石门一中2025届高三数学入学考试试卷
时量：120分钟；分值：120分
一、单选题
1．已知集合，，若中恰有两个元素，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．或 C． D．
3.已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
4.已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
5.若，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数在定义域上是单调函数，若对任意都有，则（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
8. 设，记在区间上的最大值为，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
二、多选题
9．已知，下列命题为真命题的是（ ）
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A. 若，则. B. 若，则
C. 若且，则. D. 若，则
10.已知定义在上的偶函数f(x)满足：，且当时，单调递减，下列结论正确的是（ ）
A.； B.为函数图象的一条对称轴；
C.在单调递增；
D.若方程在上的两根为、，则．
11．若关于x的不等式的解集是，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为___________.
13.已知定义在R上的函数同时满足以下两个条件：
①对任意，都有；
②对任意且，都有.
则不等式的解集为___________.
设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________.
四、解答题
15.设集合，.
(1)若A=B且，求实数a，b的值；
(2)若B是A的子集，且a+b=2，求实数b的取值范围.
16.已知函数．
（1）若a=4,求不等式>-1的解集；
（2）若方程f(x)=-x有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.
17.为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在 “跑步20 分钟”和“跳绳20 分钟” 中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天他跑步的概率为，跳绳的概率为. 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为. 已知寒假第一天不下雪，跑步分钟大约消耗能量卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里. 记寒假第天不下雪的概率为 .
(1)求的值，并求;
(2)设小王寒假第天通过运动消耗的能量为，求的数学期望.
18.已知函数.
(1)求的最小值；
(2)记为的导函数，函数有且只有一个零点，求的取值范围.
19.对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.
(1)若是位差值为的位差奇函数，求的值；
(2)已知，，若存在，使得是位差值为m的“位差奇函数”.
①求实数t的取值范围；
②设直线与函数的图象分别交于A、B两点，直线与函数的图象分别交于C、D两点，若存在，且，使得，求实数m的取值范围．石门一中2025届高三数学入学考试试卷
时量：120分钟；分值：120分
一、单选题
1．已知集合，，若中恰有两个元素，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】D【详解】由关于的不等式有解，得，解得或.
则或，故只有D选项符合必要不充分条件.故选：D.
3.已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【详解】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列
根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，
当且仅当x=y时取“=”，
4.已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间
【详解】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增
5.若，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】求出函数定义域，判断奇偶性和单调性，比较的大小即可.
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【详解】由题意知，由，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大，
即 ， 单调递增，
因为，，且，，
所以，所以，即，也就是.故选：D
高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.
【详解】解：，
则，即，当时，；
当时，；当时，；
当时，，综上，函数的值域为.故答案为：.
7.已知函数在定义域上是单调函数，若对任意都有，则（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】依题意采用换元法可令，解得，即函数解析式为，代入计算即可求得结果.
【详解】令，则，即，解得,
所以函数，所以.
故选：.
8. 设，记在区间上的最大值为，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】B
【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增，且，
所以是三者中的较大者，如图：
表示的函数图象为图中粗线部分，且，
所以当时，的最小值为.故选：B.
二、多选题
9．已知，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则. B. 若，则
C. 若且，则. D. 若，则
【详解】对A，，当时等号成立，故正确；
对B，因为，所以，则，故正确；
对C，且
则，故错；
对D，因为，所以，故正确．故选：ABD
10.已知定义在上的偶函数f(x)满足：，且当时，单调递减，下列结论正确的是（ ）
A.； B.为函数图象的一条对称轴；
C.在单调递增；
D.若方程在上的两根为、，则．
【解析】
A.依题意，,令,则,∴ ；B.,∴函数周期为,偶函数的对称轴是,∴是的对称轴；C.在上递减,又函数周期为，∴函数在上递减；D.在上递增，且为偶函数,∴ 在上递减,∴在上递减,图象关于对称,∴ 两个根的和为,
故正确的有ABD.
11．若关于x的不等式的解集是，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】由不等式的解集是，即方程的两个根为和，
所以，解得，，又由，则由，即，所以必有，
对于A中，且，所以，所以A正确；
对于B中，当时，得到，所以B错误；
对于C中，当时，，又由，所以C正确；
对于D中，当时，可得，
又由，所以D正确.故选：D.
