2025届新高考背景下高考数学重点板块分析与教学建议 课件（共220张PPT）
文档属性
| 名称 | 2025届新高考背景下高考数学重点板块分析与教学建议 课件（共220张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 22.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-28 09:00:54 | ||
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文档简介
(共220张PPT)
2025届高考数学复习专题 ★★
2025届新高考背景下高考
数学重点板块分析与教学建议
目 录
CONTENTS
一
三角与向量
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
一、三角函数部分
考查要求
01
1．三角函数的定义求解角终边上一点的坐标；
2. 三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查；
3. 利用三角函数的性质求解三角函数的值、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考查；
4. 三角函数的化简与求值是高考的热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具；
5. 三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心．
二、解三角形部分
考查要求
01
1．正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算．
2．以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等．
三、平面向量部分
考查要求
01
1．以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算、平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档；
2．主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．
三角函数及图象的应用
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点01 三角函数概念 2024 甲卷2023 北京卷2021甲卷 北京卷2020 Ⅰ Ⅱ 终边角问题以及同角三角函数关系是高考的一个方向
考点02 三角函数恒等变形 2024 ⅠⅡ卷2023 ⅠⅡ卷2022 Ⅱ 卷2021 Ⅰ卷 三角函数恒等变换是高考数学高频考点，常考是二倍角公式的应用
考点03 三角函数图像及性质 2024 北京 天津 Ⅰ Ⅱ 甲卷2023 甲 乙卷2022 北京 甲 Ⅰ卷2021 北京 甲 Ⅰ卷2020 Ⅰ Ⅲ卷 三角函数图象伸缩变换及图象定区间最值极值问题是高考的重难点
考点04 三角函数综合应用 2023 ⅠⅡ 卷2022 甲卷2020 北京卷 三角函数中ω的范围问题三角函数综合性质应用的重难点
一、三角函数部分
考题分类汇编
识别图象——重复考查
5．(2019新课标Ⅰ卷文科T05，理科T05)函数在的图像大致为
A．
B．
C．
D．
1．(2022甲卷文科T07，甲卷理科T05)函数在区间的图象大致为
A．
B．
C．
D．
一、三角函数部分
考题分类汇编
识别图象——不断升级，改为识别解析式
2．(2022乙卷文科T08)如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是
A． B．
C． D．
一、三角函数部分
考题分类汇编
识别图象——信息缺省
3．(2020新课标Ⅰ卷文科T07，Ⅰ卷理科T07)设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为
A． B． C． D．
4．(2020新高考Ⅰ卷T10，Ⅱ卷T11，多选题)下图是函数的部分图像，则
A． B．
C． D．
一、三角函数部分
考题分类汇编
图像性质——给图用图，按图索骥
6．(2021甲卷文科T15)已知函数的部分图像如图所示，则 ．
7．(2021甲卷理科T16)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 ．
一、三角函数部分
考题分类汇编
5．(2021甲卷文科T15)已知函数的部分图像如图所示，则 ．
6．(2021甲卷理科T16)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 ．
解得所以最小正整数为
事实上看图可得
．
靠近最低点三等分点
衡位置三等分点
平衡位置
一、三角函数部分
考题分类汇编
16．(2023新高考Ⅱ卷T16)已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
解析 设相邻的两个交点的横坐标为，则，
又，或．
当时，，，，故．
函数图象过点，，故
所以，
所以或，
又因为，所以，．故填．
与正常，且周期为
得
靠近最低点三等分点
一、三角函数部分
考题分类汇编
三角函数的基本性质——由基本问题逐渐改造，循环考查
16．(2019新课标Ⅱ卷理科T09)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是
A． B． C． D．
13．(2020新课标Ⅲ卷理科T16)关于函数有如下四个命题：
①的图象关于轴对称； ②的图象关于原点对称；
③的图象关于直线对称； ④的最小值为．
其中所有真命题的序号是 ．
一、三角函数部分
考题分类汇编
三角函数的基本性质——由基本问题逐渐改编，循环考查
11．(2021新高考Ⅰ卷T04)下列区间中，函数单调递增的区间是
A． B． C． D．
8．(2022新高考Ⅱ卷T09，多选题)已知函数的图像关于点中心对称，则
A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线
一、三角函数部分
考题分类汇编
根据三角函数的性质研究参数——整体法
6．(2019新课标Ⅲ卷理科T12)设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个结论：
①在()有且仅有个极大值点； ②在()有且仅有个极小值点；
③在单调递增； ④的取值范围是．
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
2．(2022甲卷理科T11)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
一、三角函数部分
考题分类汇编
三角恒等变换——给值求值、给值求式、给式求值、给式求式
1．(2021乙卷文科T06)
A． B． C． D．
3．(2021新高考Ⅰ卷T06)若，则
A． B． C． D．
6．(2020新课标Ⅰ卷理科T09)已知，且，则
A． B． C． D．
10．(2022新高考Ⅱ卷T06)若，则
A． B． C． D．
高考验证
9．(2023乙卷文科T14)若，，则 ．
11．(2023乙卷理科T10)已知等差数列的公差为，集合，若，则
A．－1 B． C．0 D．
12．(2023新高考Ⅰ卷T06)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A．1 B． C． D．
13．(2023新高考Ⅰ卷T08)已知，，则
A． B． C． D．
15．(2023新高考Ⅱ卷T07)已知为锐角，，则
A． B． C． D．
基本运算，同角
基本运算，倍角
基本运算，倍角
基本运算，倍角
创新试题，以等差数列为背景，通过对数据分析寻找角间的关系
一、三角函数部分
重点题型及考查趋势：三角恒等变换
若，，则
A． B． C． D．
解析 解法一：因为，
所以
，
所以
，即，
所以．故选A．
复杂三角计算，消元
平时有益的工作——章末复习、方法提炼、微专题等
三角变换复习课
题型一 三角式的化简
例1
A． B． C． D．
*例2 某同学研究相关资料，得到两种求的方法，两种方法的思路如下：
思路一：作顶角为的等腰三角形，底角的平分线交腰于；
思路二：由二倍角公式，可知可表示为的二次多项式，推测也可以用的三次多项式表示，再结合．
请你按某一种思路：计算得的精确值为 ．
三角化简，给值化简
探索性问题
题型一 三角式的化简
题型二 单角的恒等变换问题
题型三 多角的恒等变换问题
题型四 证明等杂题
回顾与反思
核心知识：单角变换
核心方法：单角变换
拓展探索
教材P79，不同角度碰撞
教材P65
教材P55
教材P52
教材P56
教材P79
题型二 单角的恒等变换问题
例3 (1)已知，则 ．
(2)已知，则 ．
变式1 已知，则
A． B． C． D．
变式2 已知锐角满足，则 ．
变式3 已知是第三象限角，若，则 ．
换元
换元
先转化，后找思路
高次问题？降次？
题型三 多角的恒等变换问题
例4 已知，，则的值为
A． B． C． D．
变式4 已知锐角满足 ，则 ．
例5 已知，，则 ．
变式5 若，则的值为 ．
变式6 已知，则的值为 ．
例6 已知均为锐角，，则的最大值为
A． B． C． D．
元的关系
元的关系
元的关系
元的关系
元的关系
消元
核心：已知元与未知元的关系、多元与少元的关系
题型四 证明等杂题
例7 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
；
；
；
；
．
试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
*例8 计算三角比值时，我们常会用到对称思想来解题．
例如，求证：
证明：设，
，所以，
而
，于是式．
根据的证明，计算下面两式的值．
；
．
猜想证明
高阶知识
一、三角函数部分
重点题型及考查趋势：三角函数图象
例3 (2020新课标Ⅰ卷文科T07，Ⅰ卷理科T07)设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为
A． B． C． D．
考查方向1 函数在上的图象的大致形状是
A．
B．
C．
D．
一、三角函数部分
重点题型及考查趋势：三角函数的性质
考查方向2 将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是
A．在区间上为增函数 B．
C． D．
考查方向3 函数的部分图像如图所示，且．则下列选项正确的是
A． B．
C．在区间上为减函数 D．
一、三角函数部分
重点题型及考查趋势
例4 (2019新课标Ⅲ卷理科T12)设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个结论：
①在()有且仅有个极大值点； ②在()有且仅有个极小值点；
③在单调递增； ④的取值范围是．
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
为了高考的缝缝补补
例1 已知函数的周期为．
(1)求的值；
(2)求函数在内的值域．
例2 (2023广东汕头统考二模)已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)若，求函数的单调区间．
三角函数的性质(1)
例3 已知函数．
(1)若点是函数图像的一个对称中心，且，求函数在上的值域；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
例4 已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的．
(1)若的最小正周期为，求的图象与轴距离最近的对称轴方程；
(2)若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
为了高考的缝缝补补
三角函数的性质(2)
例1 设．
(1)若，求函数的零点；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
例2 已知函数，．
(1)求的对称轴；
(2)若在内的最大值与最小值之和为，求．
为了高考的缝缝补补
三角函数的性质(2)
例3 (2023四省联考T18)已知函数在区间单调，其中为正整数，，且．
求图像的一条对称轴；
若，求．
4．(理科选做题)已知定义在上的函数．
(1)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求的值；
(2)将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若成等差数列，求的值．
考题分类汇编
用正余、弦定理解三角形——全国卷(典型问题典型考法）
二、解三角形部分
13．(2019新课标Ⅱ卷文科T15)的内角的对边分别为．已知，则 ．
14．(2019新课标Ⅱ卷理科T15)的内角的对边分别为．若，，，则的面积为 ．
10．(2020新课标Ⅰ卷文科T18)的内角的对边分别为．已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若，求．
8．(2020新课标Ⅲ卷理科T07)在中，，，，则
A． B． C． D．
考题分类汇编
二、解三角形部分
9．(2020新高考Ⅰ卷T17，Ⅱ卷T17)在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，______________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
用正余、弦定理解三角形——新高考卷(变化较大，综合型更强）
5．(2021新高考Ⅰ卷T19)记是内角的对边分别为已知，点在边上，
(1)证明：；
(2)若，求
2．(2022新高考Ⅱ卷T18)记的内角的对边分别为，分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知，．
(1)求的面积；
(2)若，求．
考题分类汇编
综合运用正、余弦定理解决与面积、周长等几何量相关范围或最值问题
二、解三角形部分
