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分课时教学设计
第一课时《 2.2.3命题的证明 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课内容全面、系统、深入地阐述了命题、定理、证明等核心概念及其相互关系。通过这一章节的学习，学生不仅能够掌握证明命题的基本技能和方法，还能够培养逻辑推理能力和严谨的数学思维。通过这一节的学习，学生将掌握证明命题的基本技能，培养逻辑推理能力和严谨的数学思维。
学习者分析 在此之前，学生具备一定的数学基础知识，如命题、定理、公理等基本概念，以及基本的逻辑推理能力。然而，由于学生的个体差异，部分学生可能对这些前置知识的掌握不够牢固，这会影响他们对新知识的理解和应用。因此在教学中要引导学生养成良好的学习习惯，如认真审题、仔细计算、及时复习等。同时，教师应关注学生的个体差异，针对不同学生的学习特点和需求提供个性化的辅导和帮助。
教学目标 1.了解证明的基本步骤，包括明确命题、分析条件、推导结论等。 2.掌握直接证明法和反证法等常用的证明方法，并能根据题目要求选择合适的证明方法进行解题。 3.通过分析和讨论不同的证明方法，学生能够理解逻辑推理的多样性和灵活性。 4.强调证明的必要性和重要性，使学生认识到数学证明在科学研究中的价值。 5.鼓励学生积极参与课堂讨论和活动，增强他们的学习动力和自信心。
教学重点 握证明命题的基本步骤和方法，如直接证明法和反证法等。
教学难点 随着学习的深入，学生需要面对更加复杂、抽象的命题证明，这对他们的思维能力和解题技巧提出了更高的要求。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 成语故事——自相矛盾 楚国有个卖盾和卖矛的人，夸耀他的盾很坚固，没有什么东西能刺穿它。又夸耀他的矛很锋利，没有穿不透的东西。 有人就问，有他的矛去刺他的盾，将会有什么样的结果。他回答不上来了。 思考：这个故事蕴含了什么道理？ 这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其词。 在数学中，常常借鉴这种“以子之矛攻子之盾”的做法来证明数学题。学生活动1： 学生根据问题情景思考给出的合理答案活动意图说明： 通过学习“自相矛盾”小故事，引出了课题《命题的证明》，也激发了学生学习兴趣。环节二：新知讲解教师活动2： 一、简单几何命题的证明 从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°（如图）。 采用剪拼或度量的方法可能接近360°， 但不能很准确地得到360° 真命题不能靠猜测，所以如何判断其为真命题？ 通过推理的方法加以证明 已知： 如图， ∠BAF， ∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角. 求证： ∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°. 证明 : ∵ ∠BAF=∠2+∠3， ∠CBD=∠1+∠3， ∠ACE=∠1+∠2 （三角形外角定理）， ∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3） （等式的性质）. ∵ ∠1+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理）， ∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°. 证明与图形有关的命题时， 一般有以下步骤： 例1已知： 如图， 在△ABC中， ∠B=∠C， 点D在线段BA的延长线上， 射线AE平分∠DAC求证： AE∥BC. 证明 ： ∵ ∠DAC=∠B+∠C （三角形外角定理）， ∠B＝∠C （已知）， ∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）. 又∵ AE平分∠DAC（已知）， ∴ ∠DAC=2∠DAE （角平分线的定义）. ∴ ∠DAE＝∠B （等量代换）. ∴ AE∥BC （同位角相等， 两直线平行）学生活动2： 组织学生进行小组讨论，根据证明的依据，寻找几何命题的证明过程，教师巡视给予指导，教师给出正确答案，师生共同归纳 活动意图说明： 在本环节通过小组讨论可提高学生合作探究能力以及分析问题、解决问题的能力，加深类比的思想。环节三：新知讲解教师活动3： 二、反证法 例2 已知： ∠A， ∠B， ∠C是△ABC的内角. 求证： ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°. 分析 这个命题的结论是 “至少有一个”， 也就是说可能出现 “有一个”、“有两个”、 “有三个” 这三种情况. 如果直接来证明， 将很繁琐， 因此， 我们将从另外一个角度来证明。. 求证： ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°. 证明： 假设∠A， ∠B， ∠C中没有一个角大于或等于60°， 即 ∠A＜60°， ∠B＜60°， ∠C＜60°， 则 ∠A+∠B+∠C＜180°. 这与 “三角形的内角和等于180°” 矛盾， 所以假设不正确. 