7.3 平行线的判定课件（30张PPT）2023-2024学年北师大版八年级数学上册

(共30张PPT)
7.3 平行线的判定
第七章 平行线的证明
回顾思考
1.公理:
2.定理:
3.证明:
公认的真命题.
经过证明的真命题.
除公理外，一个命题的正确性需要经过演绎推理，才能作出判断，这个演绎推理的过程叫做证明.
判断两条直线平行的方法有哪些？
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
(同位角相等，两直线平行)
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
(内错角相等，两直线平行)
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
(同旁内角互补，两直线平行)
公理
定理
定理
思考探究，获取新知
定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 （内错角相等，两直线平行）
条件是：_______________________________________,
结论是: ___________________.
两条直线被第三条直线所截，内错角相等
这两条直线平行
据说，人类知识的 75% 是在操作中学到的.
小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
通过这个操作活动，得到了什么结论
实验猜想
已知：如图，∠1和∠2是直线 a， b 被直线 c 截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b
a
b
c
1
2
3
证明：
∵ ∠1=∠2，
∠1=∠3（对顶角相等），
∴ ∠2=∠3（等量代换）.
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）.
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
2
b
a
1
3
∵∠3 =∠2(已知)，
∴ a∥b (内错角相等，两直线平行).
应用格式：
总结归纳
定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 （同旁内角互补，两直线平行）
条件是：_______________________________________,
结论是: ___________________.
两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
这两条直线平行
证明：∵∠1 与∠2 互补 (已知)，
∴∠1 +∠2 = 180° (互补的定义).
又∵∠3 +∠2 = 180° (平角的定义)，
∴∠1 =∠3 (同角的补角相等).
∴ a∥b (同位角相等，两直线平行).
a
b
c
1
3
2
如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且∠1 与∠2 互补. 求证：a∥b.
定理证明
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
应用格式：
2
b
a
1
∵∠1 +∠2 = 180° (已知)，
∴ a∥b (同旁内角互补，两直线平行).
总结归纳
归纳总结
证明一个命题的一般步骤：
1. 弄清条件和结论；
2. 根据题意画出相应的图形；
3. 根据条件和结论写出已知，求证； 4. 分析证明思路，写出证明过程.
想一想
我们可以用下图的方法作出平行线，你能说说其中的道理吗？
① ∵∠2 =∠6（已知），
∴ ___∥___ ( ).
② ∵∠3 =∠5（已知），
∴ ___∥___ ( ).
③ ∵∠4 +___ = 180°（已知），
∴ ___∥___ ( ).
AB
CD
AB
CD
∠5
AB
CD
同位角相等,两直线平行
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
A
C
1
4
2
3
5
8
6
7
B
D
F
E
典例精析
例1 根据条件完成填空.
① ∵∠1 =_____（已知），
∴ AB∥CE ( ).
② ∵∠1 +_____= 180°（已知），
∴ CD∥BF ( ).
③ ∵∠1 +∠5 = 180°（已知），
∴ _____∥_____ ( ).
CE
AB
∠2
④ ∵∠4 +_____= 180°（已知），
∴ AB∥CE ( ).
∠3
∠3
1
3
5
4
2
C
F
E
A
D
B
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
练一练 根据图形完成填空：
∴ AB∥MN（内错角相等，两直线平行）.
解：
∵∠MCA =∠A（已知），
又 ∵∠DEC =∠B（已知），
∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）.
∴ DE∥MN（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
例2 如图，已知∠MCA =∠A，∠DEC =∠B，那么
DE∥MN 吗？为什么？
A
E
B
C
D
N
M
如图，∠3 = 45°，∠1 与∠2 互余，试说明：AB∥CD.
解：∵∠1 =∠2 (对顶角相等)，
∠1 +∠2 = 90° (已知)，
∴∠1 = ∠2 = 45°.
∵∠3 = 45° (已知)，
∴∠2 =∠3.