6．(2019新课标Ⅲ卷文科T18，理科18)的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
2．(2022乙卷理科T17)记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，，求的周长．
3．(2022新高考Ⅰ卷T18)记的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
全国卷条件一般比较简单，入口小；
新高考条件复杂，在方法的选择上要慎选。
考题分类汇编
条件的转译，功在平时
二、解三角形部分
在中，内角的对边分别为，求下列条件下角的值．
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ；
⑧ ；
⑨ 的面积为．(1)；
(2)；
⑩ ．
考题分类汇编
重视基础问题，积累经验
二、解三角形部分
1．在中，内角的对边分别为，且，，求解下列问题．
① 若的面积为，求的周长；
② 若的面积为，求；
③ 若，求的面积；
④ 求周长的最大值；
⑤ 求面积的最大值；
⑥ 求周长的取值范围；
⑦ 求面积的取值范围；(亦可限定为锐角三角形，对角作出限制)
⑧ 求的最大值；
⑨ 求的取值范围；
⑩ 求内切圆半径的最大值．
2．在中，内角的对边分别为，且，，求周长的取值范围．
二、解三角形部分
重点题型及考查趋势：三角形中的边与角的函数值及面积
例1(2017新课标Ⅲ卷理科T17)的内角的对边分别为，已知，，．
(1)求角和边长；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
考查方向1 在中，内角的对边分别为，，点是边上的一点，且．
求证：；
若，求．
二、解三角形部分
重点题型及考查趋势
考查方向2 的内角的对边分别为，已知，是线段上一点，．
求证：；
若，求的面积．
考查方向3 在中，角的对边分别为．已知，，是边上一点．
求的值；
若．
求证：平分；
求面积的最大值及此时的长．
综合考点——与导数及其它知识混合
1．(2022乙卷文科T11)函数在区间的最小值、最大值分别为
A． B． C． D．
4．(2020新课标Ⅱ卷理科T21)已知函数．
(1)讨论在区间的单调性；
(2)证明：；
(3)设，证明：．
5．(2019新课标Ⅰ卷文科T20)已知函数，为的导数．
(1)证明：在区间存在唯一零点；
(2)若时，，求的取值范围．
3．(2023甲卷文科T21)已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
7．(2023甲卷理科T21)已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．
17．(2023新高考Ⅱ卷T22)(1)证明：当时，；
(2)已知函数，若是的极大值点，求的取值范围．
三角与导数结合问题
三角与导数结合问题
三角与导数结合问题
相关考点拓展
1. 周期性、对称性(极值与零点)、单调性之间的逻辑关系：
以函数为例．
(1)几何直观：相邻两条对称轴(或相邻两个对称中心)之间的距离为最小正周期的；
相邻对称轴与对称中心之间的距离为最小正周期的．
(2)代数角度：相邻两个极值点(或相邻两个零点)之差的绝对值是最小正周期的；
相邻极值点与零点之差的绝对值是最小正周期的．
(3)函数的极值点对应函数的对称轴，零点对应函数的对称中心．
相关考点拓展
(4)单调区间的长度不大于半周期．
若是函数的极大值点，则，，
函数在上单调递增，在上单调递减；
若是函数的极小值点，则，，
函数在上单调递减，在上单调递增；
若是函数的零点，则函数在上单调．
2. 利用导数工具研究函数的图像与性质
近几年的高考逐渐注重对三角函数图象凹凸性的考查以及利用导数工具研究三角函数．
备考教学建议
三角函数
1. 系统复习，重视三角函数的概念，如三角函数的定义、利用单位圆研究三角函数；
2. 重视三角函数性质，近几年全国卷注重考查周期性、单调性、对称性三者之间的逻辑关系，复习可从代数运算与几何直观的角度进行梳理，尤其是注意参数对函数图象的影响；
3. 关注创新能力命题方面，对三角函数图象与性质的研究，注意结合导数的工具；三角函数是刻画圆周运动的数学模型，注意对实际应用问题的复习，尤其是利用定义建立函数解析式，属于数学建模问题．
解三角形
解三角形具有良好的文化底蕴和应用价值，2007年以来的全国卷中，体现文化或应用的三角试题也是偶有出现．随着数学建模核心素养的提出，数学文化日益受到关注，具有文化背景、设问开放、关注现实的考题会越来越多．
平面向量
(1)向量的基本概念与运算要熟记于心，向量也可能以多选题形式考查考生对基本概念的理解；
(2)解决向量问题时注意数形结合，适度关注向量的几何表征；新教材改变了投影、投影向量的提法，对投影问题要从概念及利用概念解决基本问题出发，予以关注；
相关微专题
必备知识
微专题1：三角学基础公式
微专题2：利用辅助角公式化简三角函数
微专题3：解三角形一题多变
二轮系统微专题
微专题1：三角函数的图象与性质(基本)
微专题2：三角恒等变换与解三角形(基本)
微专题3：三角中的最值、范围问题(基本)
微专题4：根据三角函数图像获取信息
微专题5：三角函数中的取值范围
微专题6：平面向量的基本运算和应用(基本)
微专题7：与平面向量有关的最值、范围问题(强化)
微专题8：极化恒等式、投影向量(强化)
微专题9：等和线、奔驰定理、三角形四心(强化)
目 录
CONTENTS
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
二
立体几何
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
空间几何体基本性质及变面积体积 2024 甲卷 Ⅰ卷2023 Ⅰ Ⅱ 乙 甲 北京 天津2022甲卷 2021 乙卷 2020Ⅱ卷 空间几何体点线面位置关系以及夹角问题，表面积体积以及圆锥对应面积的运算一直是高考的热门考点，要加以重视，另外台体的表面积体积应该重点复习
空间几何体内接球外接球的应用 2023 乙卷2022甲卷 乙 2020Ⅰ卷 几何体内切球外接球问题是高考立体几何中的难点，近两年考查比较少，但是应掌握长常规空间几何体的外接球内切球的技巧
空间几何体性质综合应用 2024 Ⅱ卷 2023 北京卷 甲卷2022Ⅰ卷 乙卷2021 Ⅱ卷 2020 山东卷 Ⅰ卷 空间几何体容易与其他知识点相结合构成新的情景类问题也是近年来高考新改革的一个重要方向
考查内容分析—— 新高考下试题的特征
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
求空间几何体表面积体积 2023 甲 2022 甲 2021 甲 2021 乙 2020 全国Ⅰ Ⅱ卷 空间几何体表面积体积问题一般采用等体积法或者是空间向量解决，一般出现在第一问。
求二面角 2024甲 Ⅱ卷2023Ⅱ 乙卷2022Ⅰ Ⅱ卷2021 甲 乙 Ⅱ卷2020 Ⅰ卷 二面角的正弦余弦值是高考空间几何体的高频考点，也是高考的一盒重要的趋势。
求线面角 2023甲卷2022 甲乙卷2020 Ⅰ Ⅱ Ⅲ卷 线面角问题是高考中的常考点，方法是方向向量与法向量的夹角
已知二面角，求点，距离 2024 Ⅰ卷2023 Ⅰ卷2021 Ⅰ卷 求距离问题是高考Ⅰ卷的一个重大趋势，容易与动点问题相结合
求点到面的距离 2024甲卷2021 Ⅰ卷 点到平面的距离问题是高考的一个重要题型，应加强这方面的练习
考查内容分析——新高考下试题的特征
新高考卷立体几何题量一般是“两小一大”或“三小一大”，分值为22分-27分，占比为14.7%-18%；
新高考卷立体几何题单选题、多选题、填空题、解答题四种题型一应俱全。多选题成为立体几何考查题型的“新宠”。
特征一：试题分值固定，题型一应俱全
新高考卷立体几何题中“小题”一般不给图。以识图、画图、想图、用图等方式考查学生“心中构图”的空间想象能力。
新高考卷立体几何题主要以三棱柱、四棱柱（正方体）、三棱锥、四棱锥、四棱台、圆台、圆锥、球为背景命题。
新高考组合体及非规则几何体的载体，突出了割补思想的灵活运用。
2020山东模拟
2020新高考卷
2021新高考I卷
2021新高考Ⅱ卷
2022新高考Ⅱ卷
2022新高考I卷
2023四省适应
特征二：无图突出想象，载体传承创新
高考考查的主要内容:有对空间几何体的基本结构和度量的考查；有对空间点、线、面位置关系的考查；有以空间几何体为背景，指向实际问题中长度、角度、面积、体积计算的应用问题 。
在高考中，立体几何常与导数、概率交汇考查；甚至还与物理、地理等其他学科融通命题。
基础性
综合性
应用性
创新性
核心价值学科素养关键能力
必备知识
考查内容
线面垂直，面面平行，球体性质，数学文化
直棱锥性质，线面垂直，球体性质，立体几何轨迹问题，扇形弧长公式
线面平行，线面角最值问题（函数建模，函数最值）
线面垂直，面面平行，球体性质，数学文化
正方体、三棱锥体积
线面平行，线面角最值问题（函数建模，函数最值）
侧面展开图、圆锥侧面积
空间向量的线性表示，立体几何轨迹问题，利用空间向量判断线线、线面垂直
面面垂直的证明，已知二面角大小求体积
球体积、表面积
棱台体积公式
正方体内的线线、线面位置关系
线线垂直的证明，求二面角
棱台的体积公式，数学阅读
四棱锥性质，球截面，函数建模，函数最值问题
正方体内线线、线面关系（夹角）
点到平面的距离，求二面角
棱台性质，球的表面积
几何体分割后的体积关系，体积计算
线面平行证明，求二面角
特征三：考点覆盖全面，知识交汇融通
近年来，高考试题不断创新，打破了以往试题命制的模式化，在知识考查难点的分布、题目设问方式的设计、试题排列顺序的变化等方面“反套路”。
新高考立体几何融合了课程学习、探索创新、生活实践等情境问题，对学生的批判性思维能力，阅读理解能力，信息整理能力，语言表达能力提出了更高要求。
课程学习情境
探索创新情境
生活实践情境
生活实践情境
特征四：设问打破套路，情境新颖多样
解题方法分析
直观想象能力
概念理解能力
阅读元认知能力
信息整合能力
阅读推理能力
语言互译能力
高三学生数学
阅读能力结构
抽象概括能力
阅读迁移能力
难点：1.文字阅读量大，涉及科技与文化、价值观厚重；2.题目无图或有实物图，增加空间想象与抽象能力；3.建模需要作图、用图，才能进入计算求解。
直观想象——空间几何体的表面积和体积
直观想象——空间几何体的表面积和体积
直观想象——空间几何体的表面积和体积
直观想象——空间几何体的表面积和体积
数学运算——空间向量在立体几何中应用
数学运算——空间向量在立体几何中应用
数学运算——空间向量在立体几何中应用
方法全梳理
BC， AB，BB1
两两垂直,
求解
求解
G
H
数学建模——与球有关的切、接、截问题
数学建模——与球有关的切、接、截问题
数学建模——与球有关的切、接、截问题
数学建模——与球有关的切、接、截问题
新课程标准、新教材、新高考背景下，“一核”、“四层”、
“四翼”的高考评价体系，推动着高考命题的变革，促使高
考考查目标由能力立意向素养导向转变。在复习备考时，首
先，教师要认真思考和研究高考数学的命题方向和命题原则。
明确考什么、怎么考，弄清楚各个单元和主题的必备知识有
哪些，关键能力是什么，承载的学科素养是什么。同时，要
认真研究高考试题，挖掘它在各个知识点上体现的命题导向。
建议一：研究高考，把握新高考背景下的命题导向
备考教学建议
普通高中教科书（苏教版）
建议二：回归教材，构建立体几何的完整知识体系
教材是落实数学课程目标、培养学生数学核心素养的重要教学资源,也是历年高考命题的重要素材。 因此，教材是高考复习的重要依托。高三备考阶段，应该回归教材进行系统回顾与归纳，要对教材进行再阅读和再理解。特别要重视教材中的重要数学公式和定理的推导过程，帮助学生建立系统知识体系。（如图）
普通高中教科书（人教A版）
（人教A版必修第二册P121)
（苏教版必修第二册P193)
教材
链接
建议二：回归教材，构建立体几何的完整知识体系
在梳理数学知识间联系、探寻基本的数学解题思路和方法的同时，还要重视引导学生关注教材中的例题和习题，以及阅读、探究等栏目（如图），挖掘其中蕴含的数学思想，拓展相关知识，提炼通性、通法，从而准确的把握知识的本质。
从试题分析可以看出，高考立体几何题的考查载体以典型几何体为主。所以，复习备考中要以典型几何体为基础模型，掌握认识和刻画空间几何图形位置关系的一般方法，形成以公理、定义、判定、性质、应用为主线的认识模式。
建议三：夯实基础，强化典型几何体研究本源方法
2022全国乙卷第7题
2021新高考II卷第10题
2020新高考II卷第13题
2022全国甲卷第7题
苏教版教材（2019）
建议三：夯实基础，强化典型几何体研究本源方法
以长方体为载体，认识和理解空间点、线、面的位置关系；借助长方体，在直观认识空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间点、线、面、位置关系的定义；借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系，并归纳出判定定理。《普通高中数学课程标准》（2017）
提高数学复习的品位，要从提高思想站位开始。要立足核心素养去培养学生的问题解决能力，要以辩证的观点看待问题，以转化的思想对待问题，以一般性和特殊性去分析问题，始终以空间图形的特征和位置关系作为关键,突出立体几何中“观察、判断、计算、证明”的解题的途径，综合与灵活地应用立体几何的知识、思想方法解决问题。
建议四：凸显本质，提升问题解决的数学核心素养
人教A版必修第二册P165（教材中基本立体图形）
2022新高考I卷第19题
2022新高考Ⅰ卷第19题方法梳理、引导多维思考
（1）求点到平面的距离
（2）求二面角的正弦值
转化法
定义法
逆用体积公式
运用等体积法
解法1
解法2
点到平面的垂线段的长度
作为（2）的隐含条件
向量法
综合法
面面垂直性质定理
线面垂直判断定理
三角函数定义
二面角面积射影比
勾股定理
补形法
作棱的垂面构造二面角再用余弦定理
解法2-1-1
解法2-1-2
解法2-2
解法3
解法1-1
解法1-1
建议四：凸显本质，提升问题解决的数学核心素养
目 录
CONTENTS
三
解析几何
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
平面解析几何
用代数的方法研究几何问题
几何问题（结论）等价转化