因此， ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60° 当直接证明一个命题为真有困难时， 可以先假设命题不成立， 然后利用命题的条件或有关的结论， 通过推理导出矛盾， 从而得出假设不成立， 即所证明的命题正确， 这种证明方法称为反证法. 反证法是一种间接证明的方法， 其基本的思路可归结为 “否定结论， 导出矛盾， 肯定结论”。学生活动3： 学生自主探究，利用前面提到过的反例来思考证明过程，过程途中遇到困难，教师及时帮助，最后教师通过多媒体给出正确证明过程，师生共同归纳“反证法”。活动意图说明： 学生通过自主探究认识到遇到直接证明不了的问题，可以通过反证法来证明，并熟练掌握反证法证明过程。环节四：典例精析教师活动4： 用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角小于45°”时，应假设_______ 直角三角形的每个锐角都小于45° 学生活动4： 学生根据本节课知识完成问题活动意图说明： 通过练习加深本节课知识，并能正确运用。
板书设计 命题的证明 命题的证明
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法: ①命题“三角形任意两边之和大于第三边”的逆命题是真命题; ②三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三角形三个顶点的距离相等; ③用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，其中正确的有（ D ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ A ） A.有两个角是直角 B.有两个角是钝角 C.有两个角是锐角 D.有一个角是钝角 3下列推理正确的是（ B ） A.弟弟今年 13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁 B.如果 a>b，b>c，那么 a>c C.∠A 与∠B 相等，原因是它们看起来大小差不多 D.因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角 选做题： 用反证法证明:“三角形中最多有一个钝角"时，首先应先假设这个三角形中 至少有两个钝角 5.小明在解答“已知△ABC中，AB=AC，求证∠B<90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤: (1)所以∠B+∠C+∠A>180°，这与三角形内角和定理相矛盾. (2)所以∠B<90°. (3)假设∠B≥90° (4)那么，由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°请你写出这四个步骤正确的顺序（3）（4）（1）（2） 【综合拓展类作业】 用反证法证明：如图，在同一平面内，已知AB⊥l于点F，CD与l斜交于点E.求证：AB与CD必相交． 证明：假设AB与CD不相交，则AB∥CD. ∵AB⊥l， ∴CD⊥l.这与直线CD与l斜交矛盾． ∴假设AB与CD不相交不成立， ∴AB与CD必相交
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图 ，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ D ） A.当∠1=∠2 时，一定有 a∥b B.当 a∥b时，一定有∠1=∠2 C.当 a∥b时，一定有∠1+∠2=90° D.当 ∠1+∠2=90° 时，一定有a∥b 2.用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（ C ） A. a≤b B. a≠b C. a教学反思 本节课整体效果较好，学生已经知道三角形内角和是180°，那么本堂课的重点在于该定理的论证。课堂中引导学生动手操作，添加辅助线，培养学生良好的思维习惯，提高学生几何推理能力，真正体现数学学习的乐趣。
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 湘教版 册、章 第二章
课标要求 （1）理解三角形及其中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。（2）探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。（3）证明三角形的任意两边之和大于第三边。（4）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。（5）掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。（6）掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（7）掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。（8）证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（9）理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。（10）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。（11）理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°。探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形。（12）能用尺规作图:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形。