∴ AB∥CD (内错角相等，两直线平行).
1
2
3
A
B
C
D
练一练
例3 如图所示，已知∠OEB = 130°，OF 平分∠EOD，∠FOD = 25°，AB∥CD 吗？试说明．
解 ： AB∥CD.
∵ OF 平分∠EOD，∠FOD = 25°，
∴∠EOD = 2∠FOD = 50°.
∵∠OEB = 130°，
∴∠EOD +∠OEB = 180°.
∴ AB∥CD (同旁内角互补，两直线平行).
做一做
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
做一做
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
1. 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到 a∥b 的是 ( )
A.∠1 = ∠2 B.∠2 = ∠4
C.∠3 = ∠4 D.∠1 +∠4 = 180°
【解析】∠1 的对顶角与∠4 是同旁内角，若∠1 +∠4 = 180°，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到 a∥b.
D
2. 如图所示，∠1 = 75°，要使 a∥b，则∠2 等于( )
A. 75°
B. 95°
C. 105°
D. 115°
a
b
1
2
【解析】∠1 的同位角与∠2 互为补角，所以∠2 = 180° - 75° = 105°.
C
3. 如图，已知∠1 = 30°，若∠2 或∠3 满足条件
____________________，则 a∥b.
2
1
3
a
b
c
∠2 = 150° 或∠3 = 30°
4. 如图.（1）从∠1 = ∠4，可以推出　 ∥ ，
理由是 .
(2) 从∠ABC +∠ = 180°，可以推出 AB∥CD，理由是 .
A
B
C
D
1
2
3
4
5
AB
内错角相等，两直线平行
CD
BCD
同旁内角互补，两直线平行
(3) 从∠ =∠ 2 ，可以推出 AD∥BC，
理由是 .
(4) 从∠5 =∠ ，可以推出 AB∥CD，
理由是 .
3
内错角相等，两直线平行
ABC
同位角相等，两直线平行
A
B
C
D
1
2
3
4
5
理由如下：
∵ AC 平分∠DAB (已知)，
∴∠1 =∠2 (角平分线的定义).
又∵∠1 =∠3 (已知)，
∴∠2 =∠3 (等量代换).
∴ AB∥CD (内错角相等，两直线平行).
5. 如图，已知∠1 =∠3，AC 平分∠DAB，你能判定
哪两条直线平行？请说明理由.
2
3
A
B
C
D
）
）
1
（
解：AB∥CD.
随堂练习
1、如图，若∠CBE=∠A，则 ∥ ，理由是 .
2、如图，DE是过点A的直线，要使DE∥BC应有（ ）
A、∠2=∠3 B、∠C=∠3
C、∠C=∠1 D、∠B=∠C
AD
BC
同位角相等，两直线平行
C
3、如图，BF交AC于B，FD交CE于D，且∠1=∠2，∠1=∠C.
求证：AC∥FD.
证明：
∵∠1 = ∠2，
∠1 = ∠C （已知）
∴∠2 = ∠C （等量代换）
∴ AC∥FD
（同位角相等，两直线平行）
4、如图，∠DAB 被 AC 平分，且∠1=∠3.
求证：AB∥CD.
证明： ∵ AC平分∠DAB （已知）
∴ ∠1=∠2 （角平分线定义）
∵ ∠1=∠3 （已知）
∴ ∠2=∠3 （等量代换）
∴ AB∥CD
（内错角相等，两直线平行）
做一做
蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α=109°28′，∠β=70°32′.试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论.
β
β
α
α
两条直线平行的判定方法
文字叙述 符号语言 图形
相等， 两直线平行 ∵ (已知)， ∴ a∥b.
_______相等， 两直线平行 ∵ (已知)， ∴ a∥b. ________互补， 两直线平行 ∵ (已知)， ∴ a∥b. a
b
c
1
2
4
3
∠1 =∠2
∠3 =∠2
∠2 +∠4 = 180°
同位角
内错角
同旁内角