为代数问题
核心内容
核心问题
探究几何对象、
几何问题的
几何特征
探究代数结论
的几何解释
探究几何问题代数化的
路径与方法
直线、圆、椭圆、
双曲线、抛物线的方程与性质
直线与圆、椭圆、
双曲线、抛物线的位置关系
一、考查内容分析——核心思想与方法
核心 思想
核心 方法
一、考查内容分析——2023年考点与考向统计分析
一、考查内容分析——2022年考点与考向统计分析
一、考查内容分析——2021年考点与考向统计分析
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
直线和圆的综合问题 2024 甲卷 北京卷 天津卷2022 北京 乙卷 甲卷ⅠⅡ卷2020 ⅠⅡ卷 直线与圆的性质应用在高考考考查趋势是主要考查圆的一些基本性质，一般难度较小
椭圆，双曲线基本性质 2024 天津 Ⅱ卷2023 甲卷 乙卷 北京Ⅰ Ⅱ2022甲ⅠⅡⅢ 椭圆与双曲线的基本性质是高考数学中的必考点也是高频考点，一般考查的基本内容一些性质的综合应用
椭圆双曲线的离心率 2024甲卷 Ⅰ卷2023 天津2022浙江 乙卷2020 北京Ⅱ卷 求椭圆双曲线的离心率及离心率的取值范围是高考的高频考点。
抛物线性质及应用 2023 北京 乙卷2022 乙卷2021 Ⅰ Ⅱ 北京卷 抛物线在高考中小题中考查非常普遍，重点考查有关抛物线的p的有关问题
圆锥曲线的综合问题 2024 ⅠⅡ卷2023 甲 乙 天津2021 浙江 圆锥曲线的综合应用一般作为选填压轴题目出现，是对圆锥曲线综合能力的考查
一、一、考查内容分析——2024年考点与考向统计分析
一、考查内容分析（解答题）
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点01 椭圆及其性质 2024 Ⅰ 甲卷 北京卷 天津卷2023 北京 乙卷 天津2022 乙卷 北京卷 浙江卷2021 北京卷Ⅱ卷2020 ⅠⅡ卷 新Ⅰ Ⅱ卷 椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点
考点02 双曲线及其性质 2024 Ⅱ卷2023 Ⅱ 新课标Ⅱ2022 Ⅰ卷2021 Ⅰ 双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点
考点03 抛物线及其性质 2023 甲卷2022甲卷2021 浙江 甲卷 乙卷2020浙江 抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P的证明类问题
一、考查内容分析——命题归类分析
1.命题要素：曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）、直线、点、斜率（和、差、积、商）、位置关系（平行、垂直、距离、夹角）、面积、定点、定值、最值。
2.考查内容：曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义、方程、几何性质；位置关系（相交、相 切）；定性关系（定点、定值、共线）、定量关系（弦长、距离、面积、范围、最值）。
3.试题背景：极点极线、垂径定理、米勒定理、蝴蝶定理、彭赛列闭合定理、阿基米德三角形、仿射几何（几何图形的伸缩变换）、平面几何（切割线定理、四点共圆）等等。
一、考查内容分析——命题归类分析
4.没有配图：考查考生作图能力（抽象理解、信息筛选、语言转化、数学表达）。
5.解法多元：高考解析几何题解法多元。既考查考生的通解通法，又考查考生的创新思维和知识储备。不同的解题方法反映考生不同的思维层次和创新能力，体现考试的“选拔”功能。
6.题型结构：题型基本稳定，近三年新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷都是3小1大，分值27分，甲卷、乙卷2小1大或3小1大，分值22分或27分。
二、解题方法分析
离心率问题
方法一：数的角度
方法二：形的角度
二、解题方法分析
离心率问题
方法三：形的角度（在方法二基础上）
方法四：借助向量
二、解题方法分析
面积问题
二、解题方法分析
面积最值问题
方法一：
设线
二、解题方法分析
方法二：
设点
面积最值问题
二、解题方法分析
解：
中点弦问题
二、解题方法分析
二、解题方法分析
方法一：
设线
弦长、
双变量最值问题
二、解题方法分析
方法二：
设点
弦长、
双变量最值问题
二、解题方法分析
二、解题方法分析
拓展探究
二、解题方法分析
二、解题方法分析
二、解题方法分析
二、解题方法分析
二、解题方法分析
三、备考教学建议
（1）重视高考真题的研究
研究高考题，才能预测高考题，高考题就是最好的复习资料。认真研究历年的高考试题，就不难找出高考命题的轨迹，从而把握试题的难度。
——南京大学段康宁教授
研究真题，才能把握命题规律，考题就是最好的复习资源，与其大量做题，不如抽出时间认真研究往年的试题，往年的试题反映了命题者对考试内容的深思熟虑，对设问和答案的准确拿捏，对学生水平的客观判断，研究这些试题，就如同和命题者对话。
——教育部考试中心刘芃研究员
二、解题方法分析
三、备考教学建议
（2）重视几何图形的探究
在圆锥曲线考题中，代数计算是首要的解题手段，它体现着解析法的基本思想，但与此同时，能否从几何角度入手，探寻这些问题的几何实质更是一件有趣的事情，唯有如此，我们对解析几何问题的认识才会更加深入，代数计算的有效性才会提升，而这正是近几年高考解析几何题目所呈现的一个显著特征．以数助形，以形推数，从而可能找到最优的运算过程．因此，在立足代数运算的基础上，进一步从平面几何的角度入手，可以优化解答过程，简化数学运算.
三、备考教学建议
二、解题方法分析
三、备考教学建议
（3）重视路径优化，运算优化策略
解析几何考查的另一个重要目标是学生的运算求解能力，在高考限定时间内，找到比较优化的计算路径，准确计算出正确结果，这对于大多数学生来说比较困难。因此，在复习过程中，需要慢下来领着学生讲解计算过程，在讲解题思路中，同时渗透计算方法和计算技巧，及时加强针对性训练，在反复训练中不断提高运算能力。
三、备考教学建议
二、解题方法分析
三、备考教学建议
在解决解析几何的问题时，一般可以通过思维导图寻求多种运算思路，然后通过分析比较，寻求出最合理算法 ，在运算中不断调整和改进运算策略，最后通过不断反思提炼，积累优化运算的策略。
常用的解析几何运算优化策略有：
1.利用几何性质优化运算，如：
（1）利用几何性质——减少代数运算
（2）利用几何性质——寻求合理算法（先猜后证）
2.通过观察代数结构优化运算，如：
（1）点差法；（2）设而不求 （3）整体代换
（4）非对称结构转化为对称结构 （5）齐次化 （6）同构 等等
三、备考教学建议
二、解题方法分析
（4）重视经典问题的探究
高考从不回避经典，“中点弦”“焦点弦长”“垂径定理”“极点极线”等问题在高考中考查不断创新．教学中一定要重视对这些经典问题积累和研究，让学生掌握解决这类经典问题用到的通性通法，一些常用的结论可以作为经验积累下来．
三、备考教学建议
二、解题方法分析
目 录
CONTENTS
四
概率与统计
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
二、解题方法分析
二、解题方法分析
概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。
统计的研究对象是数据，核心是数据分析。
概率为统计的发展提供理论基础。
----《普通高中数学课程标准》
二、解题方法分析
统计学知识是课程标准中要求掌握的重要知识，是中学数学的必备知识，是考查中学数学的核心素养和关键能力的重要组成部分.
概率论是课程标准中设置的重要知识，是中学数学的必备知识，是体现核心素养和关键能力的重要组成部分.
统计学知识是课程标准中要求掌握的重要知识，是中学数学的必备知识，是考查中学数学的核心素养和关键能力的重要组成部分.
----《高考试题分析及解题精选》
二、解题方法分析
1.题量：选填两道，解答1道，22分.2024新课标（Ⅰ）卷选填两道，综合一道。
2.客观题考查全面：
计数原理、排列组合、二项式定理、统计图表、抽样方法、样本数字特征、古典概型、互斥事件、相互独立事件和条件概率概念与公式、随机变量概率分布、期望和方差、正态分布均有涉及.
3.主观题考查主干：
考查图表信息（频数分布表、）样本估计总体、独立性检验、随机变量的概率分布和数学期望、条件概率等主要内容.
考查内容分析——新高考下概率与统计考点分析
二、解题方法分析
考查内容分析——新高考下概率与统计考点分析
4.考查基本思想方法：
突出统计和概率思想的理解和运用的考查.数据准备阶段步骤减少，重心后移，将考查重点放在公式推导和对数据的分析与理解上，减少繁杂的运算.
5.注重试题开放探究：
通过提供多种方案，以统计决策和统计推断或根据具体情境解释统计结论为载体，设置结论开放，答案不唯一的问题，增强开放性与探究性.
6.体现综合性和创新性
新高考试题中还出现了与概率统计相关的新定义题以及与其他知识（数列、方程、函数最值）等融合的探索创新情境试题，具有一定的综合性和创新性.
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
案例1 2021年新高考1卷第8题
注重基本概念、公式的理解与应用
二、解题方法分析
案例2 新高考卷中的正态分布
注重基本概念、公式的理解与应用
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
二、解题方法分析
案例3 2022年新高考1卷第20题
注重基本概念、公式的推导与运算
注重基本概念、公式的推导与运算
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
二、解题方法分析
2022年全国乙卷理科第20题
注重基本概念、公式的推导与运算
02把握趋势——概率与统计典例与命题趋势分析
二、解题方法分析
案例4 2022年新高考2卷第19题
关注数学符号形式化的表达与运算
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
二、解题方法分析
案例5 2022年全国乙卷理科第10题
关注数学符号形式化的表达与运算
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
相邻问题
分组问题
错排问题
关注学科不同知识间的相互融和
案例6 排列组合与概率相结合试题
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
相邻问题
分配方案
分配方案
案例6 排列组合与概率相结合试题
改变设问方式变为概率问题
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
概率与简单的数论结合
案例7 简单数论与概率相结合试题
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
与立体几何相结合
试题选取考生熟悉的课程学习情境——正方体，既考查了正方体中关于点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面等位置关系的基础知识和基本方法，又考查了初等概率中的古典概型问题及相关的基本计数方式.
试题命制意在将空间几何体与初等概率相结合，将直观想象和逻辑推理相结合，通过建立简单模型融合多重知识点.
试题有助于深化基础性、改变固化的命题形式，服务“双减”，落实立德树人根本任务.
案例8 2022年全国甲卷理科15题
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
2023年四省联考第20题
与数列最值相结合
苏教版选择性必修第二册第122页
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
2021年新高考2卷第20题
与函数方程相结合
苏教版选择性必修第二册第102页
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
2019年全国卷
与数列相结合
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
概率统计命题趋势
注重基本概念、公式的理解与应用
注重基本概念、公式的推导与运算
关注数学符号形式化的表达与运算
关注学科不同知识点间的相互融和
PPT版见Q群：新高考资料全科总群732599440；
高考数学高中数学探究群562298495
解题方法分析——方法全梳理
解题方法分析——方法全梳理
思路探求
解题方法分析——方法全梳理（思维可视）
解题方法分析——方法全梳理（规范表达）
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习
1.加强统计图表、样本数学特征及有关统计量理解记忆
样本数字特征：
平均数、众数、中位数、百分位数；极差、方差、标准差.
统计量：
样本相关系数、最小二乘法、决定系数、残差、卡方.
反复练习强化记忆
从各种统计图中能读出哪些信息和如何从统计图中读出信息是统计学学习和教学的重点之一、统计学的灵魂是数据，数据的呈现方式有多种，如何从数据中挖掘信息并获得知识是统计学的核心.
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
2. 加强模型辨别、对比分析、夯实基础概念和公式
设计微专题、对比分析
（1）概率与排列组合相结合时，混淆排列与组合.
样本点总数
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习
2. 加强模型辨别、对比分析、夯实基础概念和公式
设计微专题、对比分析
（2）超几何分布与二项分布分不清楚.
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
2. 加强模型辨别、对比分析、夯实基础概念和公式
设计微专题、对比分析
（3）无法识别随机变量服从二项分布.
案例2.3
2005湖北文科
二项分布模型
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
3. 加强用字母符号表示事件以及随机变量
对于复杂事件需要将有关事件用符号表示，将所求问题转化，进而才能利用数学形式推导.