内容分析 第二章内容包括三角形的概念、等腰（边）三角形的性质和判定定理、垂直平分线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定等。本章内容在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力;经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力。
学情分析 八年级学生已经学习简单的三角形知识，但几何直观和推理能力还不成熟，因此在接下来教学中需要引导学生理解欧几里得平面几何的基本思想，感悟几何体系的基本框架:通过定义确定论证的对象，通过基本事实确定论证的起点，通过证明确定论证的逻辑，通过命题确定论证的结果。要组织学生经历图形分析与比较的过程，引导学生学会关注事物的共性、分辨事物的差异、形成合适的类，会用准确的语言描述研究对象的概念，提升抽象能力，会用数学的眼光观察现实世界;要通过生活中的或者数学中的现实情境，引导学生感悟基本事实的意义，经历几何命题发现和证明的过程，感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性，增强推理能力。
单元目标 （一）教学目标①理解并掌握三角形性质、三角形外角和、三角形三边关系，并用它们进行有关证明或计算；②掌握垂直平分线的定义、性质及判定定理；③理解全等三角形的概念，能根据基本事实判断三角形是否全等；④会利用尺规作图作三角形，角平分线，垂直平分线等；⑤经历探究三角形有关知识的运用过程，发展学生分析解决问题的能力；⑥培养学生的审美意识，感受数学的美。（二）教学重点、难点重点：能熟练应用三角形知识解决问题难点：经历探究三角形有关知识的运用过程，发展学生分析解决问题的能力
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1 三角形32.2命题与证明32.3等腰三角形22.4线段的垂直平分线22.5全等三角形52.6用尺规作三角形2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1三角形1．理解三角形的定义并明确三角形的边、角、顶点等基本概念；2．理解并掌握三角形三边关系的定理，能够运用这一定理判断给定的三条线段是否能构成三角形；3．理解三角形的高、角平分线和中线的定义，能够区分并识别出三角形中的这三种线段； 4．掌握在锐角三角形、直角三角形和钝角三角形中绘制高、角平分线和中线的方法；5.理解并准确表述三角形的内角和为180°的定理；6.能够运用三角形的内角和定理求出第三个角的度数，或者验证三角形的三个内角之和是否为180°；7.理解三角形外角的定义，掌握三角形外角的重要性质。学生理解并掌握三角形的相关知识（定义、三边关系，三线合一，内角和、外角等）；会画三角形的三线。活动一：通过例题合作总结三角形角形的相关知识（定义、三边关系，三线合一，内角和、外角等）活动二：通过例题总结三角形高线，角平分线、中线的画法活动三：出示计算题利用三角形计算2.2命题与证明1．理解“命题”是可以判断真假的陈述句，掌握命题的基本结构和特点；2．能够将命题改写成“如果……，那么……”的形式，明确区分命题的条件（题设）和结论；3.理解真命题、假命题、定理、反例等基本概念，明确它们的定义和区别；4.能够准确判断一个命题是真命题还是假命题，掌握判断命题真假的基本方法；5.理解定理的概念，知道定理是经过推理证实的真命题；6.了解证明的基本步骤，包括明确命题、分析条件、推导结论等；7.掌握直接证明法和反证法等常用的证明方法，并能根据题目要求选择合适的证明方法进行解题。学生掌握真假命题的概念并会区分；学生能够利用原命题写出逆命题并判断真假。学生能够掌握证明方法，并能写出规范证明过程。活动一：学生通过例题总结真假命题、逆命题的概念；活动二：通过例题掌握证明方法2.3等腰三角形1．掌握等腰三角形和等边三角形的性质；2．能够运用等腰三角形的性质进行简单的推理和证明，解决相关数学问题；3.理解并掌握等腰（边）三角形的判定定理；4.熟练运用等腰三角形的判定定理进行相关的推理和证明，解决与等腰三角形相关的数学问题；学生掌握等腰（边）三角形的性质和判定定理，并可利用其证明问题活动一：学生通过问题探究三角形的性质和判定定理活动二：学生利用其性质和判定作证明题，解计算题并解决实际问题2.4线段的垂直平分线1．识记并理解线段垂直平分线的性质定理； 2．理解并掌握线段垂直平分线的逆定理；3.理解线段垂直平分线的作法，能正确作图；4．理解过一点作已知直线的垂线的方法，能正确作图；5.能运用作线段的垂直平分线的方法解决实际问题。学生理解线段垂直平分线的概念、性质、判定定理，并利用其概念、性质、判定解决问题。可作图线段的垂直平分线活动一：学生通过问题掌握线段垂直平分线的概念、性质、判定定理；活动二：学生通过例题掌握其利用概念、性质、判定定理解决问题；活动三：出示复杂例题学生掌握综合运用线段垂直平分线的相关知识。