三、填空题
12.命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“，”的否定为：“，”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，
所以当即时，恒成立，满足题意；
当即时，只需，
解得：.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
13.已知定义在R上的函数同时满足以下两个条件：
①对任意，都有；
②对任意且，都有.
则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】根据，变形，可构造，根据题意，可得函数的奇偶性和单调性，由此解不等式，可得答案．
【详解】由，可得：，
令，则，即函数为偶函数，
因为对任意且，都有，
不妨设，则有，即，
所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
由，得，即，
因为函数为偶函数，所以，
则，解得或，
则不等式的解集为.
故答案为：．
14.设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________.
【详解】当时，，而时，所以
又，
所以当时，，
当时，，
做出示意图如下图所示：
要使，则需，而由解得，所以，
【点睛】本题考查函数不等式的求解问题，解决问题的关键在于根据已知条件求出相应区间的解析式，运用数形结合的思想巧妙求解不等式，属于中档题.
四、解答题
15.设集合，.
(1)若A=B且，求实数a，b的值；
(2)若B是A的子集，且a+b=2，求实数b的取值范围.
【答案】(1).(2).
【详解】（1），
∵，∴，
∴，
∵，所以.
（2）∵，∴，则，
∵是A的子集，∴且(两个不等式不能同时取等号)，
解得.
16.已知函数．
（1）若a=4,求不等式>-1的解集；
（2）若方程f(x)=-x有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.
17.为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在 “跑步20 分钟”和“跳绳20 分钟” 中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天他跑步的概率为，跳绳的概率为. 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为. 已知寒假第一天不下雪，跑步分钟大约消耗能量卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里. 记寒假第天不下雪的概率为 .
(1)求的值，并求;
(2)设小王寒假第天通过运动消耗的能量为，求的数学期望.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意得到，且得到，利用构造法得到为等比数列，从而求出通项公式；
（2）求出，及对应的概率，得到的数学期望.
【详解】（1）由题意得，
第3天不下雪，分为两种情况，第2天不下雪且第三天不下雪，第2天下雪且第3天不下雪，
故，
依题意，
整理得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
即 ，所以；
（2），
由（1）得，
则他第天通过运动锻炼消耗的能量的期望为
.
18.已知函数.
(1)求的最小值；
(2)记为的导函数，函数有且只有一个零点，求的取值范围.
【答案】(1)； (2)或.
【详解】（1）由题得，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点；
又当时，，当时，，当时，，
所以只能在内取得最小值，因为是在（0，）内的极小值点，也是最小值点，所以．
（2）（法一）由题可得（），
∴
①当时，，函数在上单调递增，
又∵，∴函数有且仅有1个零点，符合题意；
②当时，令，，函数在上单调递增，因为
，∴存在唯一的实数，使得，即，当时，，单调递减；时，，单调递增；又∵时，，时，，且，
∴当函数有且仅有1个零点时，，∴符合题意
综上可知，的取值范围是或.
（法二）参变分离
19.对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.
(1)若是位差值为的位差奇函数，求的值；
(2)已知，，若存在，使得是位差值为m的“位差奇函数”.
①求实数t的取值范围；
②设直线与函数的图象分别交于A、B两点，直线与函数的图象分别交于C、D两点，若存在，且，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意分析可得为R上的奇函数，结合三角函数的奇偶性分析求解即可；
（2）①分析可知对任意的，均存在成立，整理可得，即可得结果；②根据向量平行分析可得，构建，可知在内不单调，结合复合函数单调性分析求解即可.
【详解】（1）因为
，
若是位差值为的位差奇函数，
则为上的奇函数，
注意到为上的奇函数，为上的偶函数，
可知，则，解得.
（2）①因为，
由题意可知：对任意的，均存在成立，
因为
整理可得，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
则，即，
所以实数t的取值范围为；
②由①可知：，
则，，
设，
则，
若，则，
且，即，则，
即，
构建，
则，且，，
结合在上连续不断，可知在内不单调，
令，则，
且在内单调递增，
可知在内单调递增，
当时，；当，；即，
可得在内不单调，
且的图象开口向上，对称轴，
则，解得，
所以实数m的取值范围为.