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
5. 知识交汇处，设计微专题重点突破
数列、递推关系
比赛规则
函数与方程、数据实际含义
函数最值
方案决策
微专题1：概率中的递推问题
微专题2：以比赛规则为背景的概率问题
微专题3：决策类、统计数据的实际含义
微专题4：概率中的最值问题
微专题5：教材新增内容
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
4. 注重阅读，理解数据背后的含义，用“数据说话”
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
4. 注重阅读，理解数据背后的实际含义，用“数据说话”
1.加强统计图表、样本数学特征及有关统计量理解记忆
2. 加强分布模型辨别、对比分析、夯实基础概念和公式
3. 注重字母符号表示事件和变量，学会数学形式化表达
5. 紧扣热点内容，在知识交汇处，设计微专题重点突破
目 录
CONTENTS
五
函数与导数
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
考查内容分析
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点1 函数概念与单调性 2024全国卷2023 2021 全国卷 2020全国卷 函数的周期性单调性与奇偶性的综合应用是高考的重难点方向，特别是新高考新题型以后，它们与抽象函数的结合将是未来一个重要方向
考点2函数周期性与奇偶性应用 2023 ⅡT4 乙卷T5 甲卷T142022全国乙卷T16 2021 乙卷T9 考点3函数图像应用 2022 全国乙卷T8 2022 全国甲卷T5 图像的识别及应用逐渐淡化
考点4函数性质综合应用 2023 ⅠT112022乙T12 2021甲T12 ⅡT8 函数的综合因应用作为压轴题，一般会是同构，构造函数比较大小，函数的综合性质应用化工等
考查内容分析
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点1利用导数求函数单调性，极值最值 2024全国甲卷Ⅰ卷2023 Ⅱ卷 乙 甲2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷2021 甲卷 2020Ⅰ卷 构造函数利用导数求函数单调性从而进行比较大小，利用导数求函数的极值点以及最值问题收高考必考题型
考点2构造函数利用导数求单调性比较大小 2023甲卷2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷2021乙卷 2020ⅠⅡⅢ卷 考点3导数综合应用 2021上海卷 Ⅱ卷2022天津卷 2023天津卷2021Ⅰ卷 北京卷 零点含参问题的讨论是导数综合题型的重难点
考查内容分析
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点1利用导数求函数单调性，求参数 2024全国甲卷 Ⅰ卷2023 Ⅱ卷 乙 甲2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷2021 甲卷 2020Ⅰ卷 含参的函数利用导数求参数问题是高考中的一个高频考点，也是必考点，通过函数单调性转化成为恒成立问题或者存在使成立问题以及其他问题，可直接求导或者是利用分离参数去转化。
考点2恒成立问题 2023甲卷2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷2021乙卷 2020ⅠⅡⅢ卷 考点3与三角函数相关导数问题 2023 Ⅱ卷 2022天津卷 2021Ⅰ卷 2020 Ⅱ卷 甲卷 与三角函数相关问题随着新高考新结构的出现，这类题目一压轴题出现的频率会变大。
考点04 导数综合类问题 2024 北京 天津2023乙卷 北京 Ⅰ卷 天津2022 甲卷 2021乙卷Ⅰ卷2020 Ⅱ Ⅲ卷 导数综合类问题一直是高考数学的压轴题一般牵扯到不等式的证明问题，极值点偏移问题，拐点偏移问题，隐零点问题，函数放缩问题。未来也是高考重难点
考点05 新定义问题 2024 上海卷 随着高考数学新结构的形式出现。导数新定义问题将成为高频考点
一、聚焦主干知识，突出基础性要求
考查内容聚焦主干知识与关键能力，主要考查函数的定义域、值域，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性，函数的概念与图像、函数的零点，导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、函数的应用等主干知识；同时突出考查转化与化归、数形结合、函数与方程、分类与整合等重要数学思想；考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识和创新意识。
考查内容分析—命题特征
PPT版见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495
二、注重知识融合，彰显综合性要求
本题重视数学的综合性，将概率统计与函数进行综合，要求学生能够分析题目，建立函数关系，掌握分段函数求最值的方法，考查学生数学建模、运算求解等关键能力和核心素养。
考查内容分析—命题特征
二、注重知识融合，彰显综合性要求
本题以三角函数为背景，综合考查学生对函数、导数等基础知识的掌握和理解，综合考查了三角函数的周期性和有界性，运用导数研究函数的最值，函数不等式的证明等相关知识。对于学生运用所学知识，寻找合理策略以及推理论证及运算能力有较高的要求。
考查内容分析—命题特征
三、创设真实情境，体现应用性要求
本题通过对声压级的研究，全面考查对数极其运算的基础知识，助力应用能力考查。
考查内容分析—命题特征
四、稳中求变，常考常新
（1）切线问题
考查内容分析—命题特征
四、稳中求变，常考常新
（2）奇偶性
考查内容分析—命题特征
四、稳中求变，常考常新
（3）抽象函数
考查内容分析—命题特征
四、稳中求变，常考常新
（3）抽象函数
链接教材
考查内容分析—命题特征
对比旧版教材，在函数和导数部分，新教材增加了哪些内容？
1.函数的概念和图像
增加了“同一函数”的概念和习题
考查内容分析—教材内容
对比旧版教材，在函数和导数部分，新教材增加了哪些内容？
2.函数的奇偶性
链接高考：
考查内容分析—教材内容
链接高考
考查内容分析—教材内容
03
考查内容分析—教材内容
3.幂函数
例题中和习题中增加了“利用幂函数的性质比较大小”
03
考查内容分析—教材内容
3.幂函数
对幂函数的要求明显增加
03
考查内容分析—教材内容
3.幂函数
03
考查内容分析—教材内容
以习题的形式补充了幂函数的凹凸性
03
考查内容分析—教材内容
4.指数函数
习题中增加了两道比较大小的题目，其中T5含参数，需要分类讨论
03
考查内容分析—教材内容
5.对数函数
探究·拓展部分增加了函数模型 的探究
03
考查内容分析—教材内容
6.函数与方程
03
考查内容分析—教材内容
7.函数与数学模型
增加了几个模型的比较
03
考查内容分析—教材内容
8.函数与数学模型
增加了几个模型的比较
03
考查内容分析—教材内容
8.导数的概念
增加了“极限”的数学表达
03
考查内容分析—教材内容
9.导数的运算
03
考查内容分析—教材内容
9.导数的运算
03
考查内容分析—教材内容
10.导数在研究函数中的应用
03
考查内容分析—教材内容
11.导数在研究函数中的应用
03
考查内容分析—教材内容
探究·拓展部分增加了“牛顿切线法”
03
考查内容分析—教材内容
解题方法分析—构建体系
思路一 推理猜想赋值论证
解题方法分析—构建体系
思路一 推理猜想赋值论证
解题方法分析—构建体系
思路二 推理猜想（放缩论证）
解题方法分析—构建体系
思路探求
解题方法分析—构建体系
指对同构
解题方法分析—从“做完”到研透
同构：从局部的运算、变形，到适当的配凑，到整体的同构。
1.立足基本概念的理解
数学概念是构成数学大厦的基础，是形成数学知识体系的基本要素，是进行数学思维的细胞。在函数与导数这一板块，有很多重要的数学概念：函数的概念（定义域、值域、对应法则、表示方法）、函数的性质（奇偶性、单调性、最值、对称性、周期性）、函数零点、导数、极值点、不等式恒成立、不等式能成立，这些概念都比较抽象，符号化表征。在复习备考中首先要让学生深刻理解重要概念，把握概念内涵，理解概念的多元表征，建立概念之间的联系，才能更好地分析问题和解决问题。
03
备考教学建议
函数的零点的学习要点：深刻领悟零点的概念、零点存在性定理以及函数零点与方程的根的等价转化关系，让学生在解决问题中能灵活转化，化繁为简。
函数的导数的学习要点：导数就是瞬时变化率，是切线的斜率；导数的正负可以反映出原函数的单调性，进而研究极值、最值、画出函数图像的示意图等；导数绝对值的大小可以反应图像的变化快慢；导数本身也是一个函数，是函数图象的斜率关于自变量的函数。
函数的图象的学习要点：数形结合是函数与导数中蕴含的数学思想。一方面能结合基本初等函数的图象和图象变换的相关知识画图识图，根据图象判断函数性质，获得解决问题的直观思路；另一方面，对于一些陌生函数，能先研究函数的定义域、奇偶性、单调性、特殊点和特殊线等，根据上述性质画出函数草图，并进一步解决导数的综合问题。
1.立足基本概念的理解
03
备考教学建议
2.强调通性通法的引领
导数是研究函数性质的利器，能定量刻画函数的变化，用导数可以研究函数的单调性、凹凸性、极值、最值、拐点等。导数内容博大精深，变化无穷，与导数相关的问题在呈现方式和设问方式必然不断创新。要避免题型套路的直接灌输，避免囫囵吞枣式的机械套用，强调导数概念本质的理解，抓住导数与单调性的关系这一核心，在通性通法的引领下，面对新颖或陌生的问题情境，不至于束手无策。
03
备考教学建议
2.强调通性通法的引领
03
备考教学建议
3.重视基本模型的研究
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数是常见的基本初等函数，是刻画现实生活中某一类具体的变化的模型，由这些简单的函数适当组合、推陈出新，就可以构建令人耳目一新的函数形式。
03
备考教学建议
3.重视基本模型的研究
03
备考教学建议
3.重视基本模型的研究
03
备考教学建议
3.重视基本模型的研究
03
备考教学建议
目 录
CONTENTS
六
数列
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点01 等差等比数列应用 2023 天津 甲 乙 Ⅱ卷2022 乙卷2020 北京卷 等差等比数列及求和在高考中主要考查基本量的基本运算，是常规求和方法发的基本应用。包括：错位相减求和，奇偶性求和，列项求和等。
考点02 数列求和 2024 甲 天津卷2023ⅠⅡ 甲 乙卷2022 甲卷2021 ⅠⅡ乙卷2020 浙江 Ⅰ Ⅱ卷 考点03 数列情景类问题 2024北京 2023北京2021北京 Ⅰ卷2020Ⅱ 卷 情景化与新定义是高考的一个新的考点，一般采用学过的知识去解决新定义问题，因加以重视，是高考的一个方向，并且作为压轴题的可能性比较大，难度大。
考点04 数列新定义问题 2024 Ⅰ 北京卷2023 北京卷 考点05 数列与其他知识点交汇及综合问题 2024 Ⅱ卷2023 北京 天津 乙Ⅱ卷2022 北京 浙江 ⅠⅡ卷2021 甲 浙江2020 浙江 知识的综合是未来高考的一个重要方向，主要是数列与统计概率相结合，数列作为一个工具与解析几何，函数结合等，属于中等难度。
考查内容分析
考查内容分析
考查内容分析
考查内容分析
高考对于数列内容的考查一般是1道小题，1道解答题，分值约为15-17分 . 解答题前几年一般处于容易题或中档题的位置，考查考生对基本知识与基本技能的掌握，以及对知识的基础性、综合性与应用性的掌握.考查内容常以数列的递推关系或项与和的关系为背景，考查等差数列与等比数列的通项公式以及前n项和的问题.选择题、填空题一般也属于基础题或中等题，考查等差数列与等比数列的定义及基本量的运算.也会出现与日常生活实例或数学文化有关的问题，可以重点考查新定义问题，主要考查考生的逻辑思维、运算求解等能力，这时对学生要求较高，往往会出现在压轴题的位置.
考查内容分析
解题方法分析------数列定义
解题方法分析
解题方法分析
回归定义：等差数列要考虑相邻两项之差；等比数列要考虑相邻两项之比.
解题方法分析
解题方法分析
解题方法分析
解题方法分析
解题方法分析
解题方法分析
解题方法分析
案例：斐波那契数列
备课教学建议
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
情境1
假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下小兔，此
后每个月生一对小兔. 如果不发生死亡，假设第一对小兔的出生日是某个月
初，逐月统计每月初的兔子对数.
问题1
问题2
问题3
一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？
你是怎么得到这些结果的？
则第一个月初兔子有几对？前六个月月初兔子依次有几对？
情境1
3
3
1
1
…
2
3
5
8
13
21
34
55
…
…
大兔数
第2个月
第4个月
第5个月
第6个月
第3个月
第1个月
小兔数
兔子总数
1
0
1
0
1
1
1
1
1
2
2
3
2
5
5
8
小兔
大兔
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下小兔，此
后每个月生一对小兔. 如果不发生死亡，假设第一对小兔的出生日是某个月
初，逐月统计每月初的兔子对数.
斐波那契数列
列举法
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…
定义
前两项均为1，且从第三项开始，每一项都等于
前两项的和；
文字
a1=1， a2=1， an+2= an+1+an，(n N*)
符号
试类比等差数列和等比数列的定义给出上述数列的定义.
问题4
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
树丫的数目
呈斐波那契数列排列
问题5
你能在生活实际中找出与斐波那契数列有关的例子吗？
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
常见的花瓣数有3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89,...
这些数都属于斐波那契数.
向日葵21或34
兰花3
梅花5
格桑花8
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
问题6
回顾等差等比数列的研究过程，思考研究数列的一般路径.
研究数列路径图
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
研究数列路径图
问题7
试根据斐波那契数列的定义探究项与和的性质.