2.5全等三角形了解全等图形。掌握全等三角形的概念，能用符号正确表示两个全等三角形；理解全等三角形的性质，能识别全等三角形的对应边、对应角；探究发现和掌握三角形全等的判定定理（SAS,AAS,ASA,SSS）学生通过问题探究掌握全等三角形的概念、性质和判定定理；学生可以利用其概念、性质和判定定理解决问题。活动一：学生通过问题掌握全等三角形的概念、性质、判定定理；活动二：学生通过例题掌握其利用概念、性质、判定定理解决问题；活动三：出示复杂例题学生能够综合利用全等三角形相关知识解决问题。2.6用尺规作三角形1．掌握基础作图作线段、作线段的垂直平分线，掌握已知三边作三角形的作法、已知底边和底边上的高，作等腰三角形的方法、作一个角的平分线的作法；2．掌握用尺规作一个角等于已知角（基础作图），能够用尺规作出已知两边夹角、两角夹边的三角形； 3．规范使用尺规规范地按照作图步骤作图。学生掌握根据各已知条件利用尺规作三角形。活动一：学生合作探究根据各已知条件利用尺规作三角形；活动二：通过例题熟练掌握规范的作图方法。
《三角形》单元教学设计
活动一：（合作完成）根据问题合作探究三角形的基本概念。
2.1.1三角形的相关概念和三边关系
活动二：（独立完成）通过例题认识等腰三角形和等边三角形。
活动三：（合作完成）通过例题掌握三边关系利用所学知识完成例题
活动四：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究三角形的高和角平分线。
2.1.2三角形的高线、角平分线和中线
活动二：（独立完成）通过例题总结归纳三角形的重心及重心。
三角形
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究三角形的内角和。
活动二：（合作完成）通过例题总结归纳三角形的外角。
2.1.3三角形的内角和与外角
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究“定义”的含义。
活动二：（独立完成）根据问题合作探究“命题”的概念。
。
2.2.1定义与命题
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究真假命题概念及判断方法。
。
活动二：（独立完成）根据问题合作探究证明的依据。
2.2.2真假命题与定理
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究简单几何命题的证明。
活动二：（独立完成）通过例题探究反证法。
2.2.3命题的证明
活动三：利用所学知识完成例题
三角形
活动一：（合作完成）根据问题合作探究等腰三角形的性质。
活动二：（独立完成）据问题探究等边三角形的性质。
2.3.1等腰（边）三角形的性质
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究等腰三角形的判定。
2.3.2等腰（边）三角形的判定
活动二：（独立完成）据问题探究等边三角形的判定。
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）根据问题合作探究线段垂直平分线的概念。
2.4.1线段的垂直平分线的性质定理及逆定理
活动二：（独立完成）通过例题总结线段垂直平分线的性质和判定定理。
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）通过例题探究线段垂直平分线的作法。
2.4.2作线段的垂直平分线
活动二：（合作完成）通过问题总结过一点作直线的垂线的方法。
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）通过问题探究全等三角形的概念及表示方法。
2.5.1全等三角形的概念和性质
活动二：（合作完成）通过问题总结全等三角形的性质。
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）通过例题探究全等三角形的判定定理。
三角形
2.5.2全等三角形的判定-SAS
活动二：（合作完成）通过问题总结全等三角形的判定（SAS）的应用。
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）通过例题探究通过例题探究全等三角形的判定定理。
2.5.3全等三角形的判定-ASA
活动二：（合作完成）通过问题总结全等三角形的判定（ASA）的应用。
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）通过例题探究通过例题探究全等三角形的判定定理。
活动二：（合作完成）通过问题总结全等三角形的判定（AAS）的应用。
2.5.4全等三角形的判定-AAS
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）通过例题探究通过例题探究全等三角形的判定定理。
活动二：（合作完成）通过问题总结全等三角形的判定（SSS）的应用。
2.5.5全等三角形的判定-SSS
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）通过例题探究已知三边作三角形的作法、已知底边和底边上的高，作等腰三角形的方法。
三角形
2.6.1用尺规作三角形--已知三边作三角形
活动二：（合作完成）通过问题总结作一个角的平分线的作法。
