个动点，是的一条弦，且，点在的延长线上．
（1）若，求证：DE是的切线；
（2）若点C为半圆的中点，连接，求的长．
证明： （1）连接
为的直径
作业布置
【综合拓展类作业】
为的半径
是的切线
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）连接，则
在中，
为半圆的中点
在RT中，
谢谢
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