1，1，2，3，5，8，13，21，…
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
递推关系式
和的性质
（迭代、累加、累乘、错位相减）
项的性质
（构造，转化为等差或等比数列）
定 义
关系式的等价转化
活动三 反思感悟，应用斐波那契数列性质解决实际问题
例题
你能提出哪些问题并解决这些问题？
活动三 反思感悟，应用斐波那契数列性质解决实际问题
21
13
1
1
2
3
5
8
斐波那契螺旋线，
是以斐波那契数
为边的正方形拼
成的长方形，然
后在正方形里面
画一个90度的扇
形，连起来的弧
线就是斐波那契
螺旋线。
斐波那契螺旋线
大自然中的斐波那契数列
向日葵中的螺旋线
海螺螺旋线
项与和的特征
从实际问题切入
从数学问题切入
图形的几何
性质
代数式的等价转化
解决方案
斐
波
那
契
数
列
从特殊项入手
从递推关系式入手
解决方案
目标
探寻规律
等差等比
数列
猜想
转化
定义
（1）思路
椭圆的短轴长是圆的直径
过椭圆中心作地面的平行平面
利用二面角，平面化处理
过程规划意识
目标分析意识
会阅读：细读题目，洞悉其意，掌握其要
备考教学建议—特别关注新定义
（1）思路
椭圆的短轴长是圆的直径
过椭圆中心作地面的平行平面
利用二面角，平面化处理
过程规划意识
目标分析意识
会思考：运筹帷幄，按图索骥，探寻路径
会表达：言之有序，条理分明，易晓其意
（2）思路
借用经验意识
类比
（3）思路
借用经验意识
类推
2025届高考数学复习专题 ★★
2025届新高考背景下高考
数学重点板块分析与教学建议
目 录
CONTENTS
一
三角与向量
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
一、三角函数部分
考查要求
01
1．三角函数的定义求解角终边上一点的坐标；
2. 三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查；
3. 利用三角函数的性质求解三角函数的值、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考查；
4. 三角函数的化简与求值是高考的热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具；
5. 三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心．
二、解三角形部分
考查要求
01
1．正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算．
2．以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等．
三、平面向量部分
考查要求
01
1．以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算、平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档；
2．主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．
三角函数及图象的应用
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点01 三角函数概念 2024 甲卷2023 北京卷2021甲卷 北京卷2020 Ⅰ Ⅱ 终边角问题以及同角三角函数关系是高考的一个方向
考点02 三角函数恒等变形 2024 ⅠⅡ卷2023 ⅠⅡ卷2022 Ⅱ 卷2021 Ⅰ卷 三角函数恒等变换是高考数学高频考点，常考是二倍角公式的应用
考点03 三角函数图像及性质 2024 北京 天津 Ⅰ Ⅱ 甲卷2023 甲 乙卷2022 北京 甲 Ⅰ卷2021 北京 甲 Ⅰ卷2020 Ⅰ Ⅲ卷 三角函数图象伸缩变换及图象定区间最值极值问题是高考的重难点
考点04 三角函数综合应用 2023 ⅠⅡ 卷2022 甲卷2020 北京卷 三角函数中ω的范围问题三角函数综合性质应用的重难点
一、三角函数部分
考题分类汇编
识别图象——重复考查
5．(2019新课标Ⅰ卷文科T05，理科T05)函数在的图像大致为
A．
B．
C．
D．
1．(2022甲卷文科T07，甲卷理科T05)函数在区间的图象大致为
A．
B．
C．
D．
一、三角函数部分
考题分类汇编
识别图象——不断升级，改为识别解析式
2．(2022乙卷文科T08)如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是
A． B．
C． D．
一、三角函数部分
考题分类汇编
识别图象——信息缺省
3．(2020新课标Ⅰ卷文科T07，Ⅰ卷理科T07)设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为
A． B． C． D．
4．(2020新高考Ⅰ卷T10，Ⅱ卷T11，多选题)下图是函数的部分图像，则
A． B．
C． D．
一、三角函数部分
考题分类汇编
图像性质——给图用图，按图索骥
6．(2021甲卷文科T15)已知函数的部分图像如图所示，则 ．
7．(2021甲卷理科T16)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 ．
一、三角函数部分
考题分类汇编
5．(2021甲卷文科T15)已知函数的部分图像如图所示，则 ．
6．(2021甲卷理科T16)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 ．
解得所以最小正整数为
事实上看图可得
．
靠近最低点三等分点
衡位置三等分点
平衡位置
一、三角函数部分
考题分类汇编
16．(2023新高考Ⅱ卷T16)已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
解析 设相邻的两个交点的横坐标为，则，
又，或．
当时，，，，故．
函数图象过点，，故
所以，
所以或，
又因为，所以，．故填．
与正常，且周期为
得
靠近最低点三等分点
一、三角函数部分
考题分类汇编
三角函数的基本性质——由基本问题逐渐改造，循环考查
16．(2019新课标Ⅱ卷理科T09)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是
A． B． C． D．
13．(2020新课标Ⅲ卷理科T16)关于函数有如下四个命题：
①的图象关于轴对称； ②的图象关于原点对称；
③的图象关于直线对称； ④的最小值为．
其中所有真命题的序号是 ．
一、三角函数部分
考题分类汇编
三角函数的基本性质——由基本问题逐渐改编，循环考查
11．(2021新高考Ⅰ卷T04)下列区间中，函数单调递增的区间是
A． B． C． D．
8．(2022新高考Ⅱ卷T09，多选题)已知函数的图像关于点中心对称，则
A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线
一、三角函数部分
考题分类汇编
根据三角函数的性质研究参数——整体法
6．(2019新课标Ⅲ卷理科T12)设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个结论：
①在()有且仅有个极大值点； ②在()有且仅有个极小值点；
③在单调递增； ④的取值范围是．
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
2．(2022甲卷理科T11)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
一、三角函数部分
考题分类汇编
三角恒等变换——给值求值、给值求式、给式求值、给式求式
1．(2021乙卷文科T06)
A． B． C． D．
3．(2021新高考Ⅰ卷T06)若，则
A． B． C． D．
6．(2020新课标Ⅰ卷理科T09)已知，且，则
A． B． C． D．
10．(2022新高考Ⅱ卷T06)若，则
A． B． C． D．
高考验证
9．(2023乙卷文科T14)若，，则 ．
11．(2023乙卷理科T10)已知等差数列的公差为，集合，若，则
A．－1 B． C．0 D．
12．(2023新高考Ⅰ卷T06)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A．1 B． C． D．
13．(2023新高考Ⅰ卷T08)已知，，则
A． B． C． D．
15．(2023新高考Ⅱ卷T07)已知为锐角，，则
A． B． C． D．
基本运算，同角
基本运算，倍角
基本运算，倍角
基本运算，倍角
创新试题，以等差数列为背景，通过对数据分析寻找角间的关系
一、三角函数部分
重点题型及考查趋势：三角恒等变换
若，，则
A． B． C． D．
解析 解法一：因为，
所以
，
所以
，即，
所以．故选A．
复杂三角计算，消元
平时有益的工作——章末复习、方法提炼、微专题等
三角变换复习课
题型一 三角式的化简
例1
A． B． C． D．
*例2 某同学研究相关资料，得到两种求的方法，两种方法的思路如下：
思路一：作顶角为的等腰三角形，底角的平分线交腰于；
思路二：由二倍角公式，可知可表示为的二次多项式，推测也可以用的三次多项式表示，再结合．
请你按某一种思路：计算得的精确值为 ．
三角化简，给值化简
探索性问题
题型一 三角式的化简
题型二 单角的恒等变换问题
题型三 多角的恒等变换问题
题型四 证明等杂题
回顾与反思
核心知识：单角变换
核心方法：单角变换
拓展探索
教材P79，不同角度碰撞
教材P65
教材P55
教材P52
教材P56
教材P79
题型二 单角的恒等变换问题
例3 (1)已知，则 ．
(2)已知，则 ．
变式1 已知，则
A． B． C． D．
变式2 已知锐角满足，则 ．
变式3 已知是第三象限角，若，则 ．
换元
换元
先转化，后找思路
高次问题？降次？
题型三 多角的恒等变换问题
例4 已知，，则的值为
A． B． C． D．
变式4 已知锐角满足 ，则 ．
例5 已知，，则 ．
变式5 若，则的值为 ．
变式6 已知，则的值为 ．
例6 已知均为锐角，，则的最大值为
A． B． C． D．
元的关系
元的关系
元的关系
元的关系
元的关系
消元
核心：已知元与未知元的关系、多元与少元的关系
题型四 证明等杂题
例7 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
；
；
；
；
．
试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
根据的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
*例8 计算三角比值时，我们常会用到对称思想来解题．
例如，求证：
证明：设，
，所以，
而
，于是式．
根据的证明，计算下面两式的值．
；
．
猜想证明
高阶知识
一、三角函数部分
重点题型及考查趋势：三角函数图象
例3 (2020新课标Ⅰ卷文科T07，Ⅰ卷理科T07)设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为
A． B． C． D．
考查方向1 函数在上的图象的大致形状是
A．
B．
C．
D．
一、三角函数部分
重点题型及考查趋势：三角函数的性质
考查方向2 将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是
A．在区间上为增函数 B．
C． D．
考查方向3 函数的部分图像如图所示，且．则下列选项正确的是
A． B．
C．在区间上为减函数 D．
一、三角函数部分
重点题型及考查趋势
例4 (2019新课标Ⅲ卷理科T12)设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个结论：
①在()有且仅有个极大值点； ②在()有且仅有个极小值点；
③在单调递增； ④的取值范围是．
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
为了高考的缝缝补补
例1 已知函数的周期为．
(1)求的值；
(2)求函数在内的值域．
例2 (2023广东汕头统考二模)已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)若，求函数的单调区间．
三角函数的性质(1)
例3 已知函数．
(1)若点是函数图像的一个对称中心，且，求函数在上的值域；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
例4 已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的．
(1)若的最小正周期为，求的图象与轴距离最近的对称轴方程；
(2)若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
为了高考的缝缝补补
三角函数的性质(2)
例1 设．
(1)若，求函数的零点；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
例2 已知函数，．
(1)求的对称轴；
(2)若在内的最大值与最小值之和为，求．
为了高考的缝缝补补
三角函数的性质(2)
例3 (2023四省联考T18)已知函数在区间单调，其中为正整数，，且．
求图像的一条对称轴；
若，求．
4．(理科选做题)已知定义在上的函数．
(1)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求的值；
(2)将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若成等差数列，求的值．
考题分类汇编
用正余、弦定理解三角形——全国卷(典型问题典型考法）
二、解三角形部分
13．(2019新课标Ⅱ卷文科T15)的内角的对边分别为．已知，则 ．
14．(2019新课标Ⅱ卷理科T15)的内角的对边分别为．若，，，则的面积为 ．
10．(2020新课标Ⅰ卷文科T18)的内角的对边分别为．已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若，求．
8．(2020新课标Ⅲ卷理科T07)在中，，，，则
A． B． C． D．
考题分类汇编
二、解三角形部分
9．(2020新高考Ⅰ卷T17，Ⅱ卷T17)在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，______________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
用正余、弦定理解三角形——新高考卷(变化较大，综合型更强）
5．(2021新高考Ⅰ卷T19)记是内角的对边分别为已知，点在边上，
(1)证明：；
(2)若，求
2．(2022新高考Ⅱ卷T18)记的内角的对边分别为，分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知，．
(1)求的面积；
(2)若，求．
考题分类汇编
综合运用正、余弦定理解决与面积、周长等几何量相关范围或最值问题
二、解三角形部分
6．(2019新课标Ⅲ卷文科T18，理科18)的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
2．(2022乙卷理科T17)记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，，求的周长．
3．(2022新高考Ⅰ卷T18)记的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
全国卷条件一般比较简单，入口小；
新高考条件复杂，在方法的选择上要慎选。
考题分类汇编
条件的转译，功在平时
二、解三角形部分
在中，内角的对边分别为，求下列条件下角的值．
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ；
⑧ ；
⑨ 的面积为．(1)；
(2)；
⑩ ．
考题分类汇编
重视基础问题，积累经验
二、解三角形部分
1．在中，内角的对边分别为，且，，求解下列问题．
① 若的面积为，求的周长；
② 若的面积为，求；
③ 若，求的面积；
④ 求周长的最大值；
⑤ 求面积的最大值；
⑥ 求周长的取值范围；
⑦ 求面积的取值范围；(亦可限定为锐角三角形，对角作出限制)
⑧ 求的最大值；
⑨ 求的取值范围；
⑩ 求内切圆半径的最大值．
2．在中，内角的对边分别为，且，，求周长的取值范围．
二、解三角形部分
重点题型及考查趋势：三角形中的边与角的函数值及面积
例1(2017新课标Ⅲ卷理科T17)的内角的对边分别为，已知，，．
(1)求角和边长；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
考查方向1 在中，内角的对边分别为，，点是边上的一点，且．
求证：；
若，求．
二、解三角形部分
重点题型及考查趋势
考查方向2 的内角的对边分别为，已知，是线段上一点，．
求证：；
若，求的面积．
考查方向3 在中，角的对边分别为．已知，，是边上一点．
求的值；
若．
求证：平分；
求面积的最大值及此时的长．
综合考点——与导数及其它知识混合
1．(2022乙卷文科T11)函数在区间的最小值、最大值分别为
A． B． C． D．
4．(2020新课标Ⅱ卷理科T21)已知函数．
(1)讨论在区间的单调性；
(2)证明：；
(3)设，证明：．