活动三：利用所学知识完成例题
活动一：（合作完成）通过例题探究作一个角等于已知角的作法、已知两边及其夹角作三角形的作法。
2.6.2用尺规作三角形--已知角和边作三角形
活动二：（合作完成）通过问题总结已知两角及其夹边作三角形的作法。
活动三：利用所学知识完成例题
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第二章 三角形
2.2.3命题的证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
典例分析
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
08
板书设计
01
教学目标
1.了解证明的基本步骤，包括明确命题、分析条件、推导结论等。
2.掌握直接证明法和反证法等常用的证明方法，并能根据题目要求选择合适的证明方法进行解题。
3.通过分析和讨论不同的证明方法，学生能够理解逻辑推理的多样性和灵活性。
4.强调证明的必要性和重要性，使学生认识到数学证明在科学研究中的价值。
5.鼓励学生积极参与课堂讨论和活动，增强他们的学习动力和自信心。
02
新知导入
成语故事——自相矛盾
楚国有个卖盾和卖矛的人，夸耀他的盾很坚固，没有什么东西能刺穿它。又夸耀他的矛很锋利，没有穿不透的东西。
有人就问，有他的矛去刺他的盾，将会有什么样的结果。他回答不上来了。
思考：这个故事蕴含了什么道理？
这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其词。
在数学中，常常借鉴这种“以子之矛攻子之盾”的做法来证明数学题。
03
新知讲解
一、简单几何命题的证明
做一做
采用剪拼或度量的方法， 猜测 “三角形的外角和” 等于多少度？
1
3
2
1
2
3
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°（如图）。 采用剪拼或度量的方法可能接近360°， 但不能很准确地都得到360°
03
新知讲解
一、简单几何命题的证明
真命题不能靠猜测，所以如何判断其为真命题？
通过推理的方法加以证明
命题（判断真假）
讲道理（推理）
从命题条件出发
结论成立
判断为真命题
运用定义、 基本事实以及已经证明了的定理和推论
03
新知讲解
一、简单几何命题的证明
证明命题 “三角形的外角和为360°” 是真命题。
已知： 如图， ∠BAF， ∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.
求证： ∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明 :∵ ∠BAF=∠2+∠3，
∠CBD=∠1+∠3，
∠ACE=∠1+∠2 （三角形外角定理），
∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3） （等式的性质）.
∵ ∠1+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理），
∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
1
2
3
03
新知讲解
一、简单几何命题的证明
证明与图形有关的命题时， 一般有以下步骤：
第一步
画出图形
根据题意
第二步
写出已知、 求证
根据命题的条件和结论，
结合图形
第三步
写出证明的过程
通过分析，
找出证明的途径
03
新知讲解
一、简单几何命题的证明
例1已知： 如图， 在△ABC中， ∠B=∠C， 点Ｄ在线段BA的延
长线上， 射线AE平分∠ＤＡＣ.
求证： AE∥BC.
证明 ∵ ∠DAC=∠B+∠C （三角形外角定理），∠B＝∠C （已知），
∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）.
又∵ AE平分∠DAC（已知），
∴ ∠DAC=2∠DAE （角平分线的定义）.
∴ ∠DAE＝∠B （等量代换）.
∴ AE∥BC （同位角相等， 两直线平行）
A
B
C
D
E
03
新知讲解
二、反证法
例2 已知： ∠A， ∠B， ∠C是△ABC的内角.
求证： ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.
分析 这个命题的结论是 “至少有一个”， 也就是说可能出现 “有一个”、“有两个”、 “有三个” 这三种情况. 如果直接来证明， 将很繁琐， 因此， 我们将从另外一个角度来证明。
03
新知讲解
二、反证法
例2 已知： ∠A， ∠B， ∠C是△ABC的内角.
求证： ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明： 假设∠A， ∠B， ∠C中没有一个角大于或等于60°，
即 ∠A＜60°， ∠B＜60°， ∠C＜60°，
则 ∠A+∠B+∠C＜180°.
这与 “三角形的内角和等于180°” 矛盾， 所以假设不正确.
因此， ∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°
03
新知讲解
二、反证法
当直接证明一个命题为真有困难时，
可以先假设命题不成立， 然后利用命题的条件或有关的结论， 通过推理导出矛盾， 从而得出假设不成立， 即所证明的命题正确， 这种证明方法称为反证法.
