7.4 平行线的性质课件 （30张PPT）2023-2024学年北师大版八年级数学上册

(共30张PPT)
7.4 平行线的性质
第七章 平行线的证明
两直线平行
1. 同位角相等
2. 内错角相等
3. 同旁内角互补
问题 平行线的判定方法是什么？
思考 反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
两条直线被第三条直线所截，
合作探究
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
平行线的性质
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截得的同位角.
求证：∠1 =∠2.
文字语言
符号语言
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
问题3：你能说说证明的思路吗？
G
H
证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点 M 作直线 GH，使∠EMH =∠2，如图. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH∥CD.
又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以∠1 =∠2.
如果∠1 ≠ ∠2，AB 与 CD 的位置关系会怎样呢？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
假设-反证法
一般地，平行线具有如下性质：
性质1 （定理） 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
∴∠1 =∠2
（两直线平行，同位角相等）.
∵ a∥b（已知），
应用格式：
总结归纳
议一议
利用上述性质，你能证明哪些熟悉的结论？
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
尝试来证明一下！
证明：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
（1）你能作出相关的图形吗？
（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
（3）你能说说证明的思路吗？
性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
已知：直线 a∥b，∠1 和∠2 是
直线 a，b 被直线 c 截得的内错角.
求证：∠1 =∠2.
证明：∵ a∥b (已知)，
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等).
∵∠1＝∠3 (对顶角相等)，
∴∠1＝∠2 (等量代换).
1
2
b
c
3
a
性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
已知：直线 a∥b，∠1 和∠2 是直
线 a，b 被直线 c 截得的同旁内角.
求证：∠1 +∠2 = 180°.
证明：∵ a∥b (已知)，
∴∠2 =∠3 (两条直线平行，同位角相等).
∵∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)，
∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换) .
1
2
b
c
3
a
例 已知：如图，b∥a， c∥a， ∠1，∠2， ∠3是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角.
求证：b∥c.
证明：
∵ b∥a（已知），
∴ ∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵ c∥a（已知），
∴ ∠2=∠3（等量代换）.
∴ ∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴ b∥c（同位角相等，两直线平行）.
定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
简述为：平行于同一条直线的两条直线平行.
平行线的性质
性质定理 1：
两直线平行，同位角相等.
∵ a∥b，∴∠1 =∠2.
性质定理 2：
两直线平行，内错角相等.
∵ a∥b，∴∠1 =∠2.
性质定理 3：
两直线平行，同旁内角互补.
∵ a∥b，∴∠1 +∠2 = 180°.
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
这些结论，以后可以直接运用.
总结归纳
归纳总结
证明一个命题的一般步骤：
(1) 弄清题设和结论；
(2) 根据题意画出相应的图形；
(3) 根据题设和结论写出已知，求证；
(4) 分析证明思路，写出证明过程.
解：∠A =∠C，∠B =∠D.
理由：∵ AB∥CD，AD∥BC (已知)，
∴∠A +∠D = 180°，
∠C +∠D = 180° (两直线平行，同旁内角互补).
∴∠A =∠C (同角的补角相等).
同理，∠B =∠D.
典例精析
A
D
C
B
例1 如图，已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，试问∠A 与∠C，∠B 与∠D 的大小关系如何？
证法一：
∵ AB∥DC（已知），
∴∠B +∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠B =∠D（已知），
∴∠D +∠C = 180°（等量代换）.
∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
A
D
C
B
例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D.
求证：AD∥BC.
证法二：
如图，延长 BA（构造一组同位角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1 = ∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B = ∠D（已知）
∴∠1 = ∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
1
例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D.
求证：AD∥BC.
A
D
C
B
证法三：
如图，连接 BD (构造两组内错角).
∵ AB∥CD (已知)，
∴∠1 =∠4 (两直线平行，内错角相等).
∵∠ABC =∠ADC (已知)，
∴∠ABC－∠1 =∠ADC－∠4 (等式的性质).
∴∠2 =∠3. ∴ AD∥BC (内错角相等，两直线平行).
1
2
3
4
A
D
C
B
例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D.
求证：AD∥BC.
平行线的判定与性质
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
素材：探索平行线的性质（点击播放及下一步操作）
1. 下列图形中，由 AB∥CD，能得到∠1 =∠2 的是 ( )
B
解：∵ AB∥DE ( )，
∴∠A =_______ ( ).
∵ AC∥DF ( ) ，
∴∠D =______ ( ).
∴∠A =∠D ( ).
2. (1) 有这样一题：如图 1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
P
F
C
E
B
A
D
图 1
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
等量代换
解：∵ AB∥DE ( )，
∴∠A = ______ ( ).
∵AC∥DF ( ) ，
∴∠D + _______=180° ( ).
∴∠A +∠D=180° ( ).
2. (2) 有这样一题：如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
图2
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行,同旁内角互补
等量代换
（3）∠4 = 70°，
两直线平行，同旁内角互补.
3. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截.
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度？为什么？
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度？为什么？
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度？为什么？
2
3
E
1
4
A
B
D
C
解：(1) ∠2 = 110°，
两直线平行，内错角相等.
（2）∠3 = 110°，
两直线平行，同位角相等.
4、一自行车运动员在一条公路上骑车，两次拐弯后，和原来的方向相同（即拐弯前后的两条路互相平行），若测得第一次拐弯的∠B是142°，则第二次拐弯的∠C应是多少度才合理？为什么？
解：∵AB//CD
∴ ∠B= ∠C(两直线平行，内错角相等）
∵ ∠B= 142°
∴ ∠C=142°
A
B
C
D
解：因为梯形上、下底互相平行，所以
∠A 与∠D 互补，∠B 与∠C 互补.
所以梯形的另外两个角的度数分别是 80°、65°.
于是∠D = 180°-∠A = 180°-100° = 80°，
∠C = 180°-∠B = 180°-115° = 65°.
5.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A = 100°，∠B = 115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
3、如图，由AB//CD，可以得到（ ）易错
（A）∠1=∠2 （B）∠2=∠3
（C）∠1=∠4 （D）∠3=∠4
C
4、如图，已知A、B、C同在一条直线上，D、E、F同在一条直线上，且∠A=∠F，∠C=∠D，判断AE与BF的位置关系，并说明理由.
解： ∵∠C=∠D
∴DF//AC
∴ ∠DEA= ∠A ∠F= ∠FBC
∴ ∠A= ∠FBC
∴AE//BF
6. 如图，在△ABC 中，CE⊥AB 于点 E，DF⊥AB 于点 F，AC∥ED，CE 是∠ACB 的平分线，则∠EDF =∠BDF，请说明理由.
解：因为 CE⊥AB，DF⊥AB，
所以 DF∥EC.
所以∠BDF =∠1，
∠EDF =∠3.
因为 AC∥ED，
所以∠3 =∠2.
所以∠EDF =∠2.
又 CE 平分∠ACB，
所以∠1 =∠2.
所以∠EDF =∠BDF.
（1）平行线的性质是什么？
（2）说说平行线的“判定”与“性质”有什么不同？
归纳小结