5．(2019新课标Ⅰ卷文科T20)已知函数，为的导数．
(1)证明：在区间存在唯一零点；
(2)若时，，求的取值范围．
3．(2023甲卷文科T21)已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
7．(2023甲卷理科T21)已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．
17．(2023新高考Ⅱ卷T22)(1)证明：当时，；
(2)已知函数，若是的极大值点，求的取值范围．
三角与导数结合问题
三角与导数结合问题
三角与导数结合问题
相关考点拓展
1. 周期性、对称性(极值与零点)、单调性之间的逻辑关系：
以函数为例．
(1)几何直观：相邻两条对称轴(或相邻两个对称中心)之间的距离为最小正周期的；
相邻对称轴与对称中心之间的距离为最小正周期的．
(2)代数角度：相邻两个极值点(或相邻两个零点)之差的绝对值是最小正周期的；
相邻极值点与零点之差的绝对值是最小正周期的．
(3)函数的极值点对应函数的对称轴，零点对应函数的对称中心．
相关考点拓展
(4)单调区间的长度不大于半周期．
若是函数的极大值点，则，，
函数在上单调递增，在上单调递减；
若是函数的极小值点，则，，
函数在上单调递减，在上单调递增；
若是函数的零点，则函数在上单调．
2. 利用导数工具研究函数的图像与性质
近几年的高考逐渐注重对三角函数图象凹凸性的考查以及利用导数工具研究三角函数．
备考教学建议
三角函数
1. 系统复习，重视三角函数的概念，如三角函数的定义、利用单位圆研究三角函数；
2. 重视三角函数性质，近几年全国卷注重考查周期性、单调性、对称性三者之间的逻辑关系，复习可从代数运算与几何直观的角度进行梳理，尤其是注意参数对函数图象的影响；
3. 关注创新能力命题方面，对三角函数图象与性质的研究，注意结合导数的工具；三角函数是刻画圆周运动的数学模型，注意对实际应用问题的复习，尤其是利用定义建立函数解析式，属于数学建模问题．
解三角形
解三角形具有良好的文化底蕴和应用价值，2007年以来的全国卷中，体现文化或应用的三角试题也是偶有出现．随着数学建模核心素养的提出，数学文化日益受到关注，具有文化背景、设问开放、关注现实的考题会越来越多．
平面向量
(1)向量的基本概念与运算要熟记于心，向量也可能以多选题形式考查考生对基本概念的理解；
(2)解决向量问题时注意数形结合，适度关注向量的几何表征；新教材改变了投影、投影向量的提法，对投影问题要从概念及利用概念解决基本问题出发，予以关注；
相关微专题
必备知识
微专题1：三角学基础公式
微专题2：利用辅助角公式化简三角函数
微专题3：解三角形一题多变
二轮系统微专题
微专题1：三角函数的图象与性质(基本)
微专题2：三角恒等变换与解三角形(基本)
微专题3：三角中的最值、范围问题(基本)
微专题4：根据三角函数图像获取信息
微专题5：三角函数中的取值范围
微专题6：平面向量的基本运算和应用(基本)
微专题7：与平面向量有关的最值、范围问题(强化)
微专题8：极化恒等式、投影向量(强化)
微专题9：等和线、奔驰定理、三角形四心(强化)
目 录
CONTENTS
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
二
立体几何
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
空间几何体基本性质及变面积体积 2024 甲卷 Ⅰ卷2023 Ⅰ Ⅱ 乙 甲 北京 天津2022甲卷 2021 乙卷 2020Ⅱ卷 空间几何体点线面位置关系以及夹角问题，表面积体积以及圆锥对应面积的运算一直是高考的热门考点，要加以重视，另外台体的表面积体积应该重点复习
空间几何体内接球外接球的应用 2023 乙卷2022甲卷 乙 2020Ⅰ卷 几何体内切球外接球问题是高考立体几何中的难点，近两年考查比较少，但是应掌握长常规空间几何体的外接球内切球的技巧
空间几何体性质综合应用 2024 Ⅱ卷 2023 北京卷 甲卷2022Ⅰ卷 乙卷2021 Ⅱ卷 2020 山东卷 Ⅰ卷 空间几何体容易与其他知识点相结合构成新的情景类问题也是近年来高考新改革的一个重要方向
考查内容分析—— 新高考下试题的特征
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
求空间几何体表面积体积 2023 甲 2022 甲 2021 甲 2021 乙 2020 全国Ⅰ Ⅱ卷 空间几何体表面积体积问题一般采用等体积法或者是空间向量解决，一般出现在第一问。
求二面角 2024甲 Ⅱ卷2023Ⅱ 乙卷2022Ⅰ Ⅱ卷2021 甲 乙 Ⅱ卷2020 Ⅰ卷 二面角的正弦余弦值是高考空间几何体的高频考点，也是高考的一盒重要的趋势。
求线面角 2023甲卷2022 甲乙卷2020 Ⅰ Ⅱ Ⅲ卷 线面角问题是高考中的常考点，方法是方向向量与法向量的夹角
已知二面角，求点，距离 2024 Ⅰ卷2023 Ⅰ卷2021 Ⅰ卷 求距离问题是高考Ⅰ卷的一个重大趋势，容易与动点问题相结合
求点到面的距离 2024甲卷2021 Ⅰ卷 点到平面的距离问题是高考的一个重要题型，应加强这方面的练习
考查内容分析——新高考下试题的特征
新高考卷立体几何题量一般是“两小一大”或“三小一大”，分值为22分-27分，占比为14.7%-18%；
新高考卷立体几何题单选题、多选题、填空题、解答题四种题型一应俱全。多选题成为立体几何考查题型的“新宠”。
特征一：试题分值固定，题型一应俱全
新高考卷立体几何题中“小题”一般不给图。以识图、画图、想图、用图等方式考查学生“心中构图”的空间想象能力。
新高考卷立体几何题主要以三棱柱、四棱柱（正方体）、三棱锥、四棱锥、四棱台、圆台、圆锥、球为背景命题。
新高考组合体及非规则几何体的载体，突出了割补思想的灵活运用。
2020山东模拟
2020新高考卷
2021新高考I卷
2021新高考Ⅱ卷
2022新高考Ⅱ卷
2022新高考I卷
2023四省适应
特征二：无图突出想象，载体传承创新
高考考查的主要内容:有对空间几何体的基本结构和度量的考查；有对空间点、线、面位置关系的考查；有以空间几何体为背景，指向实际问题中长度、角度、面积、体积计算的应用问题 。
在高考中，立体几何常与导数、概率交汇考查；甚至还与物理、地理等其他学科融通命题。
基础性
综合性
应用性
创新性
核心价值学科素养关键能力
必备知识
考查内容
线面垂直，面面平行，球体性质，数学文化
直棱锥性质，线面垂直，球体性质，立体几何轨迹问题，扇形弧长公式
线面平行，线面角最值问题（函数建模，函数最值）
线面垂直，面面平行，球体性质，数学文化
正方体、三棱锥体积
线面平行，线面角最值问题（函数建模，函数最值）
侧面展开图、圆锥侧面积
空间向量的线性表示，立体几何轨迹问题，利用空间向量判断线线、线面垂直
面面垂直的证明，已知二面角大小求体积
球体积、表面积
棱台体积公式
正方体内的线线、线面位置关系
线线垂直的证明，求二面角
棱台的体积公式，数学阅读
四棱锥性质，球截面，函数建模，函数最值问题
正方体内线线、线面关系（夹角）
点到平面的距离，求二面角
棱台性质，球的表面积
几何体分割后的体积关系，体积计算
线面平行证明，求二面角
特征三：考点覆盖全面，知识交汇融通
近年来，高考试题不断创新，打破了以往试题命制的模式化，在知识考查难点的分布、题目设问方式的设计、试题排列顺序的变化等方面“反套路”。
新高考立体几何融合了课程学习、探索创新、生活实践等情境问题，对学生的批判性思维能力，阅读理解能力，信息整理能力，语言表达能力提出了更高要求。
课程学习情境
探索创新情境
生活实践情境
生活实践情境
特征四：设问打破套路，情境新颖多样
解题方法分析
直观想象能力
概念理解能力
阅读元认知能力
信息整合能力
阅读推理能力
语言互译能力
高三学生数学
阅读能力结构
抽象概括能力
阅读迁移能力
难点：1.文字阅读量大，涉及科技与文化、价值观厚重；2.题目无图或有实物图，增加空间想象与抽象能力；3.建模需要作图、用图，才能进入计算求解。
直观想象——空间几何体的表面积和体积
直观想象——空间几何体的表面积和体积
直观想象——空间几何体的表面积和体积
直观想象——空间几何体的表面积和体积
数学运算——空间向量在立体几何中应用
数学运算——空间向量在立体几何中应用
数学运算——空间向量在立体几何中应用
方法全梳理
BC， AB，BB1
两两垂直,
求解
求解
G
H
数学建模——与球有关的切、接、截问题
数学建模——与球有关的切、接、截问题
数学建模——与球有关的切、接、截问题
数学建模——与球有关的切、接、截问题
新课程标准、新教材、新高考背景下，“一核”、“四层”、
“四翼”的高考评价体系，推动着高考命题的变革，促使高
考考查目标由能力立意向素养导向转变。在复习备考时，首
先，教师要认真思考和研究高考数学的命题方向和命题原则。
明确考什么、怎么考，弄清楚各个单元和主题的必备知识有
哪些，关键能力是什么，承载的学科素养是什么。同时，要
认真研究高考试题，挖掘它在各个知识点上体现的命题导向。
建议一：研究高考，把握新高考背景下的命题导向
备考教学建议
普通高中教科书（苏教版）
建议二：回归教材，构建立体几何的完整知识体系
教材是落实数学课程目标、培养学生数学核心素养的重要教学资源,也是历年高考命题的重要素材。 因此，教材是高考复习的重要依托。高三备考阶段，应该回归教材进行系统回顾与归纳，要对教材进行再阅读和再理解。特别要重视教材中的重要数学公式和定理的推导过程，帮助学生建立系统知识体系。（如图）
普通高中教科书（人教A版）
（人教A版必修第二册P121)
（苏教版必修第二册P193)
教材
链接
建议二：回归教材，构建立体几何的完整知识体系
在梳理数学知识间联系、探寻基本的数学解题思路和方法的同时，还要重视引导学生关注教材中的例题和习题，以及阅读、探究等栏目（如图），挖掘其中蕴含的数学思想，拓展相关知识，提炼通性、通法，从而准确的把握知识的本质。
从试题分析可以看出，高考立体几何题的考查载体以典型几何体为主。所以，复习备考中要以典型几何体为基础模型，掌握认识和刻画空间几何图形位置关系的一般方法，形成以公理、定义、判定、性质、应用为主线的认识模式。
建议三：夯实基础，强化典型几何体研究本源方法
2022全国乙卷第7题
2021新高考II卷第10题
2020新高考II卷第13题
2022全国甲卷第7题
苏教版教材（2019）
建议三：夯实基础，强化典型几何体研究本源方法
以长方体为载体，认识和理解空间点、线、面的位置关系；借助长方体，在直观认识空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间点、线、面、位置关系的定义；借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系，并归纳出判定定理。《普通高中数学课程标准》（2017）
提高数学复习的品位，要从提高思想站位开始。要立足核心素养去培养学生的问题解决能力，要以辩证的观点看待问题，以转化的思想对待问题，以一般性和特殊性去分析问题，始终以空间图形的特征和位置关系作为关键,突出立体几何中“观察、判断、计算、证明”的解题的途径，综合与灵活地应用立体几何的知识、思想方法解决问题。
建议四：凸显本质，提升问题解决的数学核心素养
人教A版必修第二册P165（教材中基本立体图形）
2022新高考I卷第19题
2022新高考Ⅰ卷第19题方法梳理、引导多维思考
（1）求点到平面的距离
（2）求二面角的正弦值
转化法
定义法
逆用体积公式
运用等体积法
解法1
解法2
点到平面的垂线段的长度
作为（2）的隐含条件
向量法
综合法
面面垂直性质定理
线面垂直判断定理
三角函数定义
二面角面积射影比
勾股定理
补形法
作棱的垂面构造二面角再用余弦定理
解法2-1-1
解法2-1-2
解法2-2
解法3
解法1-1
解法1-1
建议四：凸显本质，提升问题解决的数学核心素养
目 录
CONTENTS
三
解析几何
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
平面解析几何
用代数的方法研究几何问题
几何问题（结论）等价转化
为代数问题
核心内容
核心问题
探究几何对象、
几何问题的
几何特征
探究代数结论
的几何解释
探究几何问题代数化的
路径与方法
直线、圆、椭圆、
双曲线、抛物线的方程与性质
直线与圆、椭圆、
双曲线、抛物线的位置关系
一、考查内容分析——核心思想与方法
核心 思想
核心 方法
一、考查内容分析——2023年考点与考向统计分析
一、考查内容分析——2022年考点与考向统计分析
一、考查内容分析——2021年考点与考向统计分析
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
直线和圆的综合问题 2024 甲卷 北京卷 天津卷2022 北京 乙卷 甲卷ⅠⅡ卷2020 ⅠⅡ卷 直线与圆的性质应用在高考考考查趋势是主要考查圆的一些基本性质，一般难度较小
椭圆，双曲线基本性质 2024 天津 Ⅱ卷2023 甲卷 乙卷 北京Ⅰ Ⅱ2022甲ⅠⅡⅢ 椭圆与双曲线的基本性质是高考数学中的必考点也是高频考点，一般考查的基本内容一些性质的综合应用
椭圆双曲线的离心率 2024甲卷 Ⅰ卷2023 天津2022浙江 乙卷2020 北京Ⅱ卷 求椭圆双曲线的离心率及离心率的取值范围是高考的高频考点。
抛物线性质及应用 2023 北京 乙卷2022 乙卷2021 Ⅰ Ⅱ 北京卷 抛物线在高考中小题中考查非常普遍，重点考查有关抛物线的p的有关问题
圆锥曲线的综合问题 2024 ⅠⅡ卷2023 甲 乙 天津2021 浙江 圆锥曲线的综合应用一般作为选填压轴题目出现，是对圆锥曲线综合能力的考查
一、一、考查内容分析——2024年考点与考向统计分析
一、考查内容分析（解答题）
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点01 椭圆及其性质 2024 Ⅰ 甲卷 北京卷 天津卷2023 北京 乙卷 天津2022 乙卷 北京卷 浙江卷2021 北京卷Ⅱ卷2020 ⅠⅡ卷 新Ⅰ Ⅱ卷 椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点
考点02 双曲线及其性质 2024 Ⅱ卷2023 Ⅱ 新课标Ⅱ2022 Ⅰ卷2021 Ⅰ 双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点
考点03 抛物线及其性质 2023 甲卷2022甲卷2021 浙江 甲卷 乙卷2020浙江 抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P的证明类问题
一、考查内容分析——命题归类分析
1.命题要素：曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）、直线、点、斜率（和、差、积、商）、位置关系（平行、垂直、距离、夹角）、面积、定点、定值、最值。
2.考查内容：曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义、方程、几何性质；位置关系（相交、相 切）；定性关系（定点、定值、共线）、定量关系（弦长、距离、面积、范围、最值）。
3.试题背景：极点极线、垂径定理、米勒定理、蝴蝶定理、彭赛列闭合定理、阿基米德三角形、仿射几何（几何图形的伸缩变换）、平面几何（切割线定理、四点共圆）等等。
一、考查内容分析——命题归类分析
4.没有配图：考查考生作图能力（抽象理解、信息筛选、语言转化、数学表达）。
5.解法多元：高考解析几何题解法多元。既考查考生的通解通法，又考查考生的创新思维和知识储备。不同的解题方法反映考生不同的思维层次和创新能力，体现考试的“选拔”功能。
6.题型结构：题型基本稳定，近三年新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷都是3小1大，分值27分，甲卷、乙卷2小1大或3小1大，分值22分或27分。
二、解题方法分析
离心率问题
方法一：数的角度
方法二：形的角度
二、解题方法分析
离心率问题
方法三：形的角度（在方法二基础上）
方法四：借助向量
二、解题方法分析
面积问题
二、解题方法分析
面积最值问题
方法一：
设线
二、解题方法分析
方法二：
设点
面积最值问题
二、解题方法分析
解：
中点弦问题
二、解题方法分析
二、解题方法分析
方法一：
设线
弦长、
双变量最值问题
二、解题方法分析
方法二：
设点
弦长、
双变量最值问题
二、解题方法分析
二、解题方法分析
拓展探究
二、解题方法分析
二、解题方法分析
二、解题方法分析
二、解题方法分析
二、解题方法分析
三、备考教学建议
（1）重视高考真题的研究
研究高考题，才能预测高考题，高考题就是最好的复习资料。认真研究历年的高考试题，就不难找出高考命题的轨迹，从而把握试题的难度。
——南京大学段康宁教授
研究真题，才能把握命题规律，考题就是最好的复习资源，与其大量做题，不如抽出时间认真研究往年的试题，往年的试题反映了命题者对考试内容的深思熟虑，对设问和答案的准确拿捏，对学生水平的客观判断，研究这些试题，就如同和命题者对话。
——教育部考试中心刘芃研究员
二、解题方法分析
三、备考教学建议
（2）重视几何图形的探究
在圆锥曲线考题中，代数计算是首要的解题手段，它体现着解析法的基本思想，但与此同时，能否从几何角度入手，探寻这些问题的几何实质更是一件有趣的事情，唯有如此，我们对解析几何问题的认识才会更加深入，代数计算的有效性才会提升，而这正是近几年高考解析几何题目所呈现的一个显著特征．以数助形，以形推数，从而可能找到最优的运算过程．因此，在立足代数运算的基础上，进一步从平面几何的角度入手，可以优化解答过程，简化数学运算.