反证法是一种间接证明的方法， 其基本的思路可归结为 “否定结论， 导出矛盾， 肯定结论”.
04
典例分析
用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角小于45°”时，应假设_______
直角三角形的每个锐角都小于45°
05
课堂练习
1.下列说法:
①命题“三角形任意两边之和大于第三边”的逆命题是真命题;
②三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三角形三个顶点的距离相等;
③用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
D
【知识技能类作业】必做题：
05
课堂练习
2.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ）
A.有两个角是直角
B.有两个角是钝角
C.有两个角是锐角
D.有一个角是钝角
A
【知识技能类作业】必做题：
05
课堂练习
3下列推理正确的是（ ）
A.弟弟今年 13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁
B.如果 a>b，b>c，那么 a>c
C.∠A 与∠B 相等，原因是它们看起来大小差不多
D.因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
B
【知识技能类作业】必做题：
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.用反证法证明:“三角形中最多有一个钝角"时，首先应先假设这个三角形中________________
至少有两个钝角
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.小明在解答“已知△ABC中，AB=AC，求证∠B<90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤:
(1)所以∠B+∠C+∠A>180°，这与三角形内角和定理相矛盾.
(2)所以∠B<90°.
(3)假设∠B≥90°
(4)那么，由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°请你写出这四个步骤正确的顺序____________________
（3）（4）（1）（2）
05
课堂练习
6.用反证法证明：如图，在同一平面内，已知AB⊥l于点F，CD与l斜交于点E.求证：AB与CD必相交．
证明：假设AB与CD不相交，则AB∥CD.
∵AB⊥l，
∴CD⊥l.这与直线CD与l斜交矛盾．
∴假设AB与CD不相交不成立，
∴AB与CD必相交
【综合拓展类作业】
A
B
C
D
l
E
F
06
课堂小结
命题的证明
1.简单几何命题的证明：
通过推理的方法加以证明
2.反证法：
可以先假设命题不成立， 然后利用命题的条件或有关的结论， 通过推理导出矛盾， 从而得出假设不成立， 即所证明的命题正确， 这种证明方法称为反证法.
07
作业布置
1.如图 ，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）
A.当∠1=∠2 时，一定有 a∥b
B.当 a∥b时，一定有∠1=∠2
C.当 a∥b时，一定有∠1+∠2=90°
D.当 ∠1+∠2=90° 时，一定有a∥b
【知识技能类作业】必做题：
D
a
b
1
2
07
作业布置
2.用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（ ）
A. a≤b
B. a≠b
C. aD. a=b
【知识技能类作业】必做题：
C
07
作业布置
3.下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ）
A.两个角分别为13°，45°
B.两个角分别为45°，55°
C.两个角分别为40°，45°
D.两个角分别为105°，45°
【知识技能类作业】必做题：
B
07
作业布置
4.根据条件∠1与∠2互余，∠2与∠3 互补，可以推理得出∠1与∠3的关系是（ ）
A.∠1=∠3
B.∠1与∠3 互余
C.∠1与∠3 互补
D.∠3-∠1=90°
【知识技能类作业】选做题：
D
07
作业布置
5.如图,①AB ∥CD,②∠B=∠C, ③∠E=∠F,请你以其中两个作为题设,另一个作为结论构造命题.
(1)你构造的是哪几个命题
解：（1）可构造如下几3个命题:
a.如果AB//CD,∠B=∠C,那么∠E=∠F
b.如果AB//CD.∠E=∠F.那么∠B=∠C
c.如果∠B=∠C,∠E=∠F,那么 AB∥CD
【综合拓展类作业】
A
B
C
D
E
F
07
作业布置
5.(2)你构造的命题是真命题还是假命题 若是真命题,请用推理的方法说明理由.若是假命题,请举出反例(说明其中的一个命题即可).
上述三个命题均为真命题
证明：命题1如下∵AB∥CD
∴∠B=∠CDF
∵∠B=∠C
∴∠CDF=∠C
∴AC∥BD
∴∠E=∠F
【综合拓展类作业】
A
B
C
D
E
F
08
板书设计
命题的证明
简单几何命题的证明
反证法
Thanks!
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