6.3 中位线课件（39张PPT） 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

(共39张PPT)
6.3 中位线
第六章 平行四边形
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给两个小朋友，要求两人所分的大小相同，请
设计合理的解决方案；若平均分给四
个小朋友，要求他们所分的大小都相
同，请设计合理的解决方案．
情境引入
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的大小和形状都相同，怎么设计合理的解决方案呢？
问题1：你能将任意的一个三角形分成四个全等的三角形吗
合作探究
问题2：连接每两边的中点，看看得到了什么样的图形
四个全等的三角形
三角形的中位线及其性质
D
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
E
知识要点
两层含义：
② 如果 DE 为△ABC 的中位线，那么 D、E 分别为 AB、AC 的 .
① 如果 D、E 分别为 AB、AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的 ；
中位线
中点
F
D
A
B
C
1. 画出△ABC 中所有的中位线.
2. 画出三角形的所有中线，并说出中位线和中线的区别.
E
推进新课
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
一个三角形有几条中位线？
答：三条。
讨论
三角形的中位线与中线有什么区别？
答：中位线是连结三角形两边中点的线段；
中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。
问题3：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
小明的做法：将△ADE 绕 AC 边的中点 E 按顺时针方向旋转180° 到△CFE 的位置（如图），这样就得到了一个与 △ABC 面积相等的平行四边形 DBCF.
A
D
E
F
C
B
猜一猜：三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？
A
D
E
F
C
B
DE 和边 BC 的关系
数量关系：
位置关系：
平行
DE 是 BC 的一半
能说出理由吗
请同学们测量：
(1) ∠ADE， ∠ABC 度数；
(2) DE，BC 长度.
测量法
已知：如图，在△ABC 中，DE 是△ABC 的中位线. 求证：
DE∥BC，
DE = BC.
E
A
B
C
D
F
推理法
证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A=∠ECF，AD=CF.
∴CF∥AB.
∵BD=AD，
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF∥BC，DF=BC.
∴DE∥BC，DE= BC.
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示：
D
A
B
C
E
∵ DE 是 △ABC 的中位线，
归纳总结
∴ DE∥BC，
【定理的理解】
(1) 从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.
(2) 从结论看，它既可以得到线段的位置关系(平行)，又可以得到线段的数量关系(倍分关系)，大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
己知：如图
1.∵ E、F分别为AB、AC的中点。
∴ EF∥BC
（根据_____________________）
2.若BC =10cm，则EF =____cm。
3.若EF =6cm，则BC =____cm。
练习
三角形中位线定理
5
12
1. 如左图，MN 为△ABC 的中位线，若∠ABC = 61°，则∠AMN = °；若 MN = 12 ，则 BC 长为 .
A
M
B
C
N
61
24
练一练
A
D
B
C
E
2. 如右图，△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，
当 BC = 10 cm 时，则 DE = cm.
5
A
B
C
E
F
D
1. 图中有几个全等三角形，你是怎么
知道的？你能证明吗？
2. 图中有几个平行四边形？你能证明吗？
深入探究
3. (1) 已知三角形的各边分别为 6 cm，8 cm，12 cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 ____ cm.
13
(2) 已知三角形的周长为 64 cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 ____ cm.
32
(3) 已知△ABC 的周长为 a.
D、E、F分别为△ABC各边中点，△DEF的周长为 ；
G、H、I分别为△DEF各边中点，△GHI 的周长为 ；
C
A
B
D
F
E
G
H
I
像这样下去，第 3 个三角形的周长为 ；
第 n 个三角形的周长为 .
你发现了什么？
你还有什么想法？
解：S△DEF = S△ABC.
理由如下：由题意得 DE，DF，EF
是△ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB.
∴ 四边形 ADFE，BDEF，DECF 都是平行四边形.
4. 如图，D、E、F 分别是△ABC 三边的中点，你能发现
△DEF 的面积与△ABC 的面积有什么关系吗？为什么？
●
●
●
A
B
C
D
E
F
∴ S△DEF = S△ADE = S△BDF = S△CEF，
∴ S△DEF = S△ABC.
3. 如图，已知△ABC 中，AB = 3 cm，BC = 3.4 cm，AC = 4 cm，且 D，E，F 分别为 AC，AB，BC 边的中点，则△DEF 的周长是 cm.
A
B
C
D
E
F
5.2
练一练
4. 如下图，在 Rt△ABC 中，∠A = 90°，D，E，F 分别是各边中点，AB = 6 cm，AC = 8 cm，则 △DEF 的周长为______cm ．
12
E
F
B
A
C
D
典例精析
例1 已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为各边的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
分析：将四边形 ABCD 分割为三角形，利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：连接 AC.
∵E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴ EF∥HG，EF = HG.
∴EF∥AC，
HG∥AC，
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
练习
1. 已知三角形的各边长分别为8cm，10cm和12cm，求以各边中点为顶点的三角形的周长.
1. 如图，EF 是△ABC 的中位线，BC = 20，则 EF 的长为_____．
10
2. 如图，在△ABC 中，中线 CE、BF 相交于点 O，M、N 分别是 OB、OC 的中点，则 EF 和 MN 的关系是_____________.
平行且相等
3. 如图，A，B 两村相隔一座大山，你能想办法测出 A，B 两村的直线距离 AB 的大小吗？
A
B
C
若测得 MN = 360 m，则 AB = m.
M
N
解析：在 AB 外选一点 C，使 C 能
直接到达 A 和 B，连接 AC，BC；
分别找出 AC 和 BC 的中点 M，N.
720
如果 M、N 两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？
两次利用中位线，分别取 CM，CN 的中点并测量其距离.
随堂练习
1.如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若AB=10cm，AC=8cm，BC=12cm，则EF=____，DF=____，DE=____，△DEF的周长为______ .
5cm
4cm
6cm
15cm
2.如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD于E，若OE=3cm，则AD的长为（ ）．
A.3cm
B.6cm
C.9cm
D.12cm
B
4. 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°， D 是斜边 AB 的中点，E 是 BC 的中点.
（2）若 AB = 10，DE = 4， 求△ABC 的面积.
（1）DE⊥BC 吗？为什么？
A
B
C
D
E
∴ DE∥BC.
∵ DE = 4，∴ AC = 8.
∵ AB = 10，AC = 8，∴ BC = 6.
∵ D、E 分别是 AB、BC 的中点，
∵∠C = 90°，∴∠DEC = 90°. ∴ DE⊥BC.
你能看懂吗？
趣味数学
3.如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
求证：AB=2OF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD=BC．
∵CE=CD，∴AB＝CE，
∴四边形ABEC为平行四边形．
∴BF=FC，∴OF＝ AB，即AB=2OF．
∥
∥
∥
4.在平行四边形ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MN∥AD且MN= AD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
又∵EF∥AB，∴EF∥CD．
∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．
又∵M，N分别为□ABEF和□ECDF对角线的交点．
∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．
∴MN∥AD且MN= AD．
三角形中位线
定 义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
课堂小结
A　
B　
C　
D　
E　
在△ABC中， D，E分别是边AB，AC的中点，DE∥BC，且DE= BC .
三角形的中位线