三、备考教学建议
二、解题方法分析
三、备考教学建议
（3）重视路径优化，运算优化策略
解析几何考查的另一个重要目标是学生的运算求解能力，在高考限定时间内，找到比较优化的计算路径，准确计算出正确结果，这对于大多数学生来说比较困难。因此，在复习过程中，需要慢下来领着学生讲解计算过程，在讲解题思路中，同时渗透计算方法和计算技巧，及时加强针对性训练，在反复训练中不断提高运算能力。
三、备考教学建议
二、解题方法分析
三、备考教学建议
在解决解析几何的问题时，一般可以通过思维导图寻求多种运算思路，然后通过分析比较，寻求出最合理算法 ，在运算中不断调整和改进运算策略，最后通过不断反思提炼，积累优化运算的策略。
常用的解析几何运算优化策略有：
1.利用几何性质优化运算，如：
（1）利用几何性质——减少代数运算
（2）利用几何性质——寻求合理算法（先猜后证）
2.通过观察代数结构优化运算，如：
（1）点差法；（2）设而不求 （3）整体代换
（4）非对称结构转化为对称结构 （5）齐次化 （6）同构 等等
三、备考教学建议
二、解题方法分析
（4）重视经典问题的探究
高考从不回避经典，“中点弦”“焦点弦长”“垂径定理”“极点极线”等问题在高考中考查不断创新．教学中一定要重视对这些经典问题积累和研究，让学生掌握解决这类经典问题用到的通性通法，一些常用的结论可以作为经验积累下来．
三、备考教学建议
二、解题方法分析
目 录
CONTENTS
四
概率与统计
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
二、解题方法分析
二、解题方法分析
概率的研究对象是随机现象，为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。
统计的研究对象是数据，核心是数据分析。
概率为统计的发展提供理论基础。
----《普通高中数学课程标准》
二、解题方法分析
统计学知识是课程标准中要求掌握的重要知识，是中学数学的必备知识，是考查中学数学的核心素养和关键能力的重要组成部分.
概率论是课程标准中设置的重要知识，是中学数学的必备知识，是体现核心素养和关键能力的重要组成部分.
统计学知识是课程标准中要求掌握的重要知识，是中学数学的必备知识，是考查中学数学的核心素养和关键能力的重要组成部分.
----《高考试题分析及解题精选》
二、解题方法分析
1.题量：选填两道，解答1道，22分.2024新课标（Ⅰ）卷选填两道，综合一道。
2.客观题考查全面：
计数原理、排列组合、二项式定理、统计图表、抽样方法、样本数字特征、古典概型、互斥事件、相互独立事件和条件概率概念与公式、随机变量概率分布、期望和方差、正态分布均有涉及.
3.主观题考查主干：
考查图表信息（频数分布表、）样本估计总体、独立性检验、随机变量的概率分布和数学期望、条件概率等主要内容.
考查内容分析——新高考下概率与统计考点分析
二、解题方法分析
考查内容分析——新高考下概率与统计考点分析
4.考查基本思想方法：
突出统计和概率思想的理解和运用的考查.数据准备阶段步骤减少，重心后移，将考查重点放在公式推导和对数据的分析与理解上，减少繁杂的运算.
5.注重试题开放探究：
通过提供多种方案，以统计决策和统计推断或根据具体情境解释统计结论为载体，设置结论开放，答案不唯一的问题，增强开放性与探究性.
6.体现综合性和创新性
新高考试题中还出现了与概率统计相关的新定义题以及与其他知识（数列、方程、函数最值）等融合的探索创新情境试题，具有一定的综合性和创新性.
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
案例1 2021年新高考1卷第8题
注重基本概念、公式的理解与应用
二、解题方法分析
案例2 新高考卷中的正态分布
注重基本概念、公式的理解与应用
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
二、解题方法分析
案例3 2022年新高考1卷第20题
注重基本概念、公式的推导与运算
注重基本概念、公式的推导与运算
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
二、解题方法分析
2022年全国乙卷理科第20题
注重基本概念、公式的推导与运算
02把握趋势——概率与统计典例与命题趋势分析
二、解题方法分析
案例4 2022年新高考2卷第19题
关注数学符号形式化的表达与运算
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
二、解题方法分析
案例5 2022年全国乙卷理科第10题
关注数学符号形式化的表达与运算
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
相邻问题
分组问题
错排问题
关注学科不同知识间的相互融和
案例6 排列组合与概率相结合试题
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
相邻问题
分配方案
分配方案
案例6 排列组合与概率相结合试题
改变设问方式变为概率问题
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
概率与简单的数论结合
案例7 简单数论与概率相结合试题
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
与立体几何相结合
试题选取考生熟悉的课程学习情境——正方体，既考查了正方体中关于点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面等位置关系的基础知识和基本方法，又考查了初等概率中的古典概型问题及相关的基本计数方式.
试题命制意在将空间几何体与初等概率相结合，将直观想象和逻辑推理相结合，通过建立简单模型融合多重知识点.
试题有助于深化基础性、改变固化的命题形式，服务“双减”，落实立德树人根本任务.
案例8 2022年全国甲卷理科15题
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
2023年四省联考第20题
与数列最值相结合
苏教版选择性必修第二册第122页
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
2021年新高考2卷第20题
与函数方程相结合
苏教版选择性必修第二册第102页
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
2019年全国卷
与数列相结合
关注学科不同知识间的相互融和
二、解题方法分析
考查内容分析——概率与统计典例与命题趋势分析
概率统计命题趋势
注重基本概念、公式的理解与应用
注重基本概念、公式的推导与运算
关注数学符号形式化的表达与运算
关注学科不同知识点间的相互融和
PPT版见Q群：新高考资料全科总群732599440；
高考数学高中数学探究群562298495
解题方法分析——方法全梳理
解题方法分析——方法全梳理
思路探求
解题方法分析——方法全梳理（思维可视）
解题方法分析——方法全梳理（规范表达）
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习
1.加强统计图表、样本数学特征及有关统计量理解记忆
样本数字特征：
平均数、众数、中位数、百分位数；极差、方差、标准差.
统计量：
样本相关系数、最小二乘法、决定系数、残差、卡方.
反复练习强化记忆
从各种统计图中能读出哪些信息和如何从统计图中读出信息是统计学学习和教学的重点之一、统计学的灵魂是数据，数据的呈现方式有多种，如何从数据中挖掘信息并获得知识是统计学的核心.
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
2. 加强模型辨别、对比分析、夯实基础概念和公式
设计微专题、对比分析
（1）概率与排列组合相结合时，混淆排列与组合.
样本点总数
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习
2. 加强模型辨别、对比分析、夯实基础概念和公式
设计微专题、对比分析
（2）超几何分布与二项分布分不清楚.
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
2. 加强模型辨别、对比分析、夯实基础概念和公式
设计微专题、对比分析
（3）无法识别随机变量服从二项分布.
案例2.3
2005湖北文科
二项分布模型
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
3. 加强用字母符号表示事件以及随机变量
对于复杂事件需要将有关事件用符号表示，将所求问题转化，进而才能利用数学形式推导.
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
5. 知识交汇处，设计微专题重点突破
数列、递推关系
比赛规则
函数与方程、数据实际含义
函数最值
方案决策
微专题1：概率中的递推问题
微专题2：以比赛规则为背景的概率问题
微专题3：决策类、统计数据的实际含义
微专题4：概率中的最值问题
微专题5：教材新增内容
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
4. 注重阅读，理解数据背后的含义，用“数据说话”
二、解题方法分析
备考教学建议——概率与统计内容复习备考建议
4. 注重阅读，理解数据背后的实际含义，用“数据说话”
1.加强统计图表、样本数学特征及有关统计量理解记忆
2. 加强分布模型辨别、对比分析、夯实基础概念和公式
3. 注重字母符号表示事件和变量，学会数学形式化表达
5. 紧扣热点内容，在知识交汇处，设计微专题重点突破
目 录
CONTENTS
五
函数与导数
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
考查内容分析
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点1 函数概念与单调性 2024全国卷2023 2021 全国卷 2020全国卷 函数的周期性单调性与奇偶性的综合应用是高考的重难点方向，特别是新高考新题型以后，它们与抽象函数的结合将是未来一个重要方向
考点2函数周期性与奇偶性应用 2023 ⅡT4 乙卷T5 甲卷T142022全国乙卷T16 2021 乙卷T9 考点3函数图像应用 2022 全国乙卷T8 2022 全国甲卷T5 图像的识别及应用逐渐淡化
考点4函数性质综合应用 2023 ⅠT112022乙T12 2021甲T12 ⅡT8 函数的综合因应用作为压轴题，一般会是同构，构造函数比较大小，函数的综合性质应用化工等
考查内容分析
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点1利用导数求函数单调性，极值最值 2024全国甲卷Ⅰ卷2023 Ⅱ卷 乙 甲2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷2021 甲卷 2020Ⅰ卷 构造函数利用导数求函数单调性从而进行比较大小，利用导数求函数的极值点以及最值问题收高考必考题型
考点2构造函数利用导数求单调性比较大小 2023甲卷2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷2021乙卷 2020ⅠⅡⅢ卷 考点3导数综合应用 2021上海卷 Ⅱ卷2022天津卷 2023天津卷2021Ⅰ卷 北京卷 零点含参问题的讨论是导数综合题型的重难点
考查内容分析
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点1利用导数求函数单调性，求参数 2024全国甲卷 Ⅰ卷2023 Ⅱ卷 乙 甲2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷2021 甲卷 2020Ⅰ卷 含参的函数利用导数求参数问题是高考中的一个高频考点，也是必考点，通过函数单调性转化成为恒成立问题或者存在使成立问题以及其他问题，可直接求导或者是利用分离参数去转化。
考点2恒成立问题 2023甲卷2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷2021乙卷 2020ⅠⅡⅢ卷 考点3与三角函数相关导数问题 2023 Ⅱ卷 2022天津卷 2021Ⅰ卷 2020 Ⅱ卷 甲卷 与三角函数相关问题随着新高考新结构的出现，这类题目一压轴题出现的频率会变大。
考点04 导数综合类问题 2024 北京 天津2023乙卷 北京 Ⅰ卷 天津2022 甲卷 2021乙卷Ⅰ卷2020 Ⅱ Ⅲ卷 导数综合类问题一直是高考数学的压轴题一般牵扯到不等式的证明问题，极值点偏移问题，拐点偏移问题，隐零点问题，函数放缩问题。未来也是高考重难点
考点05 新定义问题 2024 上海卷 随着高考数学新结构的形式出现。导数新定义问题将成为高频考点
一、聚焦主干知识，突出基础性要求
考查内容聚焦主干知识与关键能力，主要考查函数的定义域、值域，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性，函数的概念与图像、函数的零点，导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、函数的应用等主干知识；同时突出考查转化与化归、数形结合、函数与方程、分类与整合等重要数学思想；考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识和创新意识。
考查内容分析—命题特征
PPT版见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495
二、注重知识融合，彰显综合性要求
本题重视数学的综合性，将概率统计与函数进行综合，要求学生能够分析题目，建立函数关系，掌握分段函数求最值的方法，考查学生数学建模、运算求解等关键能力和核心素养。
考查内容分析—命题特征
二、注重知识融合，彰显综合性要求
本题以三角函数为背景，综合考查学生对函数、导数等基础知识的掌握和理解，综合考查了三角函数的周期性和有界性，运用导数研究函数的最值，函数不等式的证明等相关知识。对于学生运用所学知识，寻找合理策略以及推理论证及运算能力有较高的要求。
考查内容分析—命题特征
三、创设真实情境，体现应用性要求
本题通过对声压级的研究，全面考查对数极其运算的基础知识，助力应用能力考查。
考查内容分析—命题特征
四、稳中求变，常考常新
（1）切线问题
考查内容分析—命题特征
四、稳中求变，常考常新
（2）奇偶性
考查内容分析—命题特征
四、稳中求变，常考常新
（3）抽象函数
考查内容分析—命题特征
四、稳中求变，常考常新
（3）抽象函数
链接教材
考查内容分析—命题特征
对比旧版教材，在函数和导数部分，新教材增加了哪些内容？
1.函数的概念和图像
增加了“同一函数”的概念和习题
考查内容分析—教材内容
对比旧版教材，在函数和导数部分，新教材增加了哪些内容？
2.函数的奇偶性
链接高考：
考查内容分析—教材内容
链接高考
考查内容分析—教材内容
03
考查内容分析—教材内容
3.幂函数
例题中和习题中增加了“利用幂函数的性质比较大小”
03
考查内容分析—教材内容
3.幂函数
对幂函数的要求明显增加
03
考查内容分析—教材内容
3.幂函数
03
考查内容分析—教材内容
以习题的形式补充了幂函数的凹凸性
03
考查内容分析—教材内容
4.指数函数
习题中增加了两道比较大小的题目，其中T5含参数，需要分类讨论
03
考查内容分析—教材内容
5.对数函数
探究·拓展部分增加了函数模型 的探究
03
考查内容分析—教材内容
6.函数与方程
03
考查内容分析—教材内容
7.函数与数学模型
增加了几个模型的比较
03
考查内容分析—教材内容
8.函数与数学模型
增加了几个模型的比较
03
考查内容分析—教材内容
8.导数的概念
增加了“极限”的数学表达
03
考查内容分析—教材内容
9.导数的运算
03
考查内容分析—教材内容
9.导数的运算
03
考查内容分析—教材内容
10.导数在研究函数中的应用
03
考查内容分析—教材内容
11.导数在研究函数中的应用
03
考查内容分析—教材内容
探究·拓展部分增加了“牛顿切线法”
03
考查内容分析—教材内容
解题方法分析—构建体系
思路一 推理猜想赋值论证
解题方法分析—构建体系
思路一 推理猜想赋值论证
解题方法分析—构建体系
思路二 推理猜想（放缩论证）
解题方法分析—构建体系
思路探求
解题方法分析—构建体系
指对同构
解题方法分析—从“做完”到研透
同构：从局部的运算、变形，到适当的配凑，到整体的同构。
1.立足基本概念的理解
数学概念是构成数学大厦的基础，是形成数学知识体系的基本要素，是进行数学思维的细胞。在函数与导数这一板块，有很多重要的数学概念：函数的概念（定义域、值域、对应法则、表示方法）、函数的性质（奇偶性、单调性、最值、对称性、周期性）、函数零点、导数、极值点、不等式恒成立、不等式能成立，这些概念都比较抽象，符号化表征。在复习备考中首先要让学生深刻理解重要概念，把握概念内涵，理解概念的多元表征，建立概念之间的联系，才能更好地分析问题和解决问题。
03
备考教学建议
函数的零点的学习要点：深刻领悟零点的概念、零点存在性定理以及函数零点与方程的根的等价转化关系，让学生在解决问题中能灵活转化，化繁为简。
函数的导数的学习要点：导数就是瞬时变化率，是切线的斜率；导数的正负可以反映出原函数的单调性，进而研究极值、最值、画出函数图像的示意图等；导数绝对值的大小可以反应图像的变化快慢；导数本身也是一个函数，是函数图象的斜率关于自变量的函数。
函数的图象的学习要点：数形结合是函数与导数中蕴含的数学思想。一方面能结合基本初等函数的图象和图象变换的相关知识画图识图，根据图象判断函数性质，获得解决问题的直观思路；另一方面，对于一些陌生函数，能先研究函数的定义域、奇偶性、单调性、特殊点和特殊线等，根据上述性质画出函数草图，并进一步解决导数的综合问题。
1.立足基本概念的理解
03
备考教学建议
2.强调通性通法的引领
导数是研究函数性质的利器，能定量刻画函数的变化，用导数可以研究函数的单调性、凹凸性、极值、最值、拐点等。导数内容博大精深，变化无穷，与导数相关的问题在呈现方式和设问方式必然不断创新。要避免题型套路的直接灌输，避免囫囵吞枣式的机械套用，强调导数概念本质的理解，抓住导数与单调性的关系这一核心，在通性通法的引领下，面对新颖或陌生的问题情境，不至于束手无策。
03
备考教学建议
2.强调通性通法的引领
03
备考教学建议
3.重视基本模型的研究
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数是常见的基本初等函数，是刻画现实生活中某一类具体的变化的模型，由这些简单的函数适当组合、推陈出新，就可以构建令人耳目一新的函数形式。
03
备考教学建议
3.重视基本模型的研究
03
备考教学建议
3.重视基本模型的研究
03
备考教学建议
3.重视基本模型的研究
03
备考教学建议
目 录
CONTENTS
六
数列
考查内容分析
解题方法分析
备考教学建议
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点01 等差等比数列应用 2023 天津 甲 乙 Ⅱ卷2022 乙卷2020 北京卷 等差等比数列及求和在高考中主要考查基本量的基本运算，是常规求和方法发的基本应用。包括：错位相减求和，奇偶性求和，列项求和等。
考点02 数列求和 2024 甲 天津卷2023ⅠⅡ 甲 乙卷2022 甲卷2021 ⅠⅡ乙卷2020 浙江 Ⅰ Ⅱ卷 考点03 数列情景类问题 2024北京 2023北京2021北京 Ⅰ卷2020Ⅱ 卷 情景化与新定义是高考的一个新的考点，一般采用学过的知识去解决新定义问题，因加以重视，是高考的一个方向，并且作为压轴题的可能性比较大，难度大。
考点04 数列新定义问题 2024 Ⅰ 北京卷2023 北京卷 考点05 数列与其他知识点交汇及综合问题 2024 Ⅱ卷2023 北京 天津 乙Ⅱ卷2022 北京 浙江 ⅠⅡ卷2021 甲 浙江2020 浙江 知识的综合是未来高考的一个重要方向，主要是数列与统计概率相结合，数列作为一个工具与解析几何，函数结合等，属于中等难度。
考查内容分析
考查内容分析
考查内容分析
考查内容分析
高考对于数列内容的考查一般是1道小题，1道解答题，分值约为15-17分 . 解答题前几年一般处于容易题或中档题的位置，考查考生对基本知识与基本技能的掌握，以及对知识的基础性、综合性与应用性的掌握.考查内容常以数列的递推关系或项与和的关系为背景，考查等差数列与等比数列的通项公式以及前n项和的问题.选择题、填空题一般也属于基础题或中等题，考查等差数列与等比数列的定义及基本量的运算.也会出现与日常生活实例或数学文化有关的问题，可以重点考查新定义问题，主要考查考生的逻辑思维、运算求解等能力，这时对学生要求较高，往往会出现在压轴题的位置.
考查内容分析
解题方法分析------数列定义
解题方法分析
解题方法分析
回归定义：等差数列要考虑相邻两项之差；等比数列要考虑相邻两项之比.
解题方法分析
解题方法分析
解题方法分析
解题方法分析
解题方法分析
解题方法分析
解题方法分析
案例：斐波那契数列
备课教学建议
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
情境1
假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下小兔，此
后每个月生一对小兔. 如果不发生死亡，假设第一对小兔的出生日是某个月
初，逐月统计每月初的兔子对数.
问题1
问题2
问题3
一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？
你是怎么得到这些结果的？
则第一个月初兔子有几对？前六个月月初兔子依次有几对？
情境1
3
3
1
1
…
2
3
5
8
13
21
34
55
…
…
大兔数
第2个月
第4个月
第5个月
第6个月
第3个月
第1个月
小兔数
兔子总数
1
0
1
0
1
1
1
1
1
2
2
3
2
5
5
8
小兔
大兔
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下小兔，此
后每个月生一对小兔. 如果不发生死亡，假设第一对小兔的出生日是某个月
初，逐月统计每月初的兔子对数.
斐波那契数列
列举法
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…
定义
前两项均为1，且从第三项开始，每一项都等于
前两项的和；
文字
a1=1， a2=1， an+2= an+1+an，(n N*)
符号
试类比等差数列和等比数列的定义给出上述数列的定义.
问题4
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
树丫的数目
呈斐波那契数列排列
问题5
你能在生活实际中找出与斐波那契数列有关的例子吗？
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
常见的花瓣数有3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89,...
这些数都属于斐波那契数.
向日葵21或34
兰花3
梅花5
格桑花8
活动一 初步感觉 建构斐波那契数列的概念
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
问题6
回顾等差等比数列的研究过程，思考研究数列的一般路径.
研究数列路径图
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
研究数列路径图
问题7
试根据斐波那契数列的定义探究项与和的性质.
1，1，2，3，5，8，13，21，…
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
活动二 直接感知，探究斐波那契数列性质
递推关系式
和的性质
（迭代、累加、累乘、错位相减）
项的性质
（构造，转化为等差或等比数列）
定 义
关系式的等价转化
活动三 反思感悟，应用斐波那契数列性质解决实际问题
例题
你能提出哪些问题并解决这些问题？
活动三 反思感悟，应用斐波那契数列性质解决实际问题
21
13
1
1
2
3
5
8
斐波那契螺旋线，
是以斐波那契数
为边的正方形拼
成的长方形，然
后在正方形里面
画一个90度的扇
形，连起来的弧
线就是斐波那契
螺旋线。
斐波那契螺旋线
大自然中的斐波那契数列
向日葵中的螺旋线
海螺螺旋线
项与和的特征
从实际问题切入
从数学问题切入
图形的几何
性质
代数式的等价转化
解决方案
斐
波
那
契
数
列
从特殊项入手
从递推关系式入手
解决方案
目标
探寻规律
等差等比
数列
猜想
转化
定义
（1）思路
椭圆的短轴长是圆的直径
过椭圆中心作地面的平行平面
利用二面角，平面化处理
过程规划意识
目标分析意识
会阅读：细读题目，洞悉其意，掌握其要
备考教学建议—特别关注新定义
（1）思路
椭圆的短轴长是圆的直径
过椭圆中心作地面的平行平面
利用二面角，平面化处理
过程规划意识
目标分析意识
会思考：运筹帷幄，按图索骥，探寻路径
会表达：言之有序，条理分明，易晓其意
（2）思路
借用经验意识
类比
（3）思路
借用经验意识
类推
同